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第 9 章 不等式与不等式组（基础篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知实数 ，满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式（a-2012）x＞a-2012的解集是x＜1．则a应满足的条件是（ ）
A．a=2012 B．a＜2012 C．a＞2012 D．无法确定
3．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的取值范围
是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在数轴上，已知点 ， 分别表示数1， ，那么数轴上表示数
的点应落在( )
A．点 的左边 B．线段 上 C．点 的右边 D．数轴的任意位置
5．已知关于x的不等式组 ，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若关于x的不等式mx- n＞0的解集是 ，则关于x的不等式 的
解集是（ ）
A． B． C． D．7．直线y＝3x＋m与直线y＝－x的交点在第二象限，则m的取值范围为( )
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
8．若关于x的方程3m(x＋1)＋5＝m(3x－1)－5x的解是负数，则m的取值范围是(
)
A．m＞－ B．m＜－
C．m＞ D．m＜
9．若不等式组 的解 为 ，则 值为（ ）
A． B． C． D．
10．如果关于x的不等式组 的解集为 ，且式子 的值是整数，
则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
11．关于 的不等式组 只有 个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如果关于x的不等式组 的解集为 ，且整数m使得关于x，y的
二元一次方程组 的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（
）
A．-4 B．2 C．4 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若5x3m-2-2＞7是一元一次不等式，则m=_____．14．关于x的不等式3x﹣2a≥﹣1的解集如图所示，则a= ________
15．若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是_____．
16．已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝_____．
17．已知 ，则代数式 最大值与最小值的差是________．
18．按图中程序计算，规定：从“输入一个值 ”到“结果是否 ”为一次程序操
作，如果程序操作进行了两次才停止，则 的取值范围为_______________________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）(1)解不等式 － ≥x－ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
20．（10分）当x取什么值时，代数式 的值是
(1)正数？
(2)负数？
(3)非负数？21．（10分）已知方程组 的解 为非正数， 为负数．
（1）求 的取值范围：
（2）化简 ；
（3）在 的取值范围内，当 取何整数时，不等式 的解为 ?
22．（10分）已知关于x的不等式组 有解，求实数a的取值范围，
并写出该不等式组的解集．23．（10分）根据要求解不等式或答题
（1） ；
（2）若关于 的不等式组 有四个整数解，则 的取值范围是？
（3） ；
（4） ．
24．（12分）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：
(1)若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进
多少件？（请用二元一次方程组求解）
(2)若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于 1314元，
请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43参考答案
1．D
【分析】
选项A，若a、b互为相反数，则不满足；
选项B，适当的给a、b赋值，可知其不满足；
选项C，适当的给a、b赋值，可知其不满足；
选项D，正确.
解：选项A，若a=2，b=-2，则 ，故错误；
选项B，若a=10,，b=9.9， ，故错误；
选项C，若a=0.5，b=1，则 ，故错误；
选项D， ，由题设 ，可知 ，故满足题意.本题选
D.
【点拨】本题考察未知数的比较.
2．B
解：由含有a的不等式（a-2012）x＞a-2012的解集为：x＜1，根据不等式的基本性质
3，可知a-2012＜0，解得a＜2012.
故选B.
点睛：此题主要考查了不等式的解集，解题关键是根据不等式的解集中不等号的方向
发生了改变，明确应用了不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，
不等号的方向改变，由此可判断.
