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特训 04 期末解答压轴题（2022 最新压轴）
一、解答题
1．（2022·浙江绍兴·七年级阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数
码0和 ，它们两者之间可以互相换算，如将 ， 换算成十进制数为：
； ；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还
十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如： ；
，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制 换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制
数表示）．
【答案】(1)9
(2) ；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有 位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的
方，再相加即可；
（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
（1）
解： ；
故答案为：9；
（2）解：
，
．
故答案为： ；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
2．（2022·四川达州·七年级期末）观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【分析】利用所给的解答方式进行求解即可．
【解析】解：设 ①，
则 ②，
由② ①，得 ．
∴ ，
即原式 ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵
活运用．3．（2022·黑龙江大庆·期末）如图，点 A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，点O 为数轴原点，
已知|a+5|+（a+b+1）2=0．
(1)求 a、b 的值；
(2)若数轴上有一点 C，且 AC+BC=15，求点 C 在数轴上对应的数；
(3)若点 P 从点 A 出发沿数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿数轴
的负方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则数轴上点 P 表示的数为______，点 Q
表示的数为________．（用含 t 的代数式表示）；当 OP=2OQ 时，t的值为_____________．（在横线上
直接填写答案）
【答案】(1)a＝﹣5，b＝4
(2)﹣8或7
(3)﹣5+2t，4﹣4t， 或
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值；
（2）根据AB＝9可知点C在点A的左侧或点B的右侧，分点C在点A左侧和点C在点B右侧两种情况考
虑，找出AC、BC的长度结合AC+BC＝15即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据点P、Q的运动找出OP、OQ的长度，结合OP＝2OQ即可得出关于t的含绝对值符号的一元一
次方程，解之即可得出结论．
（1）
∵|a+5|+（a+b+1）2＝0，
∴a+5＝0，a+b+1＝0，
∴a＝﹣5，b＝4．
（2）
设点C在数轴上对应的数为x，
∵AB＝4﹣（﹣5）＝9，
∴点C在点A的左侧或点B的右侧，如图1所示．若点C在点A左侧，则AC＝﹣5﹣x，BC＝4﹣x，
∴AC+BC＝﹣5﹣x+4﹣x＝﹣1﹣2x＝15，
解得：x＝﹣8；
若点C在点B右侧，则AC＝x﹣（﹣5）＝x+5，BC＝x﹣4，
∴AC+BC＝x+5+x﹣4＝15，
解得：x＝7．
∴点C在数轴上对应的数为﹣8或7．
（3）
由题意可得： P 表示的数为﹣5+2t，点 Q 表示的数为4﹣4t，
OP＝|5﹣2t|，OQ＝|4﹣4t|，如图2所示．
∵OP＝2OQ，
∴|5﹣2t|＝2|4﹣4t|，
解得：t ，t ．
1 2
∴当OP＝2OQ时，t的值为 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点
间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022·江苏泰州·七年级期末）对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单
位长度的速度，向右平移n秒，得到点 ，称这样的操作为点 的“m速移”点 称为点 的“m速移”
点．
(1)点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且 ．
①若点A向右平移n秒的“5速移”点 与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点 与点B向右平移n秒的“1速移”点 重合，求n；
(2)数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点 ，如果C、M、 三点中有一点是
另外两点连线的中点，求点C表示的数；
(3)数轴上E，F两点间的距高为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点 ，点F向右平移2秒的“y速移”点为点 ，如果 ，请直接用等式表示x，y的数量关系．
【答案】(1)①4；②20
(2)−11，−2或7
(3)y−x＝3
【分析】（1）①根据非负数的性质求出a，b的值，根据新定义列出方程，解方程即可得出答案；
②求出A′，B′表示的数，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，分三种情况分别计算即可；
（3）设点E表示的数为e，点F表示的数为f，根据E'F'＝3EF列方程求解即可．
【解析】（1）解：∵|a＋5|≥0， ≥0， ，
∴a＋5＝0，b−15＝0，
∴a＝−5，b＝15．
①根据题意得：−5＋5n＝15，
∴n＝4；
②点 表示的数为−5＋2n，点 表示的数为15＋n，
根据题意得−5＋2n＝15＋n，
∴n＝20；
（2）解：设点C表示的数为c，则点 表示的数为c＋6，
若点 是CM的中点，则c＋1＝2（c＋6），解得c＝−11；
若点M是 的中点，则c＋c＋6＝2，解得c＝−2；
若点C是 的中点，则1＋c＋6＝2c，解得c＝7；
综上所述，点C表示的数为−11，−2或7；
（3）解：设点E表示的数为e，点F表示的数为f，
则点 表示的数为e＋2x，点 表示的数为f＋2y，f−e＝3，
∵E'F'＝3EF，
∴f＋2y−（e＋2x）＝3×3，
∴y−x＝3．
【点睛】本题考查了数轴，非负性的性质，一元一次方程的应用，新定义，体现了分类讨论的数学思想，
根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2022·湖北·武汉市黄陂区教育局七年级期末）数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧， ．
(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与
A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是否发生变化，请
判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)不变化，理由见解析
(3)① ；②
【分析】（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；
（2）设点E表示的数为x，则 ， ， ， ，再由中点的定义，得
， ，由 ，得出MN的定值；
（3）①根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；
②由题意， ，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.
