文档文本内容
七下期末难点特训（二）和不等式（组）有关的压轴题
1．若不等式（组）只有 个正整数解（ 为自然数），则称这个不等式（组）为 阶不等
式（组）．
我们规定：当 时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式 只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1) 是 阶不等式； 是 阶不等式组；
(2)若关于 的不等式组 是4阶不等式组，求 的取值范围；
(3)关于 的不等式组 的正整数解有 ， ， ， ，…，其中
…．如果 是 阶不等式组，且关于 的方程 的解是 的正整
数解 ，直接写出 的值以及 的取值范围．
【答案】(1)0、1
(2)
(3) ；
【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答；
（2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得a的取值范围；
（3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根
据数轴即可得到 的取值范围．
（1）
∵ 没有正整数解，
∴ 是0阶不等式，
解 可得1<x<3，
∴ 有一个正整数解2，∴ 是1阶不等式组，
故答案为0，1；
（2）
如图，
由题意可得 有4个正整数解：1、2、3、4；
∴ 的取值范围是 ；
（3）
∵ ，
∴x= ，a= ，
3
∴m为偶数，且a =m-1，
-3
∴ +m-6=m-1，
∴m=10，
∴可得图如下所示：
∴ 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴
表示解集是解题关键．
2．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 ．
例如， ， ， ，那么， ，其中 ．
例如， ， ， ．
请你解决下列问题：
（1） __________， __________；
（2）如果 ，那么x的取值范围是__________；
（3）如果 ，那么x的值是__________；
（4）如果 ，其中 ，且 ，求x的值．【答案】（1）4，-7；（2） ；（3） ；（4） 或 或 或
【分析】（1）根据 表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（2）根据 表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（3）由材料中“ ，其中 ”得出 ，解不等式，再根据
3x+1为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件 可得 ，由 ，可求得 的范围，根据
为整数，分情况讨论即可求得x的值．
【详解】（1） ， ．
故答案为：4，-7．
（2）如果 ． 那么x的取值范围是 ．
故答案为： ．
（3）如果 ，那么 ．
解得：
∵ 是整数．
∴ ．
故答案为： ．
（4）∵ ，其中 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，0，1，2．
当 时， ， ；当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
∴ 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中 的意义，列出不等式求
解；最后一问要注意不要漏了情况．
3．对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示
a，b，c这三个数中最小的数，如：
，min{﹣1，2，3}＝﹣1；
，min{﹣1，2，a}＝ ；
解决下列问题：
（1）填空：min{﹣22，2﹣2，20130}＝ ；
（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝ ；
②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则 ”（填a，b，c的大小关
系）；
③运用②解决问题：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．
【答案】（1）-4；（2） ；（3）①1；②a＝b＝c；③-4
【分析】（1）先求出﹣22，2﹣2，20130这些数的值，再根据运算规则即可得出答案；
（2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案；
（3）根据题中规定的M{a、b、c}表示这三个数的平均数，min{a、b、c}表示a、b、c这三
个数中的最小数，列出方程组即可求解．
【详解】（1）∵﹣22＝﹣4，2﹣2＝ ，20130＝1，
∴min{﹣22，2﹣2，20130}＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）由题意得： ，
解得：0≤x≤1，
则x的取值范围是0≤x≤1；故答案为0≤x≤1；
（3）①M{2，x+1，2x}＝ ＝x+1＝min{2，x+1，2x}，
∴ ，
∴ ，
∴x＝1．
②若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则a＝b＝c；
③根据②得：2x+y+2＝x+2y＝2x﹣y，
解得：x＝﹣3，y＝﹣1，
则x+y＝﹣4．
故答案为：①1；②a＝b＝c；③﹣4．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，读懂题目信息并理
