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期末考试二元一次方程组压轴题考点训练（二）
1．数学方法：
解方程组： ，若设 ， ，则原方程组可化为
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式
子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于
m、n的二元一次方程组 的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
求关于x，y的方程组 的解．
2．阅读材料：
已知关于x，y的二元一次方程 有一组整数解 ，则方程 的全部
整数解可表示为 （t为整数）．问题：求方程 的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （t为整数）．
因为 ，解得
因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为 和 ．通过你所知晓的知识，请解决以下问题：
(1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为： （t为整数），则 ______；
(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
(3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组 有几组正整数解？并写出其解．
3．商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类
型．如下表：
A型 B型 C型
满368减100 满168减68 满50减20
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A
型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．
(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠
券”各几张？
(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，
C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方
案？（请写出具体解题过程）
4．某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原
料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
(1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计
算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲： 乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y， ， 表示的意义，然后在
等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙： 表示 ， 表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要
再购买 c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总
重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
5．一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、
丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 6 9 10
汽车运费（元/辆） 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各
几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为
16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
6．设 ， 都是正整数，则方程的正整数解有 __________．
7．为推进乡村振兴工作，驻村服务队结合当地特点种植了甲、乙两种农作物，经过一段时
间，甲、乙两种农作物的种植面积之比为1:3，单位面积产值之比为5:3．为进一步提高经
济收入，服务队决定扩大两种农作物的种植面积，经统计，扩大种植面积后（单位面积的
产值不变），甲作物的总种植面积占两种作物总种植面积的 ，且两种作物的总产值提高
了 ，则甲、乙两种作物扩大种植的面积之比为______________．
8．重庆是山水之城，桥梁对跨越山水起着重要作用．重庆因桥梁数量多、规模大、技术水
平高、种类多样，而被称为“桥都”．近日，黄桷沱长江大桥正式开工建设，由于建设过程需要大量钢材，建设单位计划租赁若干艘A、B、C三种类型货运轮船，其中三种货运轮
船每艘每天的运货量之比为 ．由于钢材生产效率不稳定，建设单位重新调整了三种
轮船的数量，其中A、C型轮船数量各减少一半，B型轮船数量增加一倍，每种类型的轮船
每艘每天运货量不变，三种轮船一天的运输总量增加了 ；若按照调整分配后的轮船的数
量，三种轮船完成钢材运输计划需要t天，但实际三种轮船一起运输一段时间后，A、C轮
船临时有其他任务被调走了，剩下的钢材由B型轮船运完，完成的总时间比调整分配后的
时间多了3天，若B型轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，则B型轮船的运
输时间为______天．
9．小王带了1千元现金，去商场购买单价67元的A种商品a件和单价为59元的B种商品
b件 ，找回了几张10元和几张1元的钞票（都不超过9张，超过就补大面额的了）.
小王算了一下，发现找得钱数不对.销售员再仔细算了一遍，发现问题是把两种商品的单价
弄反了，重新计算后，找回的10元和1元的钞票张数也恰好相反.问小王购买了______件B
种商品.
10．电影票有 元、 元、 元三种票价，于班长恰好用 元钱买了 张电影票，则
票价为 元的电影票比票价为 元的电影票多___________张．
11．为庆祝五一劳动节，某电商推出适合不同人群的甲，乙两种袋装混合坚果．其中，甲
种坚果每袋装有4千克 坚果，1千克 坚果，1千克 坚果；乙种坚果每袋装有1千克
坚果，2千克 坚果，2千克 坚果．甲，乙两种袋装坚果每袋成本价分别为袋中的 ， ，
三种坚果的成本价之和．已知 坚果每千克成本价为5元，甲种坚果每袋售价为59.8元，
利润率为30%，乙种坚果的利润率为20%．若这两种袋装坚果的销售利润率达到24%，则
该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是________．
12．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成
三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主
动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将A区 的面积划分给了
B区，而原B区 的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B
两区面积和的比例达到了 ．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的
分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后， 三个区域的面积比变
为 ，那么爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为_____．
13．某文具店九月初进行开学大酬宾活动，将A、B、C三种学习文具以甲、乙两种方式进
行搭配销售，两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，
B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支
C比每支A成本价低2元，甲种方式(含包装袋)每袋成本为30元，现甲，乙两种方式分别
在成本价基础上提高20%，40%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲，
乙两种方式的销售量之比为____．14．已知关于x，y的方程组 的解是 ，则与方程组
有关的 的值为_____．
15．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满
足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，
n）．例如：1＜ ＜2，所以 的“雅区间”为（1，2）．
（1）无理数 的“雅区间”是________；
（2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜ ＜12，其中 是关
于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为________．