【解析】（1）解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴ ，
故答案为： ，（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ， ，
∵点M是 的中点，N是 的中点
∴ ，
即
（3）解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧
∴AB=n-m
∵
∴AC= n-m+2
∵点D是 的中点
∴AD= AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴ ，
∴ ，
∵
即
当 时．
∵
∴ 不符合题意，舍去当 时．
综上所述，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，利用数形结合思想
表示出线段长是解决问题的关键.
6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满
足以下关系式： ， ．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式 取得最小值时，此时
x=______，最小值为______．
【答案】(1) ，9
(2)
(3)1，12
【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为：-3；9；
（2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1，
∴AB中点表示的数为-1，
∴点C到AB中点的距离为10，
∴点C与数-1-10=-11表示的点重合，
故答案为：-11；
（3）解：由题意得
，
∴代数式 的值即为点P到A、B、C三点的距离和，
如图3-1所示，当点P在A点左侧时
如图3-2所示，当点P在线段AB上时，
如图3-3所示，当点P在线段BC上时，
如图3-4所示，当点P在C点右侧时，
∴综上所述，当P与B点重合时， ．【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，
熟知相关知识是解题的关键．
7．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为
a，b，则A、B两点之间的距离表示为 ．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则
．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离 ______，线
段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以
每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的
端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二
次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1) ；
(2)① ； ；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为 ；
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），即得：13−3（t−5）＝
−2＋2（t− ），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
【解析】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为 ；
故答案为：15； ．
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；
故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动 秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t− ），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表
示的数．
8．（2022·北京海淀·七年级期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意
一点P（不与点O，点A重合），将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ．即
．例如：当点P是线段 的中点时，因为 ，所以 ．（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
【答案】（1）① ；② ＜ ＜ ；（2） 或 ；（3）198．
【分析】（1）①先确定 的表示的数，然后根据题意求出 即可；②先确定 的表示的数根据题意求出
、 ，然后比较即可；
（2）先由 确定M所表示的数，然后根据题意求出 即可；
（3）根据题意可得PO＞PA且PO为PA的整数倍，然后分别求出所有P所表示的数，最后求和即可．
【解析】解：（1）①∵点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
∴ 表示的数是 ；
∴
故答案是 ；
②∵ 表示的数大约是∴ ，
∴ ＜ ＜
故答案是 ＜ ＜ ；
（2）∵
∴M表示的数是 或-
∴ 或 ；
（3）∵P表示有理数， ＜100且为整数
∴PO＞PA且PO为PA的整数倍
由题意可得，当P为OA中点时，则 =1，此时为最小正整数且P表示 ；
当 =2，即PO=2PA,此时P表示 或2；
当 =3，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
…
当 =99，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
=
=2+98×2
=198．
故答案是198．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的混合运算等知识点，理解题意、确定各点所表
示的数成为解答本题的关键．
9．（2022·山东青岛·七年级期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在
何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明
就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变
就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思
维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反
数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负
数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算 (其中 是正整数，且 ，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： ．探究二：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分制图可得等式： ，
两边同除2，得 ，
探究三：计算 ．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算 ．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以， ___________．
(3)拓广应用：计算 ___________．
【答案】探究三： 图见见解析；
解决问题：图见解析；（1） ；（2） ；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以 即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为： ，最后的空白部分的面积是 ，
根据第 次分割图可得等式： ，
两边同除以3，得 ；
解决问题：
（1）
故答案为：
（2） ，
故答案为： ；
（3）拓广应用：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法
是解题的关键．10．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与
点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；
若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：
cm），由此可得到木棒长为 cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你
还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁
了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点
移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应
的数为118，可知爷爷的年龄；
【解析】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）
如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．
【点睛】此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年
龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．11．（2022·江苏常州·七年级期末）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数是
