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专题27 不等式（组）应用之几何问题
【例题讲解】
如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴，且
，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 路线向点
运动；动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 路线向点 运动．若 两点同时出发，
其中一点到达终点时，运动停止．
（Ⅰ）直接写出 三个点的坐标；
（Ⅱ）设两点运动的时间为 秒，用含 的式子表示运动过程中三角形 的面积；
（Ⅲ）当三角形 的面积的范围小于16时，求运动的时间 的范围．
【详解】解：（Ⅰ） 轴， ， ，
轴， ， ；
（Ⅱ）∵点 运动的路径长为 ，所用时间为7秒；点 运动的路径长为
，所用时间为 秒，
∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间 的取值范围为 ，
点 运动到点 所用时间为4秒，点 运动到点 所用时间为 ，
因此，分以下两种情况：
①如图，当 时， ，
则三角形 的面积为；
②当 时，
如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
，
，
则三角形 的面积为 ，
，
，
综上，当 时，三角形 的面积为 ；当 时，三角形 的面积为
；
（Ⅲ）①当 时，则 ，解得 ，则此时 的取值范围为 ；
②当 时，则 ，解得 ，则此时 的取值范围为 ，
综上，当三角形 的面积的范围小于16时， 或 ．
【综合解答】
1．小明同学在计算一个多边形（每个内角小于 ）的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结
果得到的总和是 ，则少算了这个内角的度数为________．
【答案】 ## 度
【分析】n边形的内角和是 ，少计算了一个内角，结果得 ，则内角和是
与 的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程 ，
多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．
【详解】解：设多边形的边数是n，依题意有 ，
解得： ，
则多边形的边数n＝14；
多边形的内角和是 ；
则未计算的内角的大小为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
2．在实数范围内规定新运算“ ”，其规则是：a b＝2a﹣b，已知不等式x k≥2的解集在数轴上
如图表示，则k的值是_____．△ △ △
【答案】-4
【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以
求得k的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x k＝2x﹣k≥2，
∴2△x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，
∴k＝﹣4．
故答案填：﹣4．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，
“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．将长为4，宽为 （ 大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一
个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并
压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第
次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当 时， 的值为 ___________．【答案】3或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到 的取值范围；第
三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
∴
∵
∴第一次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： ；
第二次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：
∴
∵在第 次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为： 时，得：
解得：
∵
∴ 符合题意；
当剩下的正方形边长为： 时，得：解得：
∵
∴ 符合题意；
∴ 的值为：3或
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一
次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
4．如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的
速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，
Q两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为 （秒），在整个运动过程中，当 APQ
为直角三角形时，则相应的 的值或取值范围是_________． △
【答案】0＜ ≤ 或x=2．
【分析】由题意可得当0＜x≤ AQM是直角三角形，当 ＜x＜2时 AQM是锐角三角形，当
△ △
x=2时， AQM是直角三角形，当2＜x＜3时 AQM是钝角三角形．
△ △
【详解】解：当点P在AB上时，点Q在AD上时，此时 APQ为直角三角形，则0＜x≤ ；
△
当点P在BC上时，点Q在AD上时，此时 APQ为锐角三角形，则 ＜x＜2；
△
当点P在C处，此时点Q在D处，此时 APQ为直角三角形，则x=2时；
当点P在CD上时，点Q在DC上时，此△时 APQ为钝角三角形，则2＜x＜3．
△
故答案是：0＜x≤ 或x=2．【点睛】本题主要考查矩形的性质和列代数式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质，
还要熟练掌握三角形形状的判断，此题难度一般．
二、解答题(共0分)
5．平面直角坐标系中，点A坐标为（2m－3，3m＋2）．
(1)若点A在坐标轴上，求m的值：
(2)若点A在第二象限内，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点在x轴上纵坐标为0求解；
