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第九章 不等式与不等式组压轴题考点训练
1．若关于x的不等式组 的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解有4个，确定m的取值范围即
可．
【详解】解：解不等式组 ，得： ，
∵关于x的不等式组 的整数解共有4个，
即： ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集，求参数的取值范围．解题的关键是正确的求出不
等式组的解集．
2．不等式组 的所有整数解的和为9，则整数 的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先解不等式组，求出其解集（用a表示），再根据不等式组的所有整数解的和为
9，得到不等式整数解，从而得出关于a的不等式组，再求解即可．
【详解】解：解等式组 得
，
∴ ，
∵不等式组的所有整数解的和为9，
当x的整数解为2，3，4时，
∴
∵a为整数，
∴ ，
当x的整数解为-1，0，1，2，3，4时，
∴∵a为整数，
∴ ，
∴整数 的值有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的整数解情况求参问题，熟练掌握解不等式组，
确定不等式组解集的方法是解题的关键．根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是
解题的难点．
3．一元一次不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的解集的确定方法，同大取大，确定 的取值范围即可．
【详解】解：由不等式 ，得： ，
∵不等式组的解集为： ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数．熟练掌握同大取大，确定 的不等式，是
解题的关键．
4．为解决部分家长在放学时间不能按时接孩子的问题，我市许多学校都启动了“课后服
务”工作．某学校为了开展好课后服务，计划用不超过10000元的资金购买足球、篮球和
排球用于球类兴趣班，已知足球、篮球、排球的单价分别为100元、80元、60元，且根据
参加球类兴趣班的学生数了解到以下信息：①篮球的数量必须比足球多10个，②排球的数
量必须是足球的3倍．则学校最多能购买足球的个数是（ ）
A．10 B．25 C．26 D．30
【答案】B
【分析】设买足球的数量为 个，根据题意，买篮球的数量为 个，买排球的数量为
个，再列出不等关系：足球的总价 篮球的总价 排球的总价 10000，即可解出此题．
【详解】解：设买足球的数量为 个，则买篮球的数量为 个，买排球的数量为 个，
由题意得： ，
解得： ，
x为整数，
x的最大值取25．
故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
5．若实数m满足 ，则关于x的不等式组 的所有整数解的和是（ ）
A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9
【答案】B
【分析】求出不等式组的解集，结合 求出整数解，然后求和即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4，
∴ 或 或 ，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答
本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．
不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
6．正整数n小于100，并且满足等式 ，其中 表示不超过x的最大整数，
例如： ，则满足等式的正整数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．12 D．16
【答案】D
【分析】利用不等式[x]≤x即可求出满足条件的n的值．
【详解】解：若 ， ， 有一个不是整数，
则 或者 或者 ，
∴ ，
∴ ， ， 都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且n＜100，
∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式以及取整，关键是要正确理解取整的定义，以及[x]≤x＜[x]+1
式子的应用，这个式子在取整中经常用到．7．如果关于x、y的方程组 中x>y，且关于x的不等式组 有且
只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】解二元一次方程组求出x，y的值，根据x>y得到关于m的不等式，根据不等式组
只有4个整数解求出m的取值范围，取交集，找出符合条件的所有整数m，即可求解．
【详解】解：解方程组 得 ，
∵ x>y，
∴ ，
∴ ，
解不等式组 得 ，
∴ ，
∵关于x的不等式组 有且只有4个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴整数m为5和6，
∴符合条件的所有整数m的和为11．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和解二元一次方程组，根据不等式组只有4个整数
解求出m的取值范围是解题的关键．
8．“鲁巴好少年，一起向未来”，重庆市鲁能巴蜀中学校春季运动会在4月27日如期举
行．各班同学积极参与，热情高涨；运动员挥洒汗水，激昂赛场；场下观众文明观赛，有
序加油．后勤团队也不甘示弱，积极为同学们做好各种后勤保障，其中，采购小组的同学
们就为全班同学准备了百事可乐，红牛和脉动三种饮料．已知百事可乐、红牛和脉动的单
价之和为14元，计划购买百事可乐，红牛和脉动的数量总共不超过160瓶，其中脉动的单
价为每瓶5元，计划购买20瓶，百事可乐的数量不多于红牛数量的一半，但至少购买40
瓶，结果，在做预算时，将百事可乐和红牛的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了150元．若百事可乐、红牛和脉动的单价均为整数，则实际购买百事可乐、红牛
和脉动的总费用最多需要花费 _____．
【答案】805元
【分析】设购买 瓶百事可乐， 瓶红牛，百事可乐的单价为 元，则红牛的单价为
元，根据在做预算时，将百事可乐和红牛的单价弄反了，结果在实际购买时，总费
用比预算多了 元，可得 ，整理得： ，
再根据百事可乐的数量不多于红牛数量的一半，但至少购买 瓶，可得 ， ，
，根据x，y，m均为正整数， ，可得 ，可得m=2或m=3或m=4，
依此进行讨论即可求解．
【详解】解：设购买x瓶百事可乐，y瓶红牛，百事可乐的单价为m元，则红牛的单价为
14﹣5﹣m＝（9﹣m）元，
依题意得：xm+y（9﹣m）﹣[x（9﹣m）+ym]＝150，
整理得： ，
∵ ，x≥40，
∴x+y+20≤160，
∴x+y≤140，
又∵x，y，m均为正整数，x≤ y，
∴y﹣x是正整数，
∵m＜4.5，
∴9﹣2m＝7（舍去）或9﹣2m＝5或9﹣2m＝3或9﹣2m＝1，
∴m＝2或m＝3或m＝4，
当m＝2时，9﹣m＝7，y﹣x＝30，
∴ ，
解得：40≤x≤55，
此时实际购买这三种物品的总费用为：
5×20+2x+7y＝100+2x+7（x+30）＝9x+310，
∴当x取最大值55时，总费用最大为9×55+310＝805（元）（不合题意舍去）；
当m＝3时，9﹣m＝6，y﹣x＝50，
，解得40≤y≤45，
∴此时实际购买这三种物品的总费用为：
5×20+3x+6（x+50）＝9x+400，
∴当x取最大值45时，总费用最大为9×55+40＝805（元）；
当m＝4时，9﹣m＝5，y﹣x＝150，
∴ ，
此时不等式组无解．
综上所述，实际购买百事可乐、红牛和脉动的总费用最多需要花费805元．
故答案为：895元．
【点睛】本题考查了应用类问题，不定方程的应用，解题的关键是正确读懂题意列出方程
和代数式．
9．把一筐苹果分给几个学生，如果每人分3个，那么余8个；如果每人分5个，那么最后
一人分到，但不足3个．设学生有x人，列不等式组为________．
【答案】
【分析】若干个苹果分给x个小孩，根据如果每人分3个，那么余8个，共（3x＋8）个苹