，-1的差倒数为 ，现已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒
数，…，依此类推．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）计算 的值；
（3）计算 的值．
【答案】（1） ， ， ；（2）－1；（3）－1
【分析】本题是阅读理解题，（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；（2）
利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数
循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案．
【解析】解：（1）根据题意，得： ， ， ；
（2） ；
（3）由（1）知，该数列循环周期为3，
所以 ，
则
．
【点睛】首先，理解好阅读文段中给出的定义很关键，然后，根据具体情境抽象出规律是解决这一类题的
核心钥匙．
12．（2022·河南南阳·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4﹣1|= ；表示5和﹣2两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|
=|5+2|= ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a= ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a= 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为 ．
【答案】（1）3；7；﹣5或1；（2）6；（3）a=1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为9．
【分析】（1）数轴上表示两数的两点之间的距离为这两数之差的绝对值，根据这一结论计算即可；（2）
根据a的范围判断出a+4和a﹣2的范围，再去绝对值计算即可；（3）要使|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，
即要求一点，使得这个点到﹣5、1、4这三点的距离之和最小，显然，1到这三点的距离之和最小，即
a=1．
【解析】（1）|4﹣1|=3，|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，|a+2|=3，则a+2=±3，解得a=﹣5或1；
故答案为3；5；﹣5或1；
（2）∵数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，
∴|a+4|+|a﹣2|
=a+4﹣a+2
=6；
（3）当a=1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|=6+0+3=9．
故当a=1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为9，
故答案为1，9．
【点睛】牢记结论数轴上表示两数的两点之间的距离为这两数之差的绝对值．
13．（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）把自然数依次排成以下数阵
， ， ， ，…
， ， ，…
， ，…
，…
如果规定横为行，纵为列，如 是排在 行 列
(1)第 行第 列排的是哪个数？
(2)第 行第 列排的是哪个数？
【答案】(1)
(2)
【分析】观察不难发现，第 行的第一个数是 的和，又第 行的第二个数比第一个数大，第 个数比第二个数大 ，然后整理出第 行第 列的数的表达式．
（1）第 行第 列的行数与列数代入进行计算即可得解；
（2）把第 行第 列的行数与列数代入进行计算即可得解．
（1）
解：∵第 行的第一个数是 ，
第 行的第一个数是 ， ，
第 行的第一个数是 ， ，
第 行的第一个数是 ， ，…，
第 行的第一个数是 ，
以第 行为例， 比 大 ， 比 大 ，…，
所以，第 行的第 个数为 ，第 个为 ，…，
第 行第 列的数为
∵ ，
∴第 行第 列的数为 ，
当 ， 时， ；
即第 行第 列排的是 ；
（2）
当 ， 时， ，
即第 行第 列排的是 ．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，难度较大，根据排列规律，写出每一行的第一个数，然后求出第
行第 列的数的表达式是解题的关键．
14．（2022·福建福州·七年级期末）如图，在数轴上，点A向右移动1个单位到点B，点B向右移动
（n为正整数）个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
(1)当 时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．①数轴上原点的位置可能在（ ）
A．在点A左侧或在A、B两点之间
B．在点C右侧或在A、B两点之间
C．在点A左侧或在B、C两点之间
D．在点C右侧或在B、C两点之间
②若a、b、c中两个数的和等于第三个数，求a的值．
(2)将点C向右移动 个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，且这四
个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．若n分别取1，2，3，…，80时，对应的a的值分别为 ，
， ，…， ，求 的值．
【答案】(1)①B；②
(2)-1720
【分析】（1）①把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选择出答案；
②分三种情形构建方程即可解决问题．
（2）依据题意得，b=a+1，c=b+n+1=a+n+2，d=c+n+2=a+2n+4．根据a、b、c、d四个数的积为正数，且
这四个数的和与其中的两个数的和相等，即可得出用含n的式子表示a，由a为整数，分两种情况讨论：
当n为奇数时；当n为偶数时，得出a=-2，a=-2，a=-3，a=-3，…， ， ，从而得出
1 2 3 4
．
【解析】（1）①B
把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，
∵a、b、c三个数的乘积为负数，
∴从而可得出在在点C右侧或在A、B两点之间；选B．
② ，
当 时， （不满足三个数积为负，舍去）
当 时， （不满足三个数积为负，舍去）
当 时，综上， ．
（2）依据题意得， ， ，
∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
∴a、b为负，c、d为正．（排除四个数同正或同负情况）
∴ 或 ．【排除 ， ， （ 变分数）， （c变原点）四种情
况】
∴ 或 ；
∵a为整数，n为正整数，
∴当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ．
∴ ， ， ， ，…， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，
相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
15．（2022·重庆南岸·七年级期末）如图1，是 （n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的
次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两
端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，
各项的系数与图2中某行的数一一对应．
当 时， ，其中 表示的是 项的系数 ，是常数项．如 ，其中 ．所以， 展
开后的系数和为 ．也可令
．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)写出 去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式；
(2)若 ，求 的值；
(3)已知 ，其中t为常数．若 ，求
的值．
【答案】(1)（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1
(2)41
(3)1024或-32
【分析】（1）由题意可则，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，即可求解；
（2）由（2x+1）4=16x4+8x3+4x2+2x+1，求解即可；
（3）求出t=±3，当t=3时，令x=1，则a+a+a+a+a+a=45=1024；当t=-3时，令x=1，则
5 4 3 2 1 0
a+a+a+a+a+a=（-2）5=-32．
5 4 3 2 1 0
【解析】（1）解：由题意可得，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，
∴（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1；
（2）∵（2x+1）4=16x4+32x3+24x2+8x+1，
∴a+a+a=16+24+1=41；
4 2 0
（3）∵a=10t2=90，
3
∴t=±3，
当t=3时，（x+3）5=ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a，
5 4 3 2 1 0
令x=1，则a+a+a+a+a+a=45=1024；
5 4 3 2 1 0
当t=-3时，（x-3）5=ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a，
5 4 3 2 1 0令x=1，则a+a+a+a+a+a=（-2）5=-32；
5 4 3 2 1 0
综上所述：a+a+a+a+a+a 的值为1024或-32．
5 4 3 2 1 0
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的阅读材料，找到展开式各项系数的规律是解题的关键．