（2）根据点在第二象限横坐标小于0，纵坐标大于0求解．
(1)
解：∵点A在x轴上，
∴ ，
解得： ．
(2)
∵点A在第二象限内，
，
解得 ，
．
【点睛】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，掌握以
上知识是解题的关键．
6．如图，“开心”农场准备用 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为 ，宽为 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)受场地条件的限制， 的取值范围为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)10；
(2) ．
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=30代入所列式子中求出
b的值；
（2）由（1）可得a，b之间的关系式，用含有b的式子表示a，再结合 ，列出关于b的
不等式组，解不等式组即可求出b的取值范围．
（1）
解：由题意，得 ，
当 时， ．
解得 ．
（2）
解：∵ ，
∴ ，
，
∴
解这个不等式组，得 ．
答：矩形花园宽的取值范围为 ．
【点睛】此题主要考查了列代数式及不等式组的应用，正确理解题意得出关系式及不等式组是解
题关键．
7．在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，且 ， 满足方程为二元一次方程．
（1）求 ， 的坐标．
（2）若点 为 轴正半轴上的一个动点．
①如图1，当 时， 与 的平分线交于点 ，求 的度数；
②如图2，连接 ，交 轴于点 ．若 成立．设动点 的坐标为 ，求 的取值
范围．
【答案】（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；（2）①45°；②
【分析】（1）根据 可得， ， ， ，即可求得a、c
的值，坐标可求；
2）①作PH∥AD，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案；
②连接AB，交y轴于F，根据点的坐标特征分别求出S ABC、S ABD，根据题意列出不等式，解
△ △
不等式即可．
【详解】解：（1）由题意得， ， ， ，
解得， ， ，
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）①如图1，作 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 的平分线交于 点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
②连接 ，交 轴于 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
过 作 轴的平行线 ，作 、 垂直 ，交 于点 、 ，
，，
由题意得， ，
解得， ，
∵点 为 轴正半轴上的一个动点，
∴ ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、坐标与图形性质、三角形的面积计
算，一元一次不等式，掌握平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
8． ABC在平面直角坐标系内如图1摆放，A、C两点的横坐标都是5，BC∥x轴．已知B点坐标
为(－△3，m)，AB交y轴于点D，且AC＝BC．
(1) 填空：BC＝_____； ABC的面积为______；用m表示点A的坐标为______.
(2) 射线BO交直线AC于△点Q，若 ABQ的面积为16，试求m的值
(3) 如图2，点D在y轴负半轴上，△∠BAC的三等分线AP与∠BOD的角平分线OP交于点P，其中
∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，试求∠BOD的取值范围.
【答案】（1）8，32，(5,m+8)；（2）m= 或m= （3）40°<∠BOD<45°.
【分析】（1）根据A、C点横坐标为5，说明AC⊥x轴，根据与x轴，y轴平行的直线上点坐标特
征确定点A坐标，再根据面积公式求解；
（2）通过证明三角形相似，利用其性质表示出Q点的坐标，再根据面积公式列方程求解；
（3）设∠BOP=∠POD=α，利用外角等于不相邻两个内角和及已知角的关系将∠P和∠B用α表示，
根据题意列不等式求α的解集，再结合外角大于任何一个不相邻的内角确定∠BOD的范围.
【详解】解：（1）∵A、C点横坐标为5，B点坐标为(－3，m),
∴BC=5-(-3)=8,
∵BC∥x轴,
∴∠ACB=90°
∵AC＝BC∴S =
ABC
△
∵B (－3，m), BC=AC=8,
∴A(5,m+8)；
（2）如图，过B作BH⊥x轴，垂足为H,AC与x轴交于点G,
∴∠BHO=∠QGO=90°, ∠HOB=∠GOQ,
∴△HOB∽△GOQ,
∴ ,
∴ ,
∴QG= ,
∴Q的坐标为 ，
∴AQ的长度为 ，
∵△ABQ的面积为16,
∴ ，
解得：m= 或m= .
（3）如图，AP与y轴交于点N,点M在y轴上，
∵OP是∠BOD的角平分线，
∴∠BOP=∠POD，
∵∠ACB=90°，AC=BC,∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠BAC＝3∠BAP＝45°
∴∠BAP=15°, ∠CAP=30°,
∵OM∥AC,
∴BDM=∠BAC=45°, ∠PNM=∠PAC=30°,
设∠BOP=∠POD=α,
∵∠BDM=∠B+∠BOD,
∴∠B=∠BDM-∠BOD=45°-2α,
∵∠PNM=∠POM+∠P,
∴∠P=∠PNM-∠POM=30°-α,
∵∠P>2∠B,
∴30°-α>2(45°-2α)
解得，α>20°
∴∠BOD>40°
∵∠BDM >∠BOD,
∴∠BOD<45°
∴40°<∠BOD<45°.
【点睛】本题考查平面直角坐标系坐标与图形，理解点坐标的意义，将坐标转化线段长是解答此
类问题的关键；同时利用外角定理表示角之间的关系，也是解答此题的关键之处.
9．如图，长方形AOCB的顶点A(m，n)和C(p，q)在坐标轴上，已知 和 都是方程
的解，点B在第一象限内．
（1）求点B的坐标
（2）将线段AB沿着y轴负半轴方向向下平移6个单位长度到线段EF，点P从点O出发以每秒1个单位长度沿 的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿
的路线做匀速运动．当点Q运动到点C时，两动点均停止运动，设运动的时间为
秒，四边形OPCQ的面积为S．
①当 时，求 的值；
②若 时，求 的取值范围．
【答案】（1）B（2，3）；（2）①5；② 或3＜t≤4.
