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七下期末难点特训（三）和平面直角坐标系有关的压轴题
1．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的
最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的
P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
A．（3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（﹣3，3） D．不能确定
(2)若 （﹣1，﹣k﹣3）， （4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)①E，F；②C
(2)1或2
【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距
离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即
可．
【详解】（1）解：①∵点A(-3,1)到x、y轴的距离中最大值为3，
又∵点E(0,3)和点F(3,-3)到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F；
②∵点B的坐标为(m,m+6)，且有m＜m+6，
又∵点A与点B为“等距点”，点A(-3,1)到x、y轴的距离中最大值为3，
∴m+6=3，
解得m=-3，
即B点的坐标为(-3,3)，
故选：C．
故答案为：①E、F；②C；（2）解： ， 两点为“等距点”，
①若|4k-3|≤4时，则4＝-k-3或-4＝-k-3，
解得k＝-7（舍去）或k＝1；
②若|4k-3|＞4时，则|4k-3|＝|-k-3|，
解得k＝2或k＝0（舍去）．
根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．
即k的值是1或2．
【点睛】本题考查了直角坐标系中的坐标中的知识，理解读懂“等距点”的定义是解题的
关键．
2．平面直角坐标系中， ， ， ， 均为整数，且满足 ，
点 在 轴负半轴上且 ，将线段 平移到 ，其中点 的对应点是点 ．
(1)请直接写出点 ， ， 的坐标；
(2)如图（1），若点 的坐标为 ，点 为线段 上一点，且 的面积大
于12，求 的取值范围；
(3)如图（2），若 与 轴的交点 在 点上方，点 为 轴上一动点，请直接写出
， ， 之间的数量关系．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)当点 在点 的下方时， ；当点 在 的上方、 的延长线
与 轴的交点的下方时， ；当点 在 的延长线与 轴的
交点 上方时， ．
【分析】（1）由非负性可求 ， 的值，由三角形的面积公式可求点 坐标；
（2）由平移的性质可得 ， ， ，由面积关系可求 ， 的数
量关系，即可求解；（3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
， 均为整数，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
点 在 轴负半轴上，
点 坐标为 ；
（2）解：如图，连接 ， ， ，
将线段 平移到 ，
， ， ，
四边形 的面积 ，
，
，
，
，
，
，；
∵ 为线段 上一点，
∴
∴
（3）解：如图，当点 在点 的下方时，延长 交 于 ，
将线段 平移到 ，
， ，
，
，
，
，
；
如图，当点 在 的上方、 的延长线与 轴的交点下方时，延长 交 于点 ，
将线段 平移到 ，
，
，
，
，
，
；
如图，当点 在 的延长线与 轴的交点 上方时，，
又 ，
，
由对顶角得 ，
，
，
，
综上所述：当点 在点 的下方时， ；当点 在 、与 的延
长线与 轴的交点之间时， ；当点 在 的延长线与 轴
的交点 上方时， ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想
解决问题是解题的关键．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段 平移至线段 ，点 在 轴的
负半轴，点 在 轴的正半轴上，连接 、 ．
(1)若 、 ， ，直接写出点 的坐标；
(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点 ，两个动点 、 ．
请你探索是否存在以两个动点 、 为端点的线段 平行于线段 且等于线段 ，若
存在，求点 、 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，在直线 上有两点 、 ，分别引两条射线 、 ． ，
，射线 、 分别绕 点， 点以1度 秒和3度 秒的速度同时顺时针转动，设时间为 ，在射线 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 与 平行？
若存在，求出所有满足条件的时间 ．
【答案】(1)
(2)存在， ，
(3)存在， 为5秒或 秒
【分析】(1)根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，
对应点的连线平行且相等；
(2) 根据 ，得出 ，解答即
可．
(3) 分 与 在 的两侧，分别表示出 与 ，然后根据内错角相等两
直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与 都在 的右侧，分别表示出 与 ，然后根据同位角相等
两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与 都在 的左侧，分别表示出 与 ，然后根据同位角相等
两直线平行，列式计算即可得解.