16．（2022·山东青岛·七年级期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．
受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这
个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，
5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
(1)2022属于_______类（A，B或C）；
(2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整
数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；
(3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最
后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．
①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④ 属于A类．
【答案】(1)C
(2)①A；②B
(3)②③
【分析】（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；
②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有
3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由 6065÷3=2021…2，即可求解；
（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知
m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于
C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．
【解析】（1）解：∵2022÷3=674，
∴2022属于C类，
故答案为：C；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，
∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，
∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，
故答案为：A；
②∵从A类数中任意取出2021个数，
∴设这2021个数的和3a+2021，
∵从B类数中任意取出2022个数，
∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，
∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），
∴设这k个数的和为3c，
∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，
∴6065÷3=2021…2，
∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，
∴结果属于B类，
故答案为：B；
（3）从A类数中任意取出m个数，
设这m个数的和为3x+m，
从B类数中任意取出n个数，
设这n个数的和为3y+2n，
∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，
∵最后的结果属于A类，
∴m+2n被3除余数为1，
∴m+2n属于A类，
故②正确；
当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；
当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；
当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确；
故②③正确，
故选：②③．
【点睛】本题考查有理数的性质，理解题意，根据所给条件分类讨论是解题的关键．
17．（2022·福建·厦门市第九中学八年级期末）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和
为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字
与百位数字的和为： ，十位数字与个位数字的和为： ，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为： ，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数” ，交换其百位数字和十位数字得到新数 ，并且定义 ，
若 与 个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数” ，
并说明理由．
【答案】（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由见详解；（2）2562、6153、3426、7017
【分析】（1）根据“七上八下数”的定义，直接判断即可；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，根据 、 与 个位数字的135倍的和刚好为
一个正整数的平方，可得 ，从而得 ，再对d的值进行分类讨论即可．
【解析】解：（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由如下：
∵2571的千位数字与百位数字的和为：2+5=7，十位数字和个位数字和为：7+1=8，
∴2571是七上八下数，
∵4425的千位数字与百位数字的和为：4+4=8≠7，十位数字和个位数字和为：2+5=7≠8，
∴4425不是七上八下数；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，其中a+b=7，c+d=8，
其中1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，则交换百位数字和十位数字后得到新数为
=1000a+100c+10b+d，
∴ = = ，
∵ 与 个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设 ，
∴ ，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，
∴ 是正整数，∵c+d=8，即c=8-d，
∴ ，即： ，
当d=0时， ＞8，不合题意，舍去；
当d=1时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合的n值；
当d=2时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴ =5符合条件，此时，b=5，d=2，a=7-b=2，c=8-d=6，
∴m=2562，
同理：当d=3时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴ =5符合条件，此时，b=1，d=3，a=7-b=6，c=8-d=5，
∴m=6153；
同理：当d=4时，没有满足条件的n；
当d=5时，没有满足条件的n；当d=6时，m=3426；
当d=7时，m=7017；
当d=8时，没有满足条件的n．
综上所述：满足条件的所有“七上八下数” 为2562、6153、3426、7017．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，理解“七上八下数”的定义，列出代数式，式解题的关键．
18．（2022·四川资阳·七年级期末）一般情况下 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：
．我们称使得 成立的一对数 为“相伴数对”，记为
（1）若 是“相伴数对”，求 的值；
（2）写出一个“相伴数对” ，并说明理由．（其中 ，且 ）
（3）若 是“相伴数对”，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2） 是“相伴数对”，理由见详解；（3） ．
【分析】（1）根据“相伴数对”定义列出方程求解即得；
（2）先根据“相伴数对”定义确定一个有序数对为“相伴数对”，再将这个特殊的情况代入
验证左右相等即可；
（3）先根据“相伴数对”定义得出 ，进而用含m的式子表示n，再化简要求的代数式即得．
【解析】（1）∵ 是“相伴数对”
∴
解得：
（2） 是“相伴数对”，理由如下：
∵ ，
∴
∴根据定义 是“相伴数对”（3）∵ 是“相伴数对”
∴
∴
∴
∵
∴当 时
【点睛】本题考查了一元一次方程应用及多项式化简，解题关键是挖掘题目中的条件，以 作
为解决所有问题的依据．
19．（2022·山东青岛·七年级期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事
非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数.
【分析思路】
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并
保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．
如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)【解决问题】
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形
那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添
加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数.
【答案】（1） ;(2) 方法不唯一，见解析；（3）方法不唯一，见解析
【分析】先找出前几项的钢管数，在推出第n项的钢管数.
