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期末考试不等式与不等式组压轴题考点训练（三）
1．若实数a使得关于x的分式方程 有非负整数解，并且使关于y的一元一
次不等式组 有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】解不等式组，根据仅有4个整数解，求出 的范围；解分式方程，根据 的范围，
确定符合条件的 值即可．
【详解】解：
解得：
仅有4个整数解，
，
，
解得：
方程有非负整数解，
，且是2的倍数，
，
，
，
满足条件的整数 为：
个数为4个．
故选D
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法等知识点，根据不等式组
解的情况确定参数的范围是解题关键．
2．关于x的不等式组 恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组 恰
好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
【详解】解：由不等式 ，可得： ，
由不等式 ，可得： ，
由以上可得不等式组的解集为： ，
因为不等式组 恰好只有四个整数解，
即整数解为 ，
所以可得： ，
解得： ，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个
不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中
间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式是解答本题的关键．
3．若关于x的不等式组 最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程
的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】B
【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有
整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【详解】解：由 ，可得： ，
∵关于x的不等式组 最多有2个整数解，
∴ 或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，∴ ，解得： ；
解 ，得： ，
∵方程的解为非正数，
∴ ，解得： ，
综上： ，
符合条件的 的整数值为： ，和为 ；
故选B．
【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组
的解集和方程的解，是解题的关键．
4．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解
0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a
的范围．
【详解】解：
解不等式①得 ，解不等式②得 ，
由于不等式组有解，则 ，必定有整数解0，
∵ ，
∴三个整数解不可能是 ．
若三个整数解为 ，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则 ；解得 ．
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件
得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．5．若整数a使关于x的不等式组 至少有1个整数解，且使关于x，y的方
程组 的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
【答案】B
【分析】根据不等式组求出 的范围，然后再根据关于 ， 的方程组 的解为
正整数得到 或 或 ，从而确定所有满足条件的整数 的值的和．
【详解】不等式组 整理得： ，
由不等式组至少有1个整数解，得到 ，
解得： ，
解方程组 ，得 ，
关于 ， 的方程组 的解为正整数，
或 或 ，
解得 或 或 ，
所有满足条件的整数 的值的和是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根
据不等式组以及二元一次方程组求出 的范围，本题属于中等题型．
6．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组 的解满足 ，且让
不等式 只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出 的取值范围，再进行
求解即可．【详解】解： ，
，得： ，
解得 ，
，得： ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组只有3个整数解，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴符合条件的整数m的值的和为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，
掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
7．某公司结合养老与医疗打造了一款康养之城社区，看房当天为方便看房的客户，公司计
划租用A、B、C三种类型的客车若干辆集中接客户前往社区看房，其中B型车每辆可载35
人，C型车每辆可载人数是A型车每辆可载人数的 ，且B型车每辆的可载人数多于C型
车而少于A型车．根据看房前统计的人数，每辆车均坐满，B型车和C型车一共载291人．
而实际看房时看房人数有所减少，A、B型车所载的总人数不变，但C型车少了一辆且有一
辆还差5人坐满，其余C型车均坐满，且A型车与C型共载了499人，则看房前统计的人
数为____人．
【答案】741
【分析】设A型车每辆可载人数为5x人，则C型车每辆可载人数为3x人，根据B型车每
辆的可载人数多于C型车而少于A型车，得到不等式求出x的取值范围，设B型车m辆和
C型车n辆，根据每辆车均坐满，B型车和C型车一共载291人列得方程 ，转化成二元二次方程 ，求它的整数解可得 ，再分类讨论可得