解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．
4．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的
关联方程．
（1）在方程①x-（3x+1）＝﹣5；② ；③3x﹣1＝0中，不等式组
的关联方程是 （填序号）；
（2）若不等式组 的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 （写
出一个即可）；
（3）若方程 都是关于x的不等式组 的关联方程，
直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①；（2） ；（3）0≤m＜0.5．
【分析】（1）分别先解方程与不等式，再根据关联方程的定义可以解答本题；
（2）本题答案不唯一，先解不等式，写出的方程只要符合关联方程的定义即可；
（3）先解方程与不等式，根据关联方程的定义列出不等式组，即可求得m的取值范围．
【详解】解：（1）由不等式组 ，
得， ＜x＜ ，
由 ，解得，x=2，故方程① 是不等式组 的关联方程，
由 得， ，
故方程② 不是不等式组 的关联方程，
由3x-1=0，得 ，故方程③3x-1=0不是不等式组 的关联方程，
故答案为：①；
（2）由不等式组 ，
解得，0.5＜x＜3，
则它的关联方程的根是整数的一个方程是x-2=0，
故答案为：x-2=0；
（3）由 得x=0.5，
由 ，得x=2，
由不等式组 ，
解得，m＜x≤2+m，
∵方程 都是关于x的不等式组 的关联方程，
∴ ，
得0≤m＜0.5，
即m的取值范围是0≤m＜0.5．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，
利用方程和不等式的知识解答．
5．定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且 、 、 ，
那么这个两位数叫做“互异数”．
将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与
原两位数的和与11的商记为 ．
例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为
，和与11的商为 ，所以 ．
根据以上定义，解答下列问题：（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为________；
②计算： ________； ________；（m、n分别为一个两位数的十位数
字与个位数字）
（2）如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且 ；另一个“互异
数”c的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，请求出“互异数”b和c；
（3）如果一个“互异数”d的十位数字是x，个位数字是 ，另一个“互异数”e的十
位数字是 ，个位数字是3，且满足 ，请直接写出满足条件的所有x
的值________；
（4）如果一个“互异数”f的十位数字是 ，个位数字是x，且满足 的互异数
有且仅有3个，则t的取值范围________．
【答案】（1）①21；②9，m+n；（2）b=25，c=49；（3）3或4；（4）10＜t≤12
【分析】（1）①由“互异数”的定义可得；
②根据定义计算可得；
（2）由W（b）=7，W（c）=13，列出二元一次方程组，即可求x和y；
（3）根据题意W（d）+W（e）＜25可列出不等式，即可求x的值；
（4）根据“互异数”f的十位数字是x+4，个位数字是x，分类讨论f，根据满足W（f）＜t
的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围．
【详解】解：（1）①∵如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且m≠n、
m≠0、n≠0，那么这个两位数叫做“互异数”，
∴“互异数”为21，
故答案为：21；
②W（36）=（36+63）÷11=9，W（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n；
故答案为：9，m+n；
（2）∵W（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n，且W（b）=7，
∴x+y=7①，
∵W（c）=13，
∴x+2+2y-1=13②，
联立①②解得 ，
故b=10×2+5=25，
c=10×（2+2）+2×5-1=49；
（3）∵W（d）+W（e）＜25，
∴x+x+3+（x-2+3）＜25，
解得x＜7，
∵x-2＞0，x+3＜9，∴2＜x＜6，
∴2＜x＜6，且x为正整数，
∴x=3，4，5，
当x=5时e为33不是互异数，舍去，
故答案为：3或4；
（4）当x=0时，x+4=4，此时f为40不是互异数；
当x=1时，x+4=5，此时f为51是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=6；
当x=2时，x+4=6，此时f为62是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=8；
当x=3时，x+4=7，此时f为73是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=10；
当x=4时，x+4=8，此时f为84是互异数，W（f）=x+4+x=2x+4=12；
∵满足W（f）＜t的互异数有且仅有3个，
∴10＜t≤12，
故答案为：10＜t≤12．