【解析】（1）
（2）方法不唯一，例如：
（3）方法不唯一，例如：【点睛】此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律.
20．（2022·新疆塔城·七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上
每张票的价
60元 50元 40元
格
某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人
数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．
(1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？
(2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作
为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？
【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人
(2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱
【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多
于（2）班人数，所以51<x<100，则0<102−x<51， 利用单独购买门票，一共应付5500元列方程，解方程
即可；
（2）按照团体票的单价计算总费用，即可得到答案；
【解析】（1）解：设去该景区游玩的七年级（1）班有x人，（2）班有 人．根据题意，得
解得 ．
则（2）班人数为： （人）．
答：七年级（1）班有62人，（2）班有40人．
（2）解：方案一：各自购买门票需 （元）；
方案二：联合购买门票需 （元）；方案三：联合购买101张门票需 （元）；
综上所述：因为 ．
答：七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用：方案选择问题，解题的关键是读懂题意，利用隐含条件找出
等量关系列方程．
21．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期末）学校为了让学生积极参加体育锻炼强健体魄，做好
大课间活动，计划购买体育用品，价格如下表：
备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
价格 60元/个 35元/个 25元/支
(1)若用2550元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍，篮球和排球的数量比 ，排球与羽毛球拍数量的比
为 ，求篮球、排球和羽毛球拍的购买数量各为多少？
(2)初一学年计划购买篮球，初二学年计划购买排球，商场的优惠促销活动如下：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过500元 不优惠
超过500元且不超过600元 售价打九折
超过600元 售价打八折
按上述优惠条件，若初一年级一次性付款420元，初二年级一次性付款504元，那么这两个年级购买两种
体育用品的数量一共是多少？
【答案】(1)篮球16个、排球24个、羽毛球30个
(2)25个或23个
【分析】（1）设篮球有8k个，则排球有12k个，羽毛球有15k支，根据三种商品的钱一共为2550元列方
程求解即可；
（2）分类讨论分别求出初一年级学生购买的篮球数和初二年级学生购买的排球数即可得解．
（1）解：由篮球和排球的数量比 = ，排球与羽毛球拍数量的比为 ，设篮球由8k个，则
排球有12k个，羽毛球有15k支，由题意可得，60×8k+35×12k+25×15k=2550，1275k=2550，k=2，因此，篮
球个数为：8×2=16（个），排球个数为：12×2=24（个），羽毛球支数为：15×2=30（支），答：篮球有
16个，排球有24个，羽毛球有30支，（2）解：初一年级购买篮球一次性付款420元，当按原价付款时，购买个数为：420 60=7（个），当按
八折付款时，购买个数为：420 （60×0.8）= （个），不符合实际情况，当按九折付款时，购买个数为：
420 （60×0.9）= （个），不符合实际情况，因此，初一年级购买篮球7个；初二年级购买排球一次性
付款504元，当按原价付款时，购买个数为：504 35= （个），不符合实际情况，当按八折付款时，购
买个数为：504 （35×0.8）=18（个），当按九折付款时，购买个数为：504 （35×0.9）=16（个），因此，
初二年级购买排球18个或者是16个；7+18=25（个），7+16=23（个），所以这两个年级购买两种体育用
品的数量一共为25个或者是23个．
【点睛】本题考查了简易方程和分类讨论思想，利用分类讨论思想求解篮球数和排球数是解题的关键．
22．（2022·江苏连云港·七年级期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为
“美好方程”．例如：方程 和 为“美好方程”．
(1)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程，”求关于y的一元一次方程
的解．
【答案】(1)9
(2) 或
(3)2022
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，可求出
的解为x=-2023，再将 变形为 ，则
y+1=x=2023，从而求解．
【解析】（1）解：∵3x+m=0∴x
∵
∴x=4
∵关于x的方程 与方程 是“美好方程”
∴
∴m=9．
（2）解：∵“美好方程”的两个解和为1
∴另一个方程的解是1-n
∵两个解的差是8
∴1-n-n=8或n-（1-n）=8
∴ 或 ．
（3）解：∵
∴x=-2022
∵关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”
∴关于x的一元一次方程 的解为：
x=1-（-2022）=2023
∴关于y的一元一次方程 可化为
∴y+1=x=2023
∴y=2022．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
23．（2022·湖南长沙·七年级期末）已知 是关于x的方程 的解， 是关于y的方程
的解，若 ， 是满足 ，则称方程 与方程 互为“阳光方程”；例如：方程 的解是 ，方程 的解是 ，因为 ，所以
方程 与方程 互为阳光方程．
(1)请直接判断方程 与方程 是否互为阳光方程；
(2)请判断关于x的方程 与关于y的方程 是否互为阳光方程，并
说明理由；
(3)若关于x的方程 与关于y的方程 互为阳光方程，请求出k的最大值和
最小值．
【答案】(1)不是；
(2)是；
(3)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）解出两个一元一次方程的解分别为 ， ，根据阳光方程的定义求解即可；
（2）分别求得两个方程的解，再根据阳光方程的定义判断即可；
（3）分别求得两个方程的解，再根据阳光方程的定义列出绝对值不等式，然后求解即可．
(1)
解：由方程 可得 ，
由方程 可得 ，
∵
根据阳光方程的定义可得：方程 与方程 不是互为阳光方程；
(2)
由 可得
解得 ，
由 可得，根据阳光方程的定义可得：关于x的方程 与关于y的方程 是互
为阳光方程；
(3)
由 可得 ，
由 可得
由题意可得： ，即 ，即
解得 ，
的最大值为 ，最小值为 ．
【点睛】此题是新定义题，考查了一元一次方程的求解，绝对值不等式的求解，解题的关键是准确理解题
意，正确求出各方程的解以及不等式的解集．
24．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上点M，N对应的实数分别为﹣6和8，数轴上一条线段AB
从点M出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达
点N立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒．
(1)如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离；
(2)如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点D与
点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），CD＝4，
点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点．