m=9满足条件，且 ， ，故A型车每辆可载人数为45人，则C型车每辆可载
人数为27人，B型车6辆，再将A型车与C型补满，加上B型车的人数就可知，看房前统
计的人数．
【详解】设A型车每辆可载人数为5x人，则C型车每辆可载人数为3x人，
∵B型车每辆的可载人数多于C型车而少于A型车，
∴ ，
∴ ，且x为正整数，
∴ ，且x为正整数，
设B型车m辆和C型车n辆，
∵B型车和C型车一共载291人，
∴ ，设
则 ，
∴ ，
∴m是3的倍数，且， ，
∴ ，
①当 时，
∴ ，
∴
∵62的整数分解只有： 且 ，且x为正整数，
故此时无解，
②当 时，
∴ ，
∴
∵27的整数分解有： 且 ，且x为正整数，
∴
综上所述： ，
∴A型车每辆可载人数为45人，则C型车每辆可载人数为27人，B型车6辆，
又∵实际看房时看房人数有所减少，A、B型车所载的总人数不变，但C型车少了一辆且有
一辆还差5人坐满，其余C型车均坐满，且A型车与C型共载了499人，
∴看房前统计的人数为：499+5+27+35×6=741（人）．
故答案是：741．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，二元一次方程的整数解等知识，审清题意根
据题意列出方程和不等式组是解题的关键．
8．某公司决定装饰一间办公室，该办公室结构可看作一个长方体，需装饰的部分有地板、
天花板、墙，测得办公室内部长 米，宽 米（ ， 为整数），高3米．现有两种不同的
装饰方案：方案一中墙每平方米的价格等于方案二中天花板和地板每平方米的价格之和，
方案二中墙每平方米的价格等于方案一中天花板和地板每平方米价格之和，方案一中墙的
单价为17的倍数，且不低于50元，不高于70元．方案二中墙的单价为33的倍数．经计
算，方案一的总价比方案二的总价高3100元，方案二中墙的单价与方案一中墙的单价之差
大于30元小于50元，则两种装饰方案中地板的总价与天花板的总价之和比两种方案中墙
的总价多___________元．
【答案】 或
【分析】根据题意设方案一中墙每平方米的单价为 元 ，方案二中墙每平方米的单
价为 元 ，则方案一中天花板和地板单价为 元 ，方案二中天花板和地板单
价为 元 ，再根据题意可知 ，得出n有两个值，所以进行分类讨论各求
出价格即可．
【详解】解：设方案一中墙每平方米的单价为 元 ，方案二中墙每平方米的单价为
元 ，
则方案一中天花板和地板单价为 元 ，方案二中天花板和地板单价为 元 ，
由题意可知 ，
∴ 或4，
当 时， （元），
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （元），
由题意得，地板面积 天花板面积，墙的面积 ，
∴方案一总价：
，
方案二总价：
，
∵方案一的总价比方案二的总价高3100元，∴
，
两种方案地板与天花板的总价 ，
两种方案墙的总价 ，
∴差价为
（元）；
当 时， （元），
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （元），
∴方案一总价：
，
方案二总价：
，
∵方案一的总价比方案二的总价高3100元，
∴
，
两种方案地板与天花板的总价 ，
两种方案墙的总价 ，
∴差价为（元）；
综上所述，两种装饰方案中地板的总价与天花板的总价之和比两种方案中墙的总价多
元或 元，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了列代数式和二元一次方程的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题
的关键．
9．鲜花市场销售康乃馨，郁金香，玫瑰，红掌四个品种的鲜花，四个品种的鲜花每支的售
价均为整数，若每支郁金香的售价比每只康乃馨的售价多3元，每支玫瑰的售价比每支康
乃馨的售价高50%，每支红掌的售价是每支郁金香售价的4倍与每支玫瑰售价的差，某日
康乃馨和郁金香一共销售了120支，康乃馨的销售量大于35支，红掌与康乃馨的销量之和
不超过390支，而玫瑰的销量为60支，当日这四种花卉的平均售价是每只郁金香价格的
倍，则当日四种花卉的销售总量的值是___________．
【答案】532支
【分析】设康乃馨单价为 元，则郁金香为 元，玫瑰为 元，红掌为
元，当日四种食物的平均售价为 元．设总销售量为 支，其中康乃馨 支
，可得∶ ，由不等式 ，及 ，得
，进而由 ，得 为 ， ， ，从而即可求解．
【详解】解：设康乃馨单价为 元，则郁金香为 元，玫瑰为 元，红掌为
元，当日四种食物的平均售价为 元．设总销售量为 支，
其中康乃馨 支 > ，可得∶
得 ，
∴ ，
∵红掌与康乃馨的销量之和不超过 支，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 为 或 ，
∵当 时， 不符合题意，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 ， ， ，
当 时， 不符合题意，
当 时， 不符合题意，
当 时， 支，
故答案为：532支．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
10．某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式
有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
包装的重量
包装款式 含I号新产品的重量（吨） 含II号产品的重量（吨）
（吨）
A款 6 3 3
B款 5 3 2
C款 5 2 3
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、
C款的个数依次为___．（写出一种即可）
【答案】 3，1，1 1，1，3
【分析】（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，根据题意可得方程组
，求解即可；（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，则 ，解得 ，
然后由装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，可得不等式组
，进一步分析即得结果．
