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第 9 章 不等式与不等式组（提高篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．满足 的最大整数 是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：
“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点M(1﹣m，m﹣3)，则点M不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知 为整数，且满足 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．25 D．26
7．已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（
）
A．10 B．8 C．7 D．4
8．已知关于x的不等式组 的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（ ）
A．5 B．8 C．11 D．99．关于 的两个代数式 与 的值的符号相反，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
10．不等式组 的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
11．定义：对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，
[-2.3]=-3．如果 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如果不等式组 的整数解仅为1，2，那么适合这个不等式组的整数 ，
的有序数对 共有（ ）
A．4个 B．6个 C．9个 D．12个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．已知 是关于 的一元一次不等式，则 的值为_________．
14．若m＞n，则m﹣n_______0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
15．不等式4（x+1）≤16的正整数解是_____．
16．如果关于x的不等式mx﹣2m＞x﹣2的解集是x＜2，那么m的取值范围是______．
17．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”
到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作进行了两次就停止，则x的取值范围是
______．
18．若等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是______；若等腰三角形的
腰长为6，则它的底边长y的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）19．（8分）解不等式： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（10分）（1）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组 ，并写出该不等式的整数解．
21．（10分）我们把 称作二阶行列式，规定他的运算法则为 ．
如： ．如果有 ，求 的解集．
22．（10分）若不等式ax－2＞0的解集为x＜－2，求关于y的方程ay＋2＝0的解．23．（10分）【问题背景】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
【问题解决】∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式 x2﹣4＞0 的解集为x＞2或x＜﹣2．
【问题应用】（1）一元二次不等式 x2﹣16＞0 的解集为 ；
（2）分式不等式 ＞0 的解集为 ；
（3）【拓展应用】解一元二次不等式 2x2﹣3x＜0．24．（12分）为了响应“足球进校园”的号召，学校开设了足球兴趣拓展班，计划同
时购买A，B两种足球30个，A，B两种足球的价格分别为50元 个，80元 个，设购买B
种足球x个，购买两种足球的总费用为y元．
求y关于x的函数表达式．
在总费用不超过1600元的前提下，从节省费用的角度来考虑，求总费用的最小值．
因足球兴趣拓展班的人数增多，所以实际购买中这两种足球总数超过30个，总费
用为2000元，则该学校可能共购买足球______个 直接写出答案参考答案
1．D
解：移项得，5x﹣2x≥9，合并同类项得，3x≥9，系数化为1得，x≥3，所以，不是不等
式的解的是x=2．
故选D．
【点拨】本题考查一元一次不等式的解．
2．A
【分析】
根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、由x＜y可得： ，故选项成立；
B、由x＜y可得： ，故选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故选项不成立；
故选A.
【点拨】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），
不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．C
【分析】
逐项分析，求出满足题意的最大整数即可．
解：A选项， ，但不是满足 的最大整数，故该选项不符合题意，
B选项， ，但不是满足 的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项， ，满足 的最大整数，故该选项符合题意，
D选项， ，不满足 ，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解．4．C
【分析】
由至多得到小于等于，结合大于得到答案．
解：由题意得，攀攀的年龄大于1且小于等于3，
故选：C．
【点拨】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握大于、大于等于、小于等
于的不同表示方法是解题的关键．
5．A
【分析】
根据各个象限的点的坐标特点，列出不等式组，不等式组无解则点M不可能在该象限．
解：点M不可能在第一象限，理由如下：
点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第一象限，则有：
，
∴解①得m＜1，
解②得m＞3，
∴不等式组无解，符合题意；
∴点M不可能在第一象限；
点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第二象限，则有：
，
∴解①得m＞1，
解②得m＞3，
∴不等式组解集是m＞3，不符合题意；
点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第三象限，则有：
，
∴解①得m＞1，
解②得m＜3，
∴不等式组解集是1＜m＜3，不符合题意；点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第四象限，则有：
，
∴解①得m＜1，
解②得m＜3，
∴不等式组解集是m＜1，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点
并正确地列出不等式组或方程是解题的关键．
6．C
【分析】
由 可得关于a的一元一次不等式组，得出24＜ ＜26，即可得出a的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴24＜ ＜26，
∵ 为整数，
∴a＝25．
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，估算无理数的大小，得出a的取值范围是
解题的关键．
7．C
【分析】
根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．
解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则
，即
又 为整数，则整数m的最大值是7
故选C
【点拨】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列
出不等式是解题的关键．
8．C【分析】
分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集求出a、b的值，代入计算即可．
解：不等式x-a≥1，得：x≥a+1，
解不等式x+5≤b，得：x≤b-5，
∵不等式组的解集为3≤x≤4，
∴a+1=3，b-5=4，
∴a=2，b=9，
则a+b=2+9=11，
故选：C．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．C
【分析】
代数式x-3与x+5的符号相反，分两种情况，解不等式组即可．
解：根据题意得，
或 ，
解得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，是基础知识要熟练掌握．
10．C
【分析】
首先解不等式组得到解集为4﹣2a ＜x ，得到方程组 ，求出a和b的
值．
解： ，由①得，x＞4﹣2a，由②得，x ，
∵不等式组的解集是0＜x＜2，∴ ，解得 ，
∴a+b＝2﹣1＝1．
故选：C．
【点拨】本题考查解不等式组，方法是首先接触不等式组中各个不等式的解集，其公
共部分就是不等式组的解集．
11．D
【分析】
先根据新定义列出关于x的不等式组2≤ ＜3，再解之即可．
解：∵[ ]=2，
∴由题意得2≤ ＜3，
解得5≤x＜7，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的
关键．
12．B
解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组的整数解仅为1，2，
∴ ，∴ ，
∴整数m的值为5或6，整数n的值为0或1或2，
∴适合这个不等式组的整数 ， 的有序数对 有（5，0），（5，1），
（5，2），（6，0），（6，1），（6，2），
故选B
【点拨】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出m、n的整数解
是解题的关键．
13．2
【分析】
利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．
解：∵不等式（m+2）x|m|-1+3＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|-1=1，且m+2≠0，
解得：m=-2（舍去）或m=2，
则m的值为2，
故答案为2.