①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C对应的数．
【答案】(1)点A对应的有理数为-4，点B与点N之间的距离为10
(2)①t的值是1或 ；②点C对应是有理数为2
【分析】（1）根据起始点求出点A和点B对应的数，进而可得答案；
（2）①分别用含t的代数式表示出点P和点Q，再分情况列方程即可；
②当0＜t≤5时，点P与点Q重合时不在整点处；当5＜t≤10时，由题意得-5+t=-4+2（t-5），解方程可得答
案．
(1)
解：点A起始点在-6处，当t=2时，
∵-6+1×2=-4，
∴点A对应的有理数为-4，点B起始点在-4处，当t=2时，
∵-4+1×2=-2，
∴点B对应的有理数为-2，
∴点B与点N之间的距离为10；
(2)
①点P起始点在-5处，当运动时间为t秒时，
∵0＜t≤5，
∴此时点P一直往右运动，
∴点P对应的有理数为-5+t，
点Q起始点在6处，当运动时间为t秒时，
∵0＜t≤5，
∴此时点Q一直往左运动，
∴点Q对应的有理数为6-2t，
∵点P、点Q到数轴原点的距离相等，
∴当原点是PQ中点时，-5+t+6-2t=0，
解得t=1，
当P、Q重合时，-5+t=6-2t，
解得t= ，
综上，t的值是1或 ；②当0＜t≤5时，由①可得点P与点Q重合时不在整点处；
当5＜t≤10时，由题意得-5+t=-4+2（t-5），
解得t=9，
此时，点Q对应是有理数为4，故点C对应是有理数为2．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清
题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示
的数的差的绝对值．
25．（2022·福建莆田·七年级期末）学校将学生按年级、班级、班内座号的顺序给每一位学生编号，如7
年级12班26号学生的编号为071226．小浩同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，
在4×4的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i行、从左
往右数第j列表示的数记为aij（其中i、j＝1，2，3，4），例如图1中，第2行第3列的数字a ＝1．规定
23
Ai＝23ai+22ai+2ai+ai．
1 2 3 4
(1)若A 表示所在年级，A 表示所在班级，A 表示编号的十位数字，A 表示编号的个位数字．图1是小浩同
1 2 3 4
学的身份识别图案，请直接写出小浩同学的编号为______；
(2)小浩同学又设计了一套信息加密系统，其中A 表示所在年级的数加4，A 表示所在年级的数乘2后减2
1 2
再减所在班级的数，将编号的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结
果的十位数字用A 表示、个位数字用A 表示，9年级5班39号的小方同学，编号为090539，其加密后的
3 4
身份识别图案中，A＝9+4＝13，A＝9×2﹣2﹣5＝11，93+2＝95，所以A＝9，A＝5，则加密后的编号为
1 2 3 4
131195．
①请在图2中画出小方同学加密后的身份识别图案；
②图3是小乐同学加密后的身份识别图案，由于被损坏看不清第4行，但已知加密后的编号的末两位比原
编号的末两位小16，请求出小乐同学的编号．
【答案】(1)071143
(2)①见图，②081031
【分析】（1）由规定Ai＝23ai+22ai+2ai+ai，可分别求得A、A、A、A，从而可得小浩同学的编号；
1 2 3 4 1 2 3 4（2）①根据小方同学加密后的编号为131195，从而可求得各行与各列的数，可得图形；
②由题意知，小乐同学加密后的编号中A=12，A=4，A=1，设小乐同学加密后的编号中A=x，则可得加
1 2 3 4
密后的末两位数为 ，从而可得原编号中末两位数为10(x−2)+1，根据“加密后的编号的末两位比
原编号的末两位小16”列出方程，即可求得x，从而求得原编号．
(1)
由题意得： ， ， ，
所以小浩同学的编号为071143
故答案为：071143
(2)
①小方同学加密后的编号为131195
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
故可得图如下：
②由题意知，小乐同学加密后的编号中A=12，A=4，A=1，设小乐同学加密后的编号中A=x
1 2 3 4
∴加密后的编号末两位数为
∴原编号中末两位数为10(x−2)+1
由题意得：10(x−2)+1=（10+x）+16
解得：x=5
∴原编号中末两位数为10(5−2)+1=31由A=12得加密前的年级为12−4=8，由A=4得加密前的班级为8×2−2−4=10
1 2
所以小乐同学原来的编号为081031．
【点睛】本题材料题，考查了有理数的运算、求代数式的值、解一元一次方程等知识，理解题意是关键．
26．（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问
题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，
请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得 ，再根据角的和差、角平分线的定义可
得 ，然后根据 即可得；
（2）先根据角的和差可得 ，再根据角平分线的定义可得
，然后根据 即可得；
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得 ，再分①射线
在 的内部，②射线 在 的内部，③射线 在 的内部三种情况，分别根据角的和差
即可得．
【解析】（1）解： 是 的平分线， ，
，，
，
是 的平分线，
，
；
（2） ，
，
是 的平分线， 是 的平分线，
，
故答案为：
（3） 是 的平分线， 是 的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长 至点 ，当射线 在 的内部时，
，
，
；
②如图，延长 至点 ，延长 至点 ，当射线 在 的内部时，，
，
；
③如图，延长 至点 ，当射线 在 的内部时，
，
，
；
综上， 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解
题关键．
27．（2022·河北保定·七年级期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块
直角三角板DOE直角顶点放在点O处．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、
∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎
样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20
(2)∠BOD=50°；∠COE=70°
(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见解析
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入
∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．
（1）
解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：20；
（2）
如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,
∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；
（3）
∠COE-∠BOD=20°
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°，即∠COE-∠BOD=20°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
28．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，射线OC在 的内部，图中共有3个角： ，
和 ，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是 的“倍分
线”．
(1)如图，若 ，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且
．
①当 秒时，OC______ 的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是 的“倍分线”，求t的值；