【详解】解：（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则 ，解得 ，
由于x、y、z为整数，且每种款式至少有1个，
所以 ，
故答案为：3，1，1；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则 ，解得 ，
∵装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，
∴ ，
当 时， ，
符合题目要求；
故答案为：1，1，3．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和不等式组的应用，正确理解题意、列出相应的方程
组和不等式组是解题的关键．
11．某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
(1)若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？
（请用二元一次方程组求解）
(2)若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问
有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
【答案】(1)购进甲种用品100件，乙种用品80件
(2)甲种用品61件，乙种用品119件
【分析】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共
180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，根据“投入资金少于5040元，
且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解
之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润=销售每
件的利润×销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进甲种用品100件，乙种用品80件．
（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，
依题意得：
，
解得：60＜m≤63，
又∵m为正整数，
∴m可以取61，62，63，
∴共有3种购货方案，
方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件；
方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件；
方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件．
方案1可获得的利润为（20-14）×61+（43-35）×119=1318（元）；
方案2可获得的利润为（20-14）×62+（43-35）×118=1316（元）；
方案3可获得的利润为（20-14）×63+（43-35）×117=1314（元）．
∵1318＞1316＞1314，
∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
12．为全面落实乡村振兴总要求，充分发扬“为民服务孺子牛”、“创新发展拓荒牛”、
“艰苦奋斗老黄牛”精神，某镇政府计划在该镇试种植苹果树和桔子树共100棵．若种植
40棵苹果树，60棵桔子树共需投入成本9600元；若种植40棵桔子树，60棵苹果树共需投
入成本10400元．
(1)求苹果树和桔子树每棵各需投入成本多少元？(2)若苹果树的种植棵数不少于桔子树的 ，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种
植方案？
【答案】(1)苹果树每棵需投入成本120元，桔子树每棵需投入成本80元
(2)共有5种种植方案
【分析】（1）设每棵苹果树需投入成本x元，每棵桔子树需投入成本y元，根据两种方案
的成本建立方程组，解方程组即可得；
（2）设苹果树的种植棵数为a棵，从而可得桔子树的种植棵数为(100−a)棵，根据“苹果树
的种植棵数不少于桔子树的35，且总成本投入不超过9710元”建立不等式组，解不等式
组，结合a为整数即可得；
(1)
解：设苹果树每棵需投入成本x元，桔子树每棵需投入成本y元，
由题意得：
，
解得： ，
答：苹果树每棵需投入成本120元，桔子树每棵需投入成本80元；
(2)
解：设苹果树的种植棵数为a棵，则桔子树的种植棵数为 棵，
由题意得：
，
解得： ，
∵a取整数，
∴a＝38，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案；
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是
（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据题目所给条件列出关于a的一元一
次不等式组．
13．三垟瓯柑享誉世界．水果商贩李大姐从三垟柑农处批发进货，她获知Ⅰ级瓯柑每箱60
元，Ⅱ级瓯柑每箱40元．李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，共花费了3100
元．
(1)求Ⅰ级瓯柑和Ⅱ级瓯柑各购买了多少箱？
(2)李大姐有甲、乙两家店铺，每售出一箱不同级别的瓯柑获利不同，具体见表．Ⅰ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） Ⅱ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱）
甲店 15 20
乙店 12 16
设李大姐将购进的瓯柑分配给甲店Ⅰ级瓯柑a箱，Ⅱ级瓯柑b箱，其余都分配给乙店．因
善于经营，两家店都很快卖完了这批瓯柑．
①李大姐在甲店获利660元，则她在乙店获利多少元？
②若李大姐希望获得总利润为1000元，则分配给甲店共 箱水果．（直接写出答案）
【答案】(1)Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱；
(2)①292；②53或52．
【分析】（1）设Ⅰ级瓯柑买了 箱，Ⅱ级瓯柑买了 箱，利用总价 单价 数量，结合