【点拨】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的
关键．
14．＞
【分析】
根据不等式的性质即可得出结论．
解：∵m＞n，
∴m﹣n＞0，
故答案为：＞
【点拨】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不
等号的方向不变即如果a＞b，那么a±c＞b±c．
15．1，2，3
【分析】
首先确定不等式组的解集，然后再找出不等式的特殊解．
解：移项得：4x≤16﹣4，合并同类项得：4x≤12，
系数化为1得：x≤3，
所以不等式4（x+1）≤16的正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【点拨】本题考查不等式的整数解问题，关键是先求出不等式的解，再找满足条件的
解，掌握解不等式要点．
16．m＜1
【分析】
根据不等式的基本性质，两边都除以 后得到 ，可知 ，解之可得．
解： ，
移项得， ，
∴ ，
∵不等式 的解集为 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查不等式的性质及解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
17． ．
【分析】
表示出第一次、第二次的输出结果，再由第二次输出结果可得出不等式，解出即可．
解：第一次的结果为：2x﹣10，没有输出，则2x﹣10≤88，
解得：x≤49；
第二次的结果为：2（2x﹣10）-10=4x-30，输出，则4x-30>88，
解得：x>29.5；
综上可得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结
果是否可以输出，得出不等式．
18． x>3 0<y<12
【分析】
由等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x，已知腰长是6，底边长为y，根据三角形
三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案；等腰三角形的两腰长度相等，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求出解．
解：等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x，则根据x+x＞6且x-x＜6，即x＞3．
腰长是6，底边长为y，根据三边关系可知：6-6＜y＜6+6，即0＜y＜12．
故答案为x＞3．0＜y＜12；
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两腰相等，以及三角形的三边关
系．
19． ，见分析
【分析】
首先去分母，然后移项合并，系数化为1，即可求得答案．在数轴上表示时：注意此
题为空心点，方向向左．
解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
系数化为1，得： ，
∴原不等式的解集是： ．
在数轴上表示为（如图）
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集；解题的关
键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．
20．（1） ，不等式组的解集表示在数轴上见分析；（2）不等式组的整数解
是3．
【分析】
（1）先求出各个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，小大大小中间找，
大大小小无处找”确定不等式组的解集，在数轴上表示出来即可；
（2）先求出各个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，小大大小中间找，
大大小小无处找”确定不等式组的解集，找出整数解即可．解：（1） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为： ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
（2）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是： ，
∴不等式组的整数解是3．
【点拨∴】题目主要考查求解不等式组及在数轴上表示，熟练掌握不等式组的解法是解
题关键．
21．x的解集为 ．
【分析】
根据题意列出不等式，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可得
不等式解集．
解：由题意得 ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
把x的系数化为1得： ，
x的解集为： ．
【点拨】本题考查解一元一次不等式，理解题目中定义的新运算，正确掌握解不等式
的基本步骤是解题的关键．22．y＝2
【分析】
根据已知不等式解集确定出a的值，代入方程计算即可求出y的值．
解：∵不等式ax－2＞0，即ax＞2的解集为x＜－2，
∴ ，
∴a＝－1，
代入方程得：－y＋2＝0，
解得：y＝2．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解集和一元一次方程，解题关键是根据不等式
的解集求出a的值．
23．（1）x＞4或x＜﹣4；（2）x＞3或x＜1；（3）0＜x＜
【分析】
（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等
式组求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可．
解：（1）∵x2-16=（x+4）（x-4）
∴x2-16＞0可化为
（x+4）（x-4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
① ②
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴（x+4）（x-4）＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或x＜-4；
（2） ＞0
∴ 或解得：x＞3或x＜1 ；
（3）拓展应用：∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0可化为
x（2x﹣3）＜0
∴ ① 或 ②
解不等式组①，得0＜x＜ ，
解不等式组②，无解 ，
∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜ ．
【点拨】本题考查不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两
数相乘（除），同号得正，异号得负的取符号法则．
24．（1） ；（2） 元；（3）31，34，37
【分析】
根据总费用 足球费用 足球费用列出解析式即可；
先根据足球总数30个和总费用不超过1600求出x的取值范围，再根据一次函数的
增减性求出总费用最小值；
设A足球购买m个，B足球购买n个，根据总费用为2000元列出方程
，得到 ，再对n的值进行分类讨论，求出满足 的整
数解，即可得到总球数．
解： ，即 ；
依题意得，
解得， ，
又 为整数，
，2，3．，
随x的增大而增大，
当 时，y有最小值 元．
设A足球购买m个，B足球购买n个，依题意得，
．
解得 或 或 ．
，34，31．
故答案为31，34，37．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程和函数解析式是解题的关键
第三问列出二元一次方程，求出满足题意的整数解是本题的难点．