果；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果是（3x＋8）−5（x−1），可列出不等式组．
【详解】解：设学生有x人，列不等式组为：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，设出人数就能表示出苹果数，
然后根据最后一人分到的苹果不足3个，可列出不等式组．
10．已知不等式组 有解但没有整数解，则 的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵ ，
∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，∵不等式组 有解但没有整数解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组
并解之是解题的关键．
11．已知 ，则代数式 最大值与最小值的差是________．
【答案】
【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要
改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|
a|=-a．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解不等式组得： ；
（1）当 时， ，
当 时有最小值 ，
当 时有最大值5；
（2）当 时， ，
∴当 时 的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是 .
故答案为： .
【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等
式的求解步骤，绝对值的性质．12．重庆某饰品店所售饰品款式新颖、价格实惠，深受消费者喜爱．今年5月，该饰品店
购进甲、乙、丙、丁四种饰品，甲与乙的销量之和等于丁的销量，丙的销量占丁销量的 ，
四种饰品的销量之和不少于600件，不多于650件，甲、乙饰品的进价相同，均为丙与丁
的进价之和，四种饰品的进价均为正整数，店家购进这四种饰品的总成本一共5200元，则
店家购进这四种饰品各一件的进价之和为______元
【答案】36
【分析】根据题意可设丁的销量为m件，丙的进价为s元，丁的进价为t元，利用四种饰
品的销量之和不少于600件，不多于650件，列出不等式即可求出m可能的取值，然后利
用店家购进这四种饰品的成本一共5200元，列出方程，根据s和t均为正整数，可求出s
和t可能的取值，再算出题目所求即可．
【详解】解：由题意：设丁的销量为m件，丙的进价为s元，丁的进价为t元，
则甲、乙销量之和为m件，丙的销量为 件，甲和乙的进价均为 元，
∵ 四种饰品的销量之和不少于600件，不多于650件，
∴ ，即 ，
∵m和 均为正整数，即m为6的正整数倍，
∴m的取值可以为：282、288、294、300，
∵店家购进这四种饰品的成本一共5200元，
∴ ，
∴ ①，
∵s和t均为正整数，
∴将m的取值分别代入①，符合条件的是 ，
∴此时 ，
∵s和t均为正整数，
∴符合题意的是 ， ，
∴ （元），
∴这四种饰品各一件的进价之和为36元，
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，正确理解题目意思并列出不等式组是解
答本题的关键．
13．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪
容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：
“冰墩 “雪容
墩” 融”
进价（元/个） 90 60
售价（元/个） 120 80
请列方程（组）、不等式解答下列各题；
(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商
店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？
(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情
影响，在“冰墩墩”售出 ，“雪容融”售出 后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打
a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总
额为30000元，求a的值．
(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩
具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪
容融”的利润的 ，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？
【答案】(1)该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；
(2)8
(3)商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具
【分析】（1）设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，根据商店用23400元购进
这两款毛绒玩具共300个，列出方程求出x、y再根据利润=（售价-进价）×数量求解即可；
（2）分别算出打折前后的销售额，然后相加建立方程求解即可；
（3）设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，根据“冰墩墩”的
利润不少于“雪容融”的利润的 ，列出不等式求解即可．
(1)
解：设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，
由题意得： ，
解得 ，
∴2月份购进“冰墩墩”180个，“雪容融”120个
，∴该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元，
答：该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；
(2)
解：由题意得：
解得 ；
(3)
解：设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，
由题意得： ，
∴ ，
解得 ，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为70，
∴商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具，
答：商店70要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式
的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是关键．
14．某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视
机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一
台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可
获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方
案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求
成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共
50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【答案】(1)进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台；②购进甲
型号电视机35台，丙型号电视机15台
(2)购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电
视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30