3．C
【分析】
先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计
算，即可得到答案．
解：
① ②得：∴
将 代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌
握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】
根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答
案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边．
解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1，
解得x＜1；
-x＞-1．
-x+2＞-1+2，
解得-x+2＞1．
所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边；
作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1，
由x＜1，得：-x＞-1，
-x+1＞0，
-2x+3-（-x+2）＞0，
∴-2x+3＞-x+2，
所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边．
故选B．
【点拨】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的
总比左边的大得出不等式．
5．C
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．
解：由x﹣1＞0得x＞1，
由x﹣a≤0得x≤a，
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确；
②当a＝1时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确；
④如果它有解，那么a＞1，此结论错误；
故选：C．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．B
【分析】
先解不等式mx- n＞0，根据解集 可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的
数量关系，再解不等式 可求得
解：mx- n＞0
mx＞n
∵不等式的解集为：
∴m＜0
解得：x＜
∴ ，
∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
将m=5n代入 得：∴x＜
故选：B
【点拨】本题考查解含有参数的不等式，解题关键在在系数化为1的过程中，若不等
式两边同时乘除负数，则不等号需要变号.
7．A
解：试题分析：根据题意可知-x=3x+m，解得x=- m，由于其交点在第二象限，可知
x＜0，可得m＞0.
故选A.
8．A
【分析】
解：去括号得，3mx+3m+5=3m−mx−5x，
移项得，3mx+mx+5x=3m−3m−5，
合并同类项得,(4m+5)x=−5，
系数化为1,得
∵方程3m(x+1)+1=m(3−x)−5x的解是负数，
∴
∴4m+5>0，
解得
故选A.
【点拨】先解方程，再根据解为负数，求得 的取值范围即可．
9．C
【分析】
根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组
的解集 ，根据不等式组的解集得出 ，且 ，求出 ，
，即可解答．解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
若不等式组 解为 ，
，且 ，
解得： ， ，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组 ，解一元一次方程等知
识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于 和 的方程，题目比较好，综合性比
较强．
10．C
【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为 可得出m≤2，再由式子
的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
解：解不等式 得x＞m，
解不等式 得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子 的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不
等式组的解法是解题的关键．
11．C
【分析】
先解 的不等式组 ，然后根据整数解的个数确定 的不等式组，解出取
值范围即可．
解：不等式组 ，
解得： ，
不等式组只有 个整数解，即解只能是 ， ， ， ， ，
的取值范围是： ，
解得： ．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个
数确定关于 的不等式组．
12．D
【分析】
根据不等式组的解集确定m的取值范围，根据方程组的解为整数，确定m的值．
解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，因为不等式组的解集是 ，
所以， ，
解二元一次方程组 得， ，
因为x为整数，所以 或 或 或 ，
则 或 或 或 ，
∵
∴ 或 或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练运用
解方程组和解不等式组方法求解，根据整数解准确进行求值．
13．1
解：根据题意得：3m-2=1，
解得：m=1．
故答案是：1．
14．-1
解：解不等式3x﹣2a≥﹣1得，x≥ ，
∵由数轴上不等式的解集可知x≥﹣1，
∴ =﹣1，
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
15． 且
解：解方程 得： ，
因为它的解是正数，则 且 ，
得 且 ．
故答案为： 且 ．
16．
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出 ，求出 ，设 ，
则 ，得出不等式组 ，求出 即可．
解：解不等式 得： ，
关于 的不等式 的最大整数解为 ，
，
解得： ，
为整数，
设 ，则 ，
即 ，
解得： ，
为整数，
，
即 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于 的不等式
组．
17．
【分析】
首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．
在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解不等式组得： ；（1）当 时， ，
当 时有最小值 ，
当 时有最大值5；
（2）当 时， ，
∴当 时 的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是 .
故答案为： .
【点拨】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次
不等式的求解步骤，绝对值的性质．
18．
【分析】
根据题意得到第一次运算结果小于17，第二次运算结果大于等于17，列出不等式组，
解不等式组即可求解．
解：由题意得
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解运算程序并根据题意列出不等式
组是解题关键．
19．（1）x≤－1，解集在数轴上表示见分析；（2）原不等式组无解.
解：试题分析：（1）根据不等式的解法，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，解不等式，再表示在数轴上即可；
（2）分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，并表示在数轴上.