【分析】（1）根据坐标轴上的点得出m=q=0，再根据二元一次方程的解分别求出n和p，得到A
和C的坐标，从而得到点B坐标；
（2）①当t=2时，得到OP和OQ的坐标，再计算结果；
②根据运动过程分当t≤3时，当3＜t≤4时，当4＜t≤5时和当t＞5时，四种情况分别求解.
【详解】解：（1）∵A(m，n)和C(p，q)在坐标轴上，
∴m=0，q=0，代入 中，
可得：n=3，p=2，
∴A（0，3），C（2，0），
∵点B在第一象限，
∴B（2，3）；
（2）①当t=2时，点P在OA边上，点Q在EF边上，
OP=2，OQ=4，∴EQ=1
∴S =S + S = ；
四边形OPCQ POC QOC
△ △②由运动过程可知：
当t≤1.5时，点P在OA上，点Q在OE上，OP=t，OQ=2t，
此时若要 ，
则 ，解得： ，
∴此时t的取值范围是 ；
当1.5＜t≤2.5时，点Q在EF上，点P在OA上，
此时S =S + S = ，解得t＜2，
四边形OPCQ POC QOC
△ △
∴此时t的取值范围是
当2.5＜t≤3时，点Q在CF上，点P在OA上，
此时S =S + S = ，解得 ，
四边形OPCQ POC QOC
△ △
∴此种情况，不存在；
当3＜t≤4时，点P在AB上，点Q在CF上，
S =S + S = 解得：t＞ ，
四边形OPCQ POC QOC
△ △
∴t的取值范围是：3＜t≤4，
综上：当 时，t的取值范围是： 或3＜t≤4．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形、一元一次不等式、平移的性
质、多边形的面积，本题综合性强，理解题意，弄清运动情形是解题的关键.
10．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动
点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿 运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．
（1）当 时， 平方厘米；当 时， 平方厘米；
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过 厘米时，求 的取值范围；
（3）若 的面积为 平方厘米，直接写出 值．
【答案】（1）1； （2） （3）
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据题意列出不等式组故可求解；
（3）分Q点在AB上、BC上和CD上分别列出方程即可求解．
【详解】（1）当 时， =1平方厘米；
当 时， = 平方厘米；
故答案为 ； ；
（2）解：根据题意，得
解得 ，
故 的取值范围为 ；
（3）当Q点在AB上时，依题意可得
解得 ；
当Q点在BC上时，依题意可得解得 ＞6，不符合题意；
当Q点在AB上时，依题意可得 或
解得 或 ；
∴ 值为 ．
【点睛】此题主要考查不等式组与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程或不等
式组进行求解．
11．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y
米．
（1）当y＝22时，求x的值；
（2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围．
【答案】（1）x＝29；（2）27≤x≤32
【分析】（1）由题意得2x+y＝80，再将y＝22代入即可求x；
（2）由题意可得16≤80﹣2x≤26，求出x的范围即可．
【详解】解：（1）由题意得2x+y＝80，
当y＝22时，2x+22＝80，
∴x＝29；
（2）∵16≤y≤26，y＝80﹣2x，
，
∴27≤x≤32．
【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次不等式组，能够根据题意列式是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，我们规定：点 关于“ 的衍生点”， ，其中为常数且 ，如：点 （ ， ）关于“ 的衍生点”，即 ，即
.
（1）求点 关于“ 的衍生点” 的坐标；
（2）若点 关于“ 的衍生点” ，求点 的坐标；
（3）若点 在 轴的正半轴上，点 关于“ 的衍生点” ，点 关于“ 的衍生点” ，且
线段 的长度不超过线段 长度的一半，请问：是否存在 值使得 到 轴的距离是 到 轴距
离的 倍？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在； .
【分析】（1）根据已知条件，直接按规定计算即可得解；
（2）设点 的坐标为 ，根据已知条件，列出二元一次方程组，解得即可；
（3）根据题意，得出 ，即可判定 到 轴的距离和 到 轴的
距离的关系，从而得出存在满足条件的 值，然后列出一元一次方程，即可得解.
【详解】解：（1）根据已知条件，可得
，即 ；
（2）设点 的坐标为 ，则有
解得
即点 的坐标为 ；
（3）由题意，可得
到 轴的距离是 ， 到 轴的距离是 ，若存在 值使得 到 轴的距离是 到 轴距离的 倍
即
∵点 在 轴的正半轴上，
∴
∴
即
∴存在 值使得 到 轴的距离是 到 轴距离的 倍, .
【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中新规定下的点坐标的求解，熟练运用，即可解题.