台
【分析】（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000
元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电
视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果．（2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进
甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款
数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案．
【详解】（1）解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：
，
解得： ，
②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得： ，
解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．
③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得： ，
解得： ，
∴进货方案有两种：
①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，
②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，
（2）解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50
﹣4s）台，由题意得：
，
解得：4≤s≤5 ，
∵s为整数，
∴s＝4或5，
当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，
答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号
电视机34台，
②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．
【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是理解题
意，找出等量关系列出方程组，以及根据题意列出不等式组．
15．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml
和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要
104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元．(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最
大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算
列出所需两种空瓶数量的购买方案．
(3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购
甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多
少天？
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元
(2)方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶；方案2：
购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶；方案3：购买:5个最
大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶．
(3)这批消毒液最多可使用5天
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据
“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要
111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶，根据要分装的
免洗手消毒液共6000ml，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即
可得到各购买方案．
（3）设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买
乙种免洗手消毒液，利用使用时间=购买免洗手消毒液的总量÷（全校师生人数×10），即可
得出w关于m的关系式，再利用性质及m， 均为正整数，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元．
依题意得：
解得：
答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元．
（2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶．依题意得：
∴
又∵a、b均为正整数
∴
∴共有3种购买方案
方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶．
方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶．
方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶．
（3）解：设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买
乙种免洗手消毒液．
依题意得：
∵
∴w随m的增大而减小
又∵m， 均为正整数
∴当 时，w取得最大值，最大值=
答：这批消毒液最多可使用5天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找
准等量关系，正确列出二元一次方程组．
16．我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买 个甲种规
格的排球和 个乙种规格的足球，一共需要花费 元；如果购买 个甲种规格的排球
和 个乙种规格的足球，一共需要花费 元．
(1)求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
(2)如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共 个，并且预算总费用不超过
元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
【答案】(1)每个甲种规格的排球的价格为 元，每个乙种规格的足球的价格为 元
(2)学校至多能购买 个乙种规格的足球
【分析】（1）设每个甲种规格的排球的价格为 元，每个乙种规格的足球的价格为 元，
根据“如果购买 个甲种规格的排球和 个乙种规格的足球，一共需要花费 元；如
果购买 个甲种规格的排球和 个乙种规格的足球，一共需要花费 元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买 个乙种规格的足球，则购买 个甲种规格的排球，根据总价 单
价 数量结合预算总费用不超过 元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中
的最大整数值即可得出结论．
（1）
解：设每个甲种规格的排球的价格为 元，每个乙种规格的足球的价格为 元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每个甲种规格的排球的价格为 元，每个乙种规格的足球的价格为 元．
（2）
设学校购买 个乙种规格的足球，则购买 个甲种规格的排球，
依题意，得： ，
解得： ．
又 为整数，
的最大值为 ．
答：该学校至多能购买 个乙种规格的足球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式．
