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特训 04 期末解答压轴题（2022 最新压轴）
一、解答题
1．（2022·浙江绍兴·七年级阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数
码0和 ，它们两者之间可以互相换算，如将 ， 换算成十进制数为：
； ；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还
十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如： ；
，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制 换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制
数表示）．
【答案】(1)9
(2) ；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有 位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的
方，再相加即可；
（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
（1）
解： ；
故答案为：9；
（2）解：
，
．
故答案为： ；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
2．（2022·四川达州·七年级期末）观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【分析】利用所给的解答方式进行求解即可．
【解析】解：设 ①，
则 ②，
由② ①，得 ．
∴ ，
即原式 ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵
活运用．3．（2022·黑龙江大庆·期末）如图，点 A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，点O 为数轴原点，
已知|a+5|+（a+b+1）2=0．
(1)求 a、b 的值；
(2)若数轴上有一点 C，且 AC+BC=15，求点 C 在数轴上对应的数；
(3)若点 P 从点 A 出发沿数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿数轴
的负方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则数轴上点 P 表示的数为______，点 Q
表示的数为________．（用含 t 的代数式表示）；当 OP=2OQ 时，t的值为_____________．（在横线上
直接填写答案）
【答案】(1)a＝﹣5，b＝4
(2)﹣8或7
(3)﹣5+2t，4﹣4t， 或
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值；
（2）根据AB＝9可知点C在点A的左侧或点B的右侧，分点C在点A左侧和点C在点B右侧两种情况考
虑，找出AC、BC的长度结合AC+BC＝15即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据点P、Q的运动找出OP、OQ的长度，结合OP＝2OQ即可得出关于t的含绝对值符号的一元一
次方程，解之即可得出结论．
（1）
∵|a+5|+（a+b+1）2＝0，
∴a+5＝0，a+b+1＝0，
∴a＝﹣5，b＝4．
（2）
设点C在数轴上对应的数为x，
∵AB＝4﹣（﹣5）＝9，
∴点C在点A的左侧或点B的右侧，如图1所示．若点C在点A左侧，则AC＝﹣5﹣x，BC＝4﹣x，
∴AC+BC＝﹣5﹣x+4﹣x＝﹣1﹣2x＝15，
解得：x＝﹣8；
若点C在点B右侧，则AC＝x﹣（﹣5）＝x+5，BC＝x﹣4，
∴AC+BC＝x+5+x﹣4＝15，
解得：x＝7．
∴点C在数轴上对应的数为﹣8或7．
（3）
由题意可得： P 表示的数为﹣5+2t，点 Q 表示的数为4﹣4t，
OP＝|5﹣2t|，OQ＝|4﹣4t|，如图2所示．
∵OP＝2OQ，
∴|5﹣2t|＝2|4﹣4t|，
解得：t ，t ．
1 2
∴当OP＝2OQ时，t的值为 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点
间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022·江苏泰州·七年级期末）对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单
位长度的速度，向右平移n秒，得到点 ，称这样的操作为点 的“m速移”点 称为点 的“m速移”
点．
(1)点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且 ．
①若点A向右平移n秒的“5速移”点 与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点 与点B向右平移n秒的“1速移”点 重合，求n；
(2)数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点 ，如果C、M、 三点中有一点是
另外两点连线的中点，求点C表示的数；
(3)数轴上E，F两点间的距高为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点 ，点F向右平移2秒的“y速移”点为点 ，如果 ，请直接用等式表示x，y的数量关系．
【答案】(1)①4；②20
(2)−11，−2或7
(3)y−x＝3
【分析】（1）①根据非负数的性质求出a，b的值，根据新定义列出方程，解方程即可得出答案；
②求出A′，B′表示的数，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，分三种情况分别计算即可；
（3）设点E表示的数为e，点F表示的数为f，根据E'F'＝3EF列方程求解即可．
【解析】（1）解：∵|a＋5|≥0， ≥0， ，
∴a＋5＝0，b−15＝0，
∴a＝−5，b＝15．
①根据题意得：−5＋5n＝15，
∴n＝4；
②点 表示的数为−5＋2n，点 表示的数为15＋n，
根据题意得−5＋2n＝15＋n，
∴n＝20；
（2）解：设点C表示的数为c，则点 表示的数为c＋6，
若点 是CM的中点，则c＋1＝2（c＋6），解得c＝−11；
若点M是 的中点，则c＋c＋6＝2，解得c＝−2；
若点C是 的中点，则1＋c＋6＝2c，解得c＝7；
综上所述，点C表示的数为−11，−2或7；
（3）解：设点E表示的数为e，点F表示的数为f，
则点 表示的数为e＋2x，点 表示的数为f＋2y，f−e＝3，
∵E'F'＝3EF，
∴f＋2y−（e＋2x）＝3×3，
∴y−x＝3．
【点睛】本题考查了数轴，非负性的性质，一元一次方程的应用，新定义，体现了分类讨论的数学思想，
根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2022·湖北·武汉市黄陂区教育局七年级期末）数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧， ．
(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与
A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是否发生变化，请
判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)不变化，理由见解析
(3)① ；②
【分析】（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；
（2）设点E表示的数为x，则 ， ， ， ，再由中点的定义，得
， ，由 ，得出MN的定值；