(1) 解：原不等式化简为：2x－4－9x－15≥6x－4＋2x，解得x≤－1，解集在数轴上表
示为：
(2) 解：由①得x≥4，由②得x＜1，∴原不等式组无解．
20．(1)x＜ ；(2)x＞ ； (3)x≤ .
解：试题分析：根据题意，分别列出符合条件的不等式，然后解不等式即可求解.
试题解析：（1）由题意得 －2x＋1＞0
解得x＜
（2）由题意得 －2x＋1＜0
解得x＞
（3）由非负数可知： －2x＋1≥0
解得x≤
21．（1） ；（2）6；（3）-1
【分析】
（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次
不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可；
（3）根据不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1得出2a+1＜0且 ，解此不等式得
到关于a取值范围，找出符合条件的a的值．解：（1）解方程组 ，
解得： ，
∵ 为非正数， 为负数，
，
解不等式组，得： ；
(2)∵ ，
∴ ，
；
(3)不等式 可化为： ，
∵不等式 的解为 ，
可知 ，
，
又 ，
，
∵a为整数，
∴ ．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式组、代数式的化简求值，
先把a当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于a的不等式组求出a的取值范围
是解答此题的关键．
22．a＜－6， ≤x＜－2.
解：试题分析：根据题意，分别求解两个不等式的解集，然后根据不等式有解求解a
的取值范围，并写出不等式组的解集即可.
试题解析：解不等式3x－a≥0，得x≥ ，解不等式 (x－2)＞3x＋4，得x＜－2，
由题意，得 ＜－2, 解得a＜－6，
∴不等式组的解集为 ≤x＜－2.
23．（1）-1≤x＜ ；（2） ≤a＜ ；（3）当m＞2时，x＞ ；当m＜2时，
x＜ ；（4）1＜x＜4．
【分析】
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先解每一个不等式，根据范围内有四个整数解，确定a的取值范围；
（3）利用不等式的解法分别从m＞2和m＜2分别求解即可；
（4）根据绝对值的性质分别从x＜-1，-1≤x≤0，0＜x≤2与x＞2四种情况分别化简不等
式，再利用不等式的解法分别求解，即可得出原不等式的解集．
解：（1）
解不等式①得x≥-1，
解不等式②得x＜ ，
∴不等式组的解集为-1≤x＜ ．
（2）
由不等式①，得2x-3x＜-9+1，解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，解得x＜2-4a，
∵不等式组有四个整数解，即：9，10，11，12，
∴12＜2-4a≤13，解得 ≤a＜ ；
（3） ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
当m＞2时，x＞ ；
当m＜2时，x＜ ；
（4） ，
当x＜-1时，原绝对值不等式可化为 ，
解得x＞4，与x＜-1矛盾，故此不等式无解；
当-1≤x≤0时，原绝对值不等式可化为 ，
解得x＞ 与-1≤x≤0矛盾，故此不等式无解；
当0＜x≤2时，原绝对值不等式可化为 ，
解得x＞1，则1＜x≤2；
当x＞2，原绝对值不等式可化为 ，
解得x＜4，则2＜x＜4，
故原不等式的解集为1＜x＜4．
【点拨】本题考查了一元一次不等式与不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握一
元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
24．(1)购进甲种用品100件，乙种用品80件
(2)甲种用品61件，乙种用品119件
【分析】
（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180件，
且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，根据“投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，
解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润=销售
每件的利润×销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
(1)
设购进甲种用品x件，乙种用品y件，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进甲种用品100件，乙种用品80件．
(2)
设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，
依题意得：
，
解得：60＜m≤63，
又∵m为正整数，
∴m可以取61，62，63，
∴共有3种购货方案，
方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件；
方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件；
方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件．
方案1可获得的利润为（20-14）×61+（43-35）×119=1318（元）；
方案2可获得的利润为（20-14）×62+（43-35）×118=1316（元）；
方案3可获得的利润为（20-14）×63+（43-35）×117=1314（元）．
∵1318＞1316＞1314，
∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式组．