“李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，且共花费了3100元”，即可得出关于
， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①利用总利润 每箱的利润 销售数量，即可得出关于 ， 的二元一次方程，化简
后可得出 ，再将其代入 中即可求出结论；
②利用总利润 每箱的利润 销售数量，即可得出关于 ， 的二元一次方程，化简后可得
出 ，结合 ， ，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出
的取值范围，再结合 ， 均为整数，即可求出 ， 的值，将其相加即可求出结论．
【详解】（1）解：设Ⅰ级瓯柑买了 箱，Ⅱ级瓯柑买了 箱，
依题意得： ，解得： ．
答：Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱．
（2）解：①依题意得： ， ，
．
答：她在乙店获利292元．
②依题意得： ， ．
， ，即 ， ．
又 ， 均为整数， 或 ，
或 ， 分配给甲店共53或52箱水果．
故答案为：53或52．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组
的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
14．某厂租用 、 两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆 型车和1辆 型车装
满可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货
物需要配送，计划租用 、 两种型号车6辆一次配送完货物，且 车至少1辆．根据以
上信息，解答下列问题：
(1)1辆 型车和1辆 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；
(3)若 型车每辆需租金80元每次， 型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方
案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆 型车装满货物一次可运货3吨，1辆 型车装满货物一次可运货4吨
(2)共有3种租车方案，方案1：租用 型车1辆， 型车5辆；方案2：租用 型车2辆，
型车4辆；方案3：租用 型车3辆， 型车3辆．
(3)方案3最省钱，即租用 型车3辆， 型车3辆，最少租车费为540元．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y
吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满
货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆A型车，则租用（6 m）辆B型车，根据“租用的A型车至少1辆，且能
一次配送完21吨货物”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值
范围，再结合m为整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，即可求出选择各租车方案所需租车费，比较后
即可得出结论．
（1）
解：设1辆 型车装满货物一次可运货 吨，1辆 型车装满货物一次可运货 吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：1辆 型车装满货物一次可运货3吨，1辆 型车装满货物一次可运货4吨．
（2）
解：设租用 辆 型车，则租用 辆 型车，
依题意，得： ，
解得： ．
∵ 为正整数，
∴ 可以取1，2，3，∴共有3种租车方案，方案1：租用 型车1辆， 型车5辆；方案2：租用 型车2辆，
型车4辆；方案3：租用 型车3辆， 型车3辆．
（3）
解：方案1的租车费为 （元）；
方案2的租车费为 （元）；
方案3的租车费为 （元）．
∵ ，
∴方案3最省钱，即租用 型车3辆， 型车3辆，最少租车费为540元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合
运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量
之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，求
出选择各租车方案所需租车费．
15．随着科技兴农不断深化，某果农在科技兴农服务团的帮助下，种植的西瓜喜迎丰收，
货物运输成为焦点问题．现有大小两种货车，1辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3
辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t．
(1)求1辆大货车、1辆小货车每次分别运货多少吨；
(2)目前受疫情影响，大货车数量紧缺，该果农计划共租用8辆货车运走不少于 t西瓜，
那么至少租几辆大货车？
【答案】(1)1辆大货车每次运货4吨，1辆小货车每次运货2.5吨
(2)至少租 5 台大货车
【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨， 1辆小货车一次可以运货y吨，根据“1
辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t”列方
程组求解即可；
（2）设果农租用大货车m辆，则安排小货车(8-m)辆，根据“果农计划运走不少于 t西
瓜”列出不等式，求解不等式确定m的值即可．
（1）
解：设1辆大货车一次可以运货x吨， 1辆小货车一次可以运货y吨，根据题意得：
，
解得 ，
答：1辆大货车每次运货4吨，1辆小货车每次运货2.5吨；
（2）
解：设果农租用大货车m辆，则安排小货车(8-m)辆，根据题意得：
4m+2.5(8-m)≥27.5，解得：m≥5，
∴至少租 5 台大货车．
【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理清等量关系
和不等关系列出方程组和不等式．