(2)如图，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转 ，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转
，且 ，两条射线相交于点C．CD、CE分别是 的高和角平线，是否存在CE是
的“倍分线”的情况？若存在，请求出 与 应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①是；②6或12或8
(2)存在 是 的“倍分线”的情况，理由见解析， 与 应满足的数量关系为： 或
或
【分析】（1）①设∠BOC=15t，当t=2时，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合题意．②设∠BOC=15t，则OA分成的三个角为∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分类计算即可．
（2）运用定义和分类思想计算即可．
【解析】（1）①当 时， 在 内部，且 ，
，
是 的“倍分线”，
故答案为：是；
②（Ⅰ）当 在 内部且 时，
，
，
；
（Ⅱ）当 在 内部且 时，如图：
，
，
；
（Ⅲ）当 在 内部且 时，如图：，
，
综上所述， 的值为6或12或8；
（2）存在 是 的“倍分线”的情况，理由如下：
（2）存在 是 的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：
由已知可得： ， ，
，
当 时，如图：
，
，
当 时，如图：，
整理得： ，
当 时，如图：
，
整理得 ，
综上所述， 与 应满足的数量关系为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了新定义角的计算问题，正确理解定义，熟练掌握分类计算的标准是解题的关键．
29．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知 ，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON
分别平分∠AOC和∠DOB．
(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则 ______°
(2)如图②，若 ， ，则 ______°(3)如图③，在∠AOB内，若 ，则 ______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（ ， ），求
此时∠MON的度数．
【答案】(1)80
(2)80
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ， ，
，则 ；
（2）根据角平分线的定义得到 ， ，而 ，
则 ，所以 ；
（3）与（2）一样得到 ， ，则 ；
（4）反向延长 、 得到 、 ，然后分类讨论：当 、 在 内部；当 、 在
内部，可计算得到 ；
当 、 在 内部，可计算得到 ；当 、 在 内部，可计算得到
．
【解析】（1）解： 、 是 的三等分线，
，
射线 、 分别平分 和 ，
， ，；
故答案为80；
（2）解： 射线 、 分别平分 和 ，
， ，
，
， ，
，
；
故答案为80；
（3）解： 射线 、 分别平分 和 ，
， ，
，
， ，
，
，
；
故答案为 ；
（4）解：反向延长 、 得到 、 ，如图，
当 、 在 内部，设 ，则 ，
， ，
；
当 、 在 内部，可计算得到 ；
当 、 在 内部，可计算得到 ；
当 、 在 内部，可计算得到 ．
【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
30．（2022·河北保定·七年级期末）如图一，已知数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点
从 出发，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒
(1)线段 __________．
(2)当点 运动到 的延长线时 _________．（用含 的代数式表示）
(3)如图二，当 秒时，点 是 的中点，点 是 的中点，求此时 的长度．(4)当点 从 出发时，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点 表示的数为：_________（用含 的代数式表示），
点 表示的数为：__________（用含 的代数式表示）．
②存在这样的 值，使 、 、 三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出 值．
______________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)① ； ② 秒或 秒或 秒
【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所对应的数
的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用 点P运动路程－ 可求解；
（3）当 秒时，根据路程＝速度×时间，得到 ，所以 ，再 由点 是 的中
点，点 是 的中点，利用中点的定义得到 ， ，最后由 即可得到
结论．
（4）①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路程＝速度×时间”，再利用数轴
上两点间距离公式，则点 所表示的数是点 的运动路程加上点 所表示的数，点 所表示的数是点 的
运动路程加上点 所表示的数即可．
②结合①的结论和点 所表示的数，分三种情况讨论即可．
【解析】（1）解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴ ．
故答案为：14
（2）∵在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度
沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
（3）∵点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线
的方向向右运动，
当 秒时， ，
∴ ，
又∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∴此时 的长度为 ．
（4）①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，另一个
动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，
∴ ， ，
∴点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
故答案为： ；
②结合①的结论和点 所表示的数，可知：
点 表示的数为 ，点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
分以下三种情况：若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，当 为 秒或 秒或 秒时， 、 、 三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，中点的定义，注
意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表示的数．
31．（2022·江西宜春·七年级期末）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条
线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”）
(2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒．
①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的
“倍分点”？
②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方
向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值．
【答案】(1)是
(2)① 或3或 ；② 、 秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒
【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可；（2）①由题意得： 再分三种情况；当 时， 当 时， 当
时， 再列方程求解即可；②当 与 相遇时，则 再分两种情况讨论：当 时，
当 时， 再列方程求解即可.
