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专题 07 一元一次不等式（组）的四种特殊
考法
类型一、整数解问题
例．已知关于 的不等式 只有3个正整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：解不等式 ，解得： ，
不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，
根据题意得： ，
解得： ，
故选：A．
例2．若关于 的不等式组 的所有整数解之和等于9，则 的取值范围是
____________ ．
【答案】 或
【详解】解： ，
解的不等式①得， ，
解的不等式②得， ，∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组的所有整数解的和为 ，
∴整数解为 ， ， 或 ， ， ， ， ， ，
当整数解为 ， ， 时， ，
当整数解为 ， ， ， ， ， 时， ．
故答案为： 或者 ．【变式训练1】如果关于 的方程 有正整数解，那么正整数 的所有
可能取值之和为______．
【答案】23
【详解】解：由 是整数知，x的值为 或 ．
若为前者，由于 ，
故知 只能为 ．
此时， ，
解得： ，因此 ， ， ，但一一验证知均不成立，
若为后者，设 ，其中 是正整数．
则 ，
故 时取到 或 时取到 ．
因此所求答案为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】关于 x 的不等式组 恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为
_________．
【答案】
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
根据题意，可得该不等式组的解集为 ，
∵不等式组只有4个整数解
∴这4个整数解为3、2、1、0，
∴ ，
解得： ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： ．【变式训练3】定义：把b﹣a的值叫做不等式组a≤x≤b的“长度”若关于x的一元一次不
等式组 解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 _____．
【答案】-2
【详解】解： ，
解不等式①得：x≥﹣a，
解不等式②得：x≤2a﹣3，
∴不等式组的解集为﹣a≤x≤2a﹣3，
∵关于x的一元一次不等式组 解集的“长度”为3，
∴2a﹣3﹣（﹣a）＝3，
∴a＝2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤1，
∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，它们的和为﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式训练4】如果关于 的不等式组 有且仅有三个整数解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有且只有3个整数解，整数解为：0，1，2，
，
解得： ，
故选：D．
【变式训练5】已知关于x的不等式组 恰好有4个整数解，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为
∵不等式组恰好有4个整数解，
∴ ，
解得： ．
故选：D
类型二、最值问题
例．已知二元一次方程组 ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】
① ②得：
① ②得：
解得
的最小值为 ．
故选B．
【变式训练1】已知实数 ， ， 满足 ， ．若 ，则 的最
大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】由 ， ．可得y= 3- x，z=x-6，∴x+y+z=x+ 3-x+x-6=x-3．
∵ ，
∴ ．
解得 ．
∴x-3 ，
∴x+y+z 3，则最大值为3．
故选A．
【变式训练2】已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则满
足条件的 的最小整数是______．
【答案】3
【详解】解： ，
①+②，得：3x+3y=3k－3，
则x+y=k－1，
∵x+y＞1，
∴k－1＞1，
解得：k＞2，
则满足条件的k的最小整数为3，
故答案为：3．
【变式训练3】已知 、 满足 和 ，求 的最小值．
【答案】3
【详解】解方程组 ，得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ 的最小值为3．
【变式训练4】已知关于x、y的方程组 的解满足 ．
（1）求 的取值范围；
（2）已知 ，且 ，求 的最大值．
【答案】（1） ;（2）-7【详解】解：（1）由题 ,
由 有 得 ．
（2）由题 ,则 ,
由 有 ．
所以 的最大值为 ．
类型三、参数问题
例．不等式组 的解集是 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由 ，得： ，
∵不等式组的解集为： ，
∴ ．
故选C．
【变式训练1】关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ，
∵不等式组无解，
∴ ，
故选：D．
【变式训练2】不等式组 的解集是 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在不等式组 中
由①得，
由②得，根据已知条件，不等式组解集是
根据“同大取大”原则得： ．
故选：B．
【变式训练3】如果不等式组 的解集是x＞m，那么m的取值范围是
（ ）
A．m≥3 B．m≤3 C．m＝3 D．m＜3
【答案】A
【详解】
∵不等式①的解集为x＞3，
又∵不等式组 的解集是x＞m．
∴m≥3．
故选：A．
【变式训练4】若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是_____．
【答案】
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，
∵关于x的不等式组 无解，∴ ，解得， ，
故答案为： ．
类型四、绝对值不等式问题
例．阅读求绝对值不等式子 解集的过程：因为 ，从如图所示的数轴上看：大于
而小于3的数的绝对值是小于3的，所以 的解集是 ，解答下面的问题：
(1)不等式 的解集为______；
(2)求 的解集实质上是求不等式组______的解集，求 的解集．【答案】(1) ；
(2) ， ．
【详解】（1）解： 的解集是 ，
不等式 的解集为： ．
故答案为： ；
（2）解： 的解集是 ，
求 的解集是 ，
可化为 ，
求 的解集实质上是求不等式组 ，
解得 ．
故答案为： ．
【变式训练1】数学实验室：
、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 、
两点之间的距离 ．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，且 ，则 ＝ ；
(4)若x表示一个有理数，且 ＞4，则有理数x的取值范围是 ．
【答案】(1)3
(2)
(3)4
(4) 或
【详解】（1）解： 和 的两点之间的距离 ，
数轴上表示2和5的两点之间的距离是3．
故答案为：3；
（2）解： 和 的两点之间的距离为： ，数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为： ．
故答案为： ；
（3）解： ，
．
故答案为：4；
（4）解：当 时，原式 ，解得， ，
当 时，原式 ，解得， ，
当 时，原式 ，不符合题意，故舍去，
有理数 的取值范围是： 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式训练2】解不等式：
【答案】x＜-5或x＞1
【详解】解：令 ，解得：x=±4，
令 ，解得：x= ，
∴当x＜-4时， ，
解得：x＜-5，
∴此时x＜-5；
当-4≤x＜ 时， ，
解得：x＜-7，
∴此时无解；
当 ≤x＜0时， ，
解得：x＞ ，
∴此时无解；
当0≤x＜4时， ，
解得：x＞1，
∴此时1＜x＜4；
当x≥4时， ，
解得：x＞3，
∴此时x≥4；
综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1．【变式训练3】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形
结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式 的几何意义是数轴上 所对应的
点与2所对应的点之间的距离；因为 ，所以 的几何意义就是数轴上
所对应的点与 所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式 的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点 分别表示的是 ， ．
∵ 的几何意义是线段 与 的长度之和
∴当点 在线段 上时， ;当点点 在点 的左侧或点 的右侧时
∴ 的最小值是3．
⑶.解决问题：
①. 的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当 为何值时，代数式 的最小值是2．
【答案】①6；② 或 ；③ 或
【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴ 表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴ 的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴ 的最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为 ，
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴
∴ 或 ，
即 或 ；
故答案为： 或 .