（3）①根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；
②由题意， ，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.
【解析】（1）解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴ ，
故答案为： ，（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ， ，
∵点M是 的中点，N是 的中点
∴ ，
即
（3）解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧
∴AB=n-m
∵
∴AC= n-m+2
∵点D是 的中点
∴AD= AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴ ，
∴ ，
∵
即
当 时．
∵
∴ 不符合题意，舍去当 时．
综上所述，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，利用数形结合思想
表示出线段长是解决问题的关键.
6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满
足以下关系式： ， ．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式 取得最小值时，此时
x=______，最小值为______．
【答案】(1) ，9
(2)
(3)1，12
【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为：-3；9；
（2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1，
∴AB中点表示的数为-1，
∴点C到AB中点的距离为10，
∴点C与数-1-10=-11表示的点重合，
故答案为：-11；
（3）解：由题意得
，
∴代数式 的值即为点P到A、B、C三点的距离和，
如图3-1所示，当点P在A点左侧时
如图3-2所示，当点P在线段AB上时，
如图3-3所示，当点P在线段BC上时，
如图3-4所示，当点P在C点右侧时，
∴综上所述，当P与B点重合时， ．【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，
熟知相关知识是解题的关键．
7．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为
a，b，则A、B两点之间的距离表示为 ．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则
．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离 ______，线
段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以
每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的
端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二
次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1) ；
(2)① ； ；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为 ；
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），即得：13−3（t−5）＝
−2＋2（t− ），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
【解析】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为 ；
故答案为：15； ．
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；
故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动 秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t− ），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表
示的数．
8．（2022·北京海淀·七年级期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意
一点P（不与点O，点A重合），将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ．即
．例如：当点P是线段 的中点时，因为 ，所以 ．（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
【答案】（1）① ；② ＜ ＜ ；（2） 或 ；（3）198．
【分析】（1）①先确定 的表示的数，然后根据题意求出 即可；②先确定 的表示的数根据题意求出
、 ，然后比较即可；
（2）先由 确定M所表示的数，然后根据题意求出 即可；
（3）根据题意可得PO＞PA且PO为PA的整数倍，然后分别求出所有P所表示的数，最后求和即可．
【解析】解：（1）①∵点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
∴ 表示的数是 ；
∴
故答案是 ；
②∵ 表示的数大约是∴ ，
∴ ＜ ＜
故答案是 ＜ ＜ ；
（2）∵
∴M表示的数是 或-
∴ 或 ；
（3）∵P表示有理数， ＜100且为整数
∴PO＞PA且PO为PA的整数倍
由题意可得，当P为OA中点时，则 =1，此时为最小正整数且P表示 ；
当 =2，即PO=2PA,此时P表示 或2；
当 =3，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
…
当 =99，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
=
=2+98×2
=198．
故答案是198．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的混合运算等知识点，理解题意、确定各点所表
示的数成为解答本题的关键．
9．（2022·山东青岛·七年级期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在
何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明
就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变
就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思
维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反
数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负
数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算 (其中 是正整数，且 ，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： ．探究二：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分制图可得等式： ，
两边同除2，得 ，
探究三：计算 ．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算 ．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以， ___________．
(3)拓广应用：计算 ___________．