【点睛】本题以新定义为背景考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程的应用，解题
的关键是根据新定义列出方程和不等式．
6．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（ax＋by）（2x＋y），其中a，b是非零
常数，等式右边是通常的四则运算．
如：T（2，1）＝（a×2＋b×1）（2×2＋1）＝10a＋5b，T（m，﹣1）＝（am﹣b）（2m﹣
1）．
（1）填空：T（1，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）已知T（1，﹣1）＝3且T（0，1）＝﹣1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组 恰好有三个整数解，求t的取值范围．
（3）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意的有理数x，y都成立，请直接写出a，b满
足的关系式．
【答案】（1）a-b；（2）①a=2，b=-1；② ；（3）b=2a
【分析】（1）根据所给新定义法则计算即可；
（2）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；②根据题中新定义化简已知不等式，根
据不等式组恰好有三个整数解，求出t的范围即可；
（3）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．
【详解】解：（1）由题意可得：
T（1，﹣1）=（a-b）（2-1）=a-b；
（2）①∵T（1，-1）=3且T（0，1）=-1，
∴a-b=3，b=-1，
解得：a=2；②根据题意得：
，
化简得： ，
由①得： ，
由②得： ，
∵不等式组恰好有三个整数解，
则整数解为1，2，3，
∴ ，
解得： ；
（3）由T（x，y）=T（y，x），得到 ，
整理得： ，
∵T（x，y）=T（y，x）对任意有理数x，y都成立，
∴2a-b=0，即b=2a．
【点睛】此题考查了新定义运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，
弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， ，如果
，则称 与 互为“ 距点”．例如：点 ，点 ，由
，可得点 与 互为“ 距点”．
（1）在点 ， ， 中，原点 的“ 距点”是_____(填字母)；
（2）已知点 ，点 ，过点 作平行于 轴的直线 ．
①当 时，直线 上点 的“ 距点”的坐标为_____；
②若直线 上存在点 的“ 点”，求 的取值范围．
（3）已知点 ， ， ， 的半径为 ，若在线段 上存在点 ，在
上存在点 ，使得点 与点 互为“ 距点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）① ；② ；（3） ．
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）①设直线 上与点 的“ 距点”的点的坐标为（a，3），根据定义列出关于a的方程，解方程即可；
②点 坐标为 ，直线 上点的纵坐标为b，由题意得 ，转化为不等式组，解不
等式组即可．
（3）分类讨论，分别取P与点M重合、P与点N重合讨论。当点P与点M重合时，设⊙C
左侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m- ，0），根据定义列出关于m的绝对值方程，
解方程，取较小的值；当点P与点N重合时，设⊙C右侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标
是（m+ ，0），根据定义列出关于m的绝对值方程，解方程，取较大的值，问题得解．
【详解】解：（1）∵ ，O（0,0），
∴ ，
∴点D与原点互为“ 距点”；
∵ ，O（0,0），
∴ ，
所以点D与原点互为“ 距点”；
∵ ，O（0,0），
∴ ，
所以点D与原点互为“ 距点”；
故答案为： ；
（2）①设直线 上与点 的“ 距点”的点的坐标为（a，3），
则 ，
解得a=2
故答案为（2,3）；
②如图，点 坐标为 ，直线 上点的纵坐标为b，设直线 上点的坐标为（c，b）
则： ，
∴ ，
∴ ,
∴ ,
即 的取值范围是 ；（3）如图（1），当点P与点M重合时，设⊙C左侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是
（m- ，0），
∵点P与点Q互为“5-距点"，P（1,2），
∴ ，
解得： ， ；
∵ ，
∴取 ．
当点P与点N重合时，设⊙C右侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m+ ，0），
∵点P与点Q互为“5-距点"，则P（3,2），
∴ ，
解得： ， ，
∵
∴取
∴ ．【点睛】本题为新定义题型，关键要读懂题目中给出的新概念，建立模型，并结合所学知
识解决即可．
8．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这
个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式 ，当1x 1时，代数
式 在x1时有最大值，最大值为1；在x0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均
在1x1这个范围内，则称代数式 是1x1的“湘一代数式”．
（1）若关于 的代数式 ，当 时，取得的最大值为 ，最小值为 ，所以代数式
（填“是”或“不是”） 的“湘一代数式”．
