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七下期末难点特训（四）和相交线平行线有关的压轴题
1．直线AB//CD，点 、 分别在直线 、 上．
(1)如图1， 、 、 的数量关系为：________；
(2)如图2，直线 与 、 分别交于点 、 ，连接 ， 的平分线 交
于点 ．
①当MH//EF，PN//EF时，请判断 与 的数量关系，并说明理由；
②如图3，当 保持PN//EF并向左平移，在平移的过程中猜想 、 与
的数量关系，请直接写出结论．
2．如图1，直线 与直线 分别交于点E、F， 平分 交 于点M，且
．
(1)求证： ；
(2)如图2，点G是射线 上一动点（不与点M、F重合）， 平分 交 于点
H， 于点N，设 ．
①当点G在点F的右侧时，若 ，求 的大小；
②点G在整个运动过程中，直接写出 和 之间的数量关系．
3．已知△ABC与△ADE共顶点A， ，顶点B和C在直线 上（点B
在点C的左侧），顶点D和E在直线 上（点D在点E的左侧），且直线 ．(1)如图1，顶点A在 与 之间，判断∠BAD与 是否相等，并说明理由．
(2)如图2，顶点A在 与 之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若
，求∠BFE的度数．
(3)若顶点A在直线 的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与
∠AED的角平分线交于点F，记 ， ，请探究 与 的数量关系，并直
接写出结论．
4．如下图，点E、C分别在直线 、 上，点A为平面内 、 之间的一点，若
．
(1)证明：BM GN；
(2)如下图，若 ，AC EF，点D在线段 上，连接 ，且 ，
试判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)如下图，若 ， ，且 、 分别平分 、 ，求
的度数．5．如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上，点 在直线 ， 之
间，连接 ， ， ， ，直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，
， 是 的平分线，交直线 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 时，求 ；
(3)将直线 向左平移，并保持 ，在平移的过程中（除点 与点 重合时），求
的度数（用含 的式子表示）．
6．已知：如图1，直线 ，EF分别交AB，CD于E，F两点， 的平
分线相交于点M．
(1)求 的度数；
(2)如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系，
并说明理由；
(3)在图2中作 的平分线相交于点 ，作 的平分线相交于
点 ，依此类推，作 的平分线相交于点 ，请直接写出 的
度数．
7．如图1，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜
AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面
反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即
∠OPA=∠QPB．（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；
（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，
四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为
O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．
8．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD
与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′
＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
9．已知 ，直角 的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F
点，且 ．
（1）将直角 如图1位置摆放，如果 ，则 ________；（2）将直角 如图2位置摆放，N为 上一点， ，请写出
与 之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角 如图3位置摆放，若 ，延长 交直线b于点Q，点P是射
线 上一动点，探究 与 的数量关系，请直接写出结论．
10．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一
副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝
∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，
边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个
角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角
顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为
∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
结论应用
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，
CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间
的倍数关系，不需要说明理由．
11．已知，直线AB与直线CD平行，在这两条直线的内侧有一点E，连接BE、ED，ABE
的平分线与CDE的平分线交于点F．（1）如图1：当点E在直线BD的左侧时，补全图形并且直接写出BFD与E的关系．
（思路提示：过点E、点F分别做出AB或CD的平行线，通过ABE和CDE即可建立BFD
与E的关系）
（2）当点E在直线BD的右侧时，在图2中补全图形，请问：（1）中的结论是否发生变化，
如果变化了请写出变化后的结论，并说明理由．
12．已知： ， ， 四点在同一直线上．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，猜想 这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3， 是 下方一点，连接 ，且 ， ，
若 ，求 的度数．
13．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，
所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板 中， ，长方形 中， ．
问题初探：（1）如图（1），若将三角板 的顶点 放在长方形的边 上， 与 相交于点
， 于点 ，求 的度数．
分析：过点 作 ，则有 ，从而得 ，
从而可以求得 的度数．
由分析得，请你直接写出： 的度数为____________， 的度数为___________．
类比再探：
（2）若将三角板 按图（2）所示方式摆放（ 与 不垂直），请你猜想写出
与 的数量关系，并说明理由．
14．如图1，已知∠A+∠E+∠F+∠C=540°．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠PAB=3∠PAQ，∠PCD=3∠PCQ，试判断∠APC与∠AQC的数量关系，并说
明理由．
15．问题情境：如图1， ， ， ，求 的度数．小明的
思路是过点 作 ，通过平行线性质来求 ．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求 的度数．
（2）问题迁移：如图2， ，点 在射线 上运动，记 ， ，当
点 在 、 两点之间运动时，问 与 、 之间有何数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，当点 在线段 上时，请直接写出 与 、 之间的数量
关系．