【答案】探究三： 图见见解析；
解决问题：图见解析；（1） ；（2） ；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以 即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为： ，最后的空白部分的面积是 ，
根据第 次分割图可得等式： ，
两边同除以3，得 ；
解决问题：
（1）
故答案为：
（2） ，
故答案为： ；
（3）拓广应用：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法
是解题的关键．10．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与
点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；
若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：
cm），由此可得到木棒长为 cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你
还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁
了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点
移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应
的数为118，可知爷爷的年龄；
【解析】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）
如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．
【点睛】此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年
龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．11．（2022·江苏常州·七年级期末）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数是
，-1的差倒数为 ，现已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒
数，…，依此类推．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）计算 的值；
（3）计算 的值．
【答案】（1） ， ， ；（2）－1；（3）－1
【分析】本题是阅读理解题，（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；（2）
利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数
循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案．
【解析】解：（1）根据题意，得： ， ， ；
（2） ；
（3）由（1）知，该数列循环周期为3，
所以 ，
则
．
【点睛】首先，理解好阅读文段中给出的定义很关键，然后，根据具体情境抽象出规律是解决这一类题的
核心钥匙．
12．（2022·河南南阳·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4﹣1|= ；表示5和﹣2两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|
=|5+2|= ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a= ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a= 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为 ．
【答案】（1）3；7；﹣5或1；（2）6；（3）a=1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为9．
【分析】（1）数轴上表示两数的两点之间的距离为这两数之差的绝对值，根据这一结论计算即可；（2）
根据a的范围判断出a+4和a﹣2的范围，再去绝对值计算即可；（3）要使|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，
即要求一点，使得这个点到﹣5、1、4这三点的距离之和最小，显然，1到这三点的距离之和最小，即
a=1．
【解析】（1）|4﹣1|=3，|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，|a+2|=3，则a+2=±3，解得a=﹣5或1；
故答案为3；5；﹣5或1；
（2）∵数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，
∴|a+4|+|a﹣2|
=a+4﹣a+2
=6；
（3）当a=1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|=6+0+3=9．
故当a=1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为9，
故答案为1，9．
【点睛】牢记结论数轴上表示两数的两点之间的距离为这两数之差的绝对值．
13．（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）把自然数依次排成以下数阵
， ， ， ，…
， ， ，…
， ，…
，…
如果规定横为行，纵为列，如 是排在 行 列
(1)第 行第 列排的是哪个数？
(2)第 行第 列排的是哪个数？
【答案】(1)
(2)
【分析】观察不难发现，第 行的第一个数是 的和，又第 行的第二个数比第一个数大，第 个数比第二个数大 ，然后整理出第 行第 列的数的表达式．
（1）第 行第 列的行数与列数代入进行计算即可得解；
（2）把第 行第 列的行数与列数代入进行计算即可得解．
（1）
解：∵第 行的第一个数是 ，
第 行的第一个数是 ， ，
第 行的第一个数是 ， ，
第 行的第一个数是 ， ，…，
第 行的第一个数是 ，
以第 行为例， 比 大 ， 比 大 ，…，
所以，第 行的第 个数为 ，第 个为 ，…，
第 行第 列的数为
∵ ，
∴第 行第 列的数为 ，
当 ， 时， ；
即第 行第 列排的是 ；
（2）
当 ， 时， ，
即第 行第 列排的是 ．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，难度较大，根据排列规律，写出每一行的第一个数，然后求出第
行第 列的数的表达式是解题的关键．
14．（2022·福建福州·七年级期末）如图，在数轴上，点A向右移动1个单位到点B，点B向右移动
（n为正整数）个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
(1)当 时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．①数轴上原点的位置可能在（ ）
A．在点A左侧或在A、B两点之间
B．在点C右侧或在A、B两点之间
C．在点A左侧或在B、C两点之间
D．在点C右侧或在B、C两点之间
②若a、b、c中两个数的和等于第三个数，求a的值．
(2)将点C向右移动 个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，且这四
个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．若n分别取1，2，3，…，80时，对应的a的值分别为 ，
， ，…， ，求 的值．
【答案】(1)①B；②
(2)-1720
【分析】（1）①把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选择出答案；