（2）若关于 的代数式 是 的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值．
（3）若关于 的代数式 是 的“湘一代数式”，求m的取值范围．
【答案】（1） 是．（2）a的最大值为 ，最小值为 ；（3）
【分析】（1）先求解当 时， 的最大值与最小值，再根据定义判断即可；（2）当 时，得 分 ＜ ，分别求解 在 内
时的最大值与最小值，再列不等式组即可得到答案；
（3）当 时，分 ， 两种情况分别求解 的最大值与最小值，
再列不等式（组）求解即可．
【详解】解：（1）
当 时， 取最大值 ，
当 时， 取最小值
所以代数式 是 的“湘一代数式”．
故答案为： 是．
（2）∵ ，
∴0≤|x|≤2，
∴
①当a≥0时，x=0时， 有最大值为 ，
x=2或-2时， 有最小值为
所以可得不等式组 ，
由①得：
由②得：
所以：
②a＜0时，x=0时， 有最小值为 ，
x=2或-2时， 的有大值为
所以可得不等式组 ，
由①得：
由②得：所以： ＜ ，
综上①②可得 ，
所以a的最大值为 ，最小值为 ．
（3） 是 的“湘一代数式”，
当 时， 的最大值是 最小值是
当 时，
当 时， 取最小值
当 时， 取最大值 ，
解得：
综上： 的取值范围是：
【点睛】本题考查的是新定义情境下的不等式或不等式组的应用，理解定义列不等式
（组）是解题的关键．
9．如果 x 是一个有理数，我们定义x 表示不小于 x 的最小整数． 如3.2 4 ，
2.6 2 ， 5 5 ， 6 6.由定义可知，任意一个有理数都能写成 x x
b 的形式（ 0≤b＜1 ）．
(1)直接写出x 与 x ， x 1的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导x 与 x ， x 1的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导x 与 x ， x 1的大小关系．
(2)根据（1）中的结论解决下列问题：
① 直接写出满足3m 7 4 的 m 取值范围；
② 直接写出方程3.5n 2 2n 1 的解．.
【答案】（1） ；（2）① ；② 或 ．
【分析】（1）提示1：先列出4个x的值，分别得出 与 的大小关系，再利用“不
完全归纳法”即可得；
提示2：先根据“ ”得出 ，再根据“ ”即可得；
（2）①根据（1）的结论得出 ，据此解不等式组即可得；
②先根据（1）的结论得出 ，再解不等式组求出n的取值范围，
从而可得 的取值范围，然后根据“ 为整数”可得出方程，由此解方程即可得．
【详解】（1）提示1：当 时， ，则
当 时， ，
则
当 时， ，
则
当 时， ，
则
由“不完全归纳法”可得： ；
提示2： ，且
；
（2）①由（1）的结论得：
解得 ；
②由（1）的结论得：
解得
为整数
则 或
解得 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、解一元一次方程等知识点，理解新定义，
正确求解不等式组是解题关键．
10．对于实数x，若 ，则符合条件的 中最大的正数为 的内数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的内数是______，6的内数是______；
（2）若3是x的内数，求x的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过 秒后，动
点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正
方形边界与内部的格点）为 ，例如当 时， ，如图2①……；当 时， ，
如图2②，③；……
①用 表示 的内数；
②当 的内数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，
直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）
【答案】（1）2，7，4；（2） ；（3）①t的内数 ；②符合条件的最大实心
正方形有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为 ．
【分析】（1）根据内数的定义即可求解；
（2）根据内数的定义可列不等式 ，求解即可；
（3）①分析可得当 时，即t的内数为2时， ；当 时，即t的内数为3时，
，当 时，即t的内数为4时， ……归纳可得结论；②分析可得当t的内数
为奇数时，最大实心正方形有2个；当t的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大
实心正方形的边长为： 的内数－1，即可求解．
【详解】解：（1） ，所以1的内数是2；
，所以20的内数是7；
，所以6的内数是4；
（2）∵3是x的内数，
∴ ，
解得 ；
（3）①当 时，即t的内数为2时， ；
当 时，即t的内数为3时， ，当 时，即t的内数为4时， ，
……
∴t的内数 ；
②当t的内数为2时，最大实心正方形有1个；
当t的内数为3时，最大实心正方形有2个，
当t的内数为4时，最大实心正方形有1个，
……
即当t的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t的内数为偶数时，最大实心正方形有
1个；
∴当 的内数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，
由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为： 的内数－1，
∴此时最大实心正方形的边长为8，
离原点最远的格点的坐标有两个，为 ．
【点睛】本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．