【解析】（1）解：如图， 为 的中点，
所以
所以 是 的“倍分点”，
故答案：是；
（2）①由题意得：
当 时，此时 ， 解得
当 时， 解得：
当 时， 解得：
综上：当 s或 s或 s时，点P是线段AB的“倍分点”.
②当 与 相遇时， 解得：
当 时，
当 时， 解得：
当 时， 解得：
当 时， 解得：
当 时，当 时， 解得：
当 时， 解得：
当 时， 解得：
综上：当 s或 s或 s或 s或 s或 s，点P是线段AQ的“倍分点”.
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，理
解新定义的含义是解本题的关键.
32．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点 位于数轴原点， 点从 点出发以每秒1个单位长度的速
度沿数轴向左运动， 点从 点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点 表示的数为 ，点 表示的数为7，当点 ， 运动时间为2秒时，求线段 的长；
(2)若点 ， 分别表示 ，6，运动时间为 ，当 为何值时，点 是线段 的中点．
(3)若 ， 是数轴上的一点，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)当 时点 是线段 的中点
(3) 或1
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据
可求；
（2）先表示出BD和CD，再根据点 是线段 的中点，列方程求解；
（3）分 在线段 上和点 在线段 的延长线上两种情况，分别求解．
（1）
解：∵ ， ，
又∵点 表示 ，点 表示7，
∴ ，
∴∴ ．
（2）
解：∵点 ， 分别表示 ，6，
所以 ， ， ， ， ，
当 是 的中点时 ，即 ，
∴当 时点 是线段 的中点．
（3）
解：①当点 在线段 上时，如图
∵ ，
又∵
∴ ，
又∵
∴ ，即
②当点 在线段 的延长线上时，如图
∵ ，又∵
∴ ，即
综上所述 或1．
【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路
程与线段的关系．
33．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的
数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3
个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．(1)a＝ ，b＝ ；
(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．
(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒
4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，
请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)﹣3，﹣1；
(2) 或1或 或 ；
(3)1， ， ，8．
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a，c；根据最大的负整数求出b；
（2）先由PA+PB+PC＝13计算出P点的位置，再根据P点的运动轨迹计算出总长度，进而计算时间；
（3）根据P、M、N三点的位置关系判断中点：开始P在中间，PM相遇后M在中间（BA和AC上），
MN相遇后N在中间，PN相遇后P在中间（AC和CA上），分别讨论t的取值；
(1)
解：b是最大的负整数，即b=﹣1，
|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，
∴a=﹣3，c=9，
故答案为：﹣3，﹣1；
(2)
解：AB=2，BC=10，AC=12，
PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1，
∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：
由B到A时：x=1÷3= ，
由A到B时：x=3÷3=1，
由B到C时：x=5÷3= ，
由C到B时：x=23÷3= ；故x的值为: 或1或 或 ．
(3)
解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜ ），
当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（ ≤t＜ ），
当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（ ≤t≤8），
当M点由A到C运动时M=4t－3，
当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，
PM相遇时3t＋4t=2，t= ，
MN相遇时4t＋5t=12，t= ，
PN相遇时3t＋5t=12＋2，t= ，
0≤t＜ ，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣ 舍去；
＜t＜ ，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t= 舍去；
≤t＜ ，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1；
＜t＜ ，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t= ；
＜t＜ ，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t= ；
≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；
故t的值为：1， ， ，8．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置关系，中点公式，一元一次方程的运用；用t的代数式表示出
P、M、N三点的位置，根据三点的位置判断中点是解题的关键．