②分三种情形构建方程即可解决问题．
（2）依据题意得，b=a+1，c=b+n+1=a+n+2，d=c+n+2=a+2n+4．根据a、b、c、d四个数的积为正数，且
这四个数的和与其中的两个数的和相等，即可得出用含n的式子表示a，由a为整数，分两种情况讨论：
当n为奇数时；当n为偶数时，得出a=-2，a=-2，a=-3，a=-3，…， ， ，从而得出
1 2 3 4
．
【解析】（1）①B
把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，
∵a、b、c三个数的乘积为负数，
∴从而可得出在在点C右侧或在A、B两点之间；选B．
② ，
当 时， （不满足三个数积为负，舍去）
当 时， （不满足三个数积为负，舍去）
当 时，综上， ．
（2）依据题意得， ， ，
∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
∴a、b为负，c、d为正．（排除四个数同正或同负情况）
∴ 或 ．【排除 ， ， （ 变分数）， （c变原点）四种情
况】
∴ 或 ；
∵a为整数，n为正整数，
∴当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ．
∴ ， ， ， ，…， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，
相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
15．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图1，是 （n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的
次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两
端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，
各项的系数与图2中某行的数一一对应．
当 时， ，其中 表示的是 项的系数 ，是常数项．如 ，其中 ．所以， 展
开后的系数和为 ．也可令
．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)写出 去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式；
(2)若 ，求 的值；
(3)已知 ，其中t为常数．若 ，求
的值．
【答案】(1)（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1
(2)41
(3)1024或-32
【分析】（1）由题意可则，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，即可求解；
（2）由（2x+1）4=16x4+8x3+4x2+2x+1，求解即可；
（3）求出t=±3，当t=3时，令x=1，则a+a+a+a+a+a=45=1024；当t=-3时，令x=1，则
5 4 3 2 1 0
a+a+a+a+a+a=（-2）5=-32．
5 4 3 2 1 0
【解析】（1）解：由题意可得，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，
∴（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1；
（2）∵（2x+1）4=16x4+32x3+24x2+8x+1，
∴a+a+a=16+24+1=41；
4 2 0
（3）∵a=10t2=90，
3
∴t=±3，
当t=3时，（x+3）5=ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a，
5 4 3 2 1 0
令x=1，则a+a+a+a+a+a=45=1024；
5 4 3 2 1 0
当t=-3时，（x-3）5=ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a，
5 4 3 2 1 0令x=1，则a+a+a+a+a+a=（-2）5=-32；
5 4 3 2 1 0
综上所述：a+a+a+a+a+a 的值为1024或-32．
5 4 3 2 1 0
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的阅读材料，找到展开式各项系数的规律是解题的关键．
16．（2022·山东青岛·七年级期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．
受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这
个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，
5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
(1)2022属于_______类（A，B或C）；
(2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整
数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；
(3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最
后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．
①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④ 属于A类．
【答案】(1)C
(2)①A；②B
(3)②③
【分析】（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；
②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有
3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由 6065÷3=2021…2，即可求解；
（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知
m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于
C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．
【解析】（1）解：∵2022÷3=674，
∴2022属于C类，
故答案为：C；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，
∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，
∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，
故答案为：A；
②∵从A类数中任意取出2021个数，
∴设这2021个数的和3a+2021，
∵从B类数中任意取出2022个数，
∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，
∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），
∴设这k个数的和为3c，
∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，
∴6065÷3=2021…2，
∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，
∴结果属于B类，
故答案为：B；
（3）从A类数中任意取出m个数，
设这m个数的和为3x+m，
从B类数中任意取出n个数，
设这n个数的和为3y+2n，
∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，
∵最后的结果属于A类，
∴m+2n被3除余数为1，
∴m+2n属于A类，
故②正确；
当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；
当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；
当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确；
故②③正确，
故选：②③．
【点睛】本题考查有理数的性质，理解题意，根据所给条件分类讨论是解题的关键．
17．（2022·福建·厦门市第九中学八年级期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和
为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字
与百位数字的和为： ，十位数字与个位数字的和为： ，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为： ，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数” ，交换其百位数字和十位数字得到新数 ，并且定义 ，
若 与 个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数” ，
并说明理由．
【答案】（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由见详解；（2）2562、6153、3426、7017
【分析】（1）根据“七上八下数”的定义，直接判断即可；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，根据 、 与 个位数字的135倍的和刚好为
一个正整数的平方，可得 ，从而得 ，再对d的值进行分类讨论即可．
【解析】解：（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由如下：
∵2571的千位数字与百位数字的和为：2+5=7，十位数字和个位数字和为：7+1=8，
∴2571是七上八下数，
∵4425的千位数字与百位数字的和为：4+4=8≠7，十位数字和个位数字和为：2+5=7≠8，
∴4425不是七上八下数；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，其中a+b=7，c+d=8，
其中1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，则交换百位数字和十位数字后得到新数为
=1000a+100c+10b+d，
∴ = = ，
∵ 与 个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设 ，
∴ ，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，
∴ 是正整数，∵c+d=8，即c=8-d，
∴ ，即： ，
当d=0时， ＞8，不合题意，舍去；
当d=1时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合的n值；
当d=2时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴ =5符合条件，此时，b=5，d=2，a=7-b=2，c=8-d=6，
∴m=2562，
同理：当d=3时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴ =5符合条件，此时，b=1，d=3，a=7-b=6，c=8-d=5，
∴m=6153；
同理：当d=4时，没有满足条件的n；
当d=5时，没有满足条件的n；当d=6时，m=3426；
当d=7时，m=7017；
当d=8时，没有满足条件的n．
综上所述：满足条件的所有“七上八下数” 为2562、6153、3426、7017．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，理解“七上八下数”的定义，列出代数式，式解题的关键．
18．（2022·四川资阳·七年级期末）一般情况下 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：
．我们称使得 成立的一对数 为“相伴数对”，记为
（1）若 是“相伴数对”，求 的值；
（2）写出一个“相伴数对” ，并说明理由．（其中 ，且 ）
（3）若 是“相伴数对”，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2） 是“相伴数对”，理由见详解；（3） ．
【分析】（1）根据“相伴数对”定义列出方程求解即得；
（2）先根据“相伴数对”定义确定一个有序数对为“相伴数对”，再将这个特殊的情况代入
验证左右相等即可；
（3）先根据“相伴数对”定义得出 ，进而用含m的式子表示n，再化简要求的代数式即得．
【解析】（1）∵ 是“相伴数对”
∴
解得：
（2） 是“相伴数对”，理由如下：
∵ ，
∴
∴根据定义 是“相伴数对”（3）∵ 是“相伴数对”
∴
∴
∴
∵
∴当 时
【点睛】本题考查了一元一次方程应用及多项式化简，解题关键是挖掘题目中的条件，以 作
为解决所有问题的依据．
19．（2022·山东青岛·七年级期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事
非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数.
【分析思路】
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并
保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．
如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)【解决问题】
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形
那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添
加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数.
【答案】（1） ;(2) 方法不唯一，见解析；（3）方法不唯一，见解析
【分析】先找出前几项的钢管数，在推出第n项的钢管数.
【解析】（1）
（2）方法不唯一，例如：
（3）方法不唯一，例如：【点睛】此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律.
20．（2022·新疆塔城·七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上
每张票的价
60元 50元 40元
格
某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人
数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．
(1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？
(2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作
为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？
【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人
(2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱
【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多
于（2）班人数，所以51