【详解】（1）解：设 ，
将线段 平移至线段 ， 、 ， ，
， ，
， ，
；
（2）解：存在，理由：
， ， ， ，
点 与 的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形 是平行四边形，
即 ， ，
解得： ， 或 ， ，点 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， 或点 的坐标为 ， ， 的坐标为 ，
，
当 ， ， ， 时， 、 、 、 四点均在 轴上，不能构成平行四边形，舍
去；
， ， ， ；
（3）解：存在．
分三种情况：
如图①， 与 在 的两侧时，
， ，
， ，
要使 ，则 ，即 ，
解得 ，
此时 ，
，
② 旋转到与 都在 的右侧时，
， ，
， ，
要使 ，则 ，即 ，
解得 ，
此时 ，
；
③ 旋转到与 都在 的左侧时，
， ，
， ，
要使 ，则 ，
即 ，解得 ，
此时 ，
，
此情况不存在．
综上所述， 为5秒或95秒时， 与 平行．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平行线的判定，三角形的面积，熟记平移变化
只改变图形的位置不改变图形的形状，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法，要注意分
情况讨论是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为 ， 轴，垂足为 ，已知
， ，其中 ， 满足关系式 ，点 从 点出发沿折线
的方向运动到点 停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点 的运动时
间为 秒．
(1)在运动过程中，当点 到 的距离为2个单位长度时， ________秒；
(2)在点 的运动过程中，用含 的代数式表示 点的坐标；
(3)当点 在线段 上的运动过程中，射线 上一点 ，射线 上一点 （不与 重
合），连接 ， ，使得 ，求 与 的数量关系．
【答案】(1)2s或8s；
(2)当0≤t≤3时，P（2t，0）；当3≤t≤7时，P（6，6−2t）；当7≤t≤10时，P（20−2t，
−8）；
(3)∠PFC＋∠PEA＝160°或∠PFC−∠AEP＝20°．
【分析】（1）由非负数的性质得a−6＝0，c＋8＝0，解得a＝6，c＝−8，由此即可解决问
题；
（2）分三种情形：①当0≤t≤3时，②当3≤t≤7时，③当7≤t≤10时，分别求解即可；
（3）分两种情形分别画出两个图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解
即可．
(1)
解：∵a，c满足关系式 ，
∴a−6＝0，c＋8＝0，∴a＝6，c＝−8，
∴A（6，0），B（6，−8）．
当点P到AB的距离为2个单位长度时，运动路程s＝6−2＝4或s＝6＋8＋2＝16，
∴4÷2＝2s或16÷2＝8s，
故答案为：2s或8s；
(2)
①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）；
②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时PA＝2t−6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P
（6，6−2t）；
③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t−OA−AB＝2t−14，PC＝BC−PB＝6−（2t−14）＝
20−2t，
∴P（20−2t，−8）；
(3)
当点P在线段AB上时，分两种情况：
①如图3中，结论：∠PEA＋∠PFC＝160°，理由如下：
连接OP，
∵∠PFC＝∠FPO＋∠FOP，∠AEP＝∠EOP＋∠EPO，
∴∠PEA＋∠PFC＝∠FPO＋∠FOP＋∠EOP＋∠EPO＝∠AOF＋∠EPF＝90°＋70°＝160°；
②如图4中，结论：∠PFC−∠AEP＝20°，理由如下：设PM交OC于G，
∵∠AEP＋∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝110°−∠PFC，
∴∠AEP＋110°−∠PFC＝90°，
∴∠PFC−∠AEP＝20°，
综上所述，∠PFC＋∠PEA＝160°或∠PFC−∠AEP＝20°．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性
质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，
属干中考常考题型．
5．在平面直角坐标系中， ， ，a，b满足 ，连接AB
交y轴于C．
(1)直接写出 ______， ______；
(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，直线BD交x轴于 ，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点 在
直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的 ，求点Q横坐标x的取值范
围．
【答案】(1)-3，4
(2)-3，4
(3)-4≤x≤-2且x≠-3
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出 ， ；
（2）过点 作 轴于 ，设 ，由三角形面积关系得出
，求出 ，过点 作 轴于 ，由三角形面
积关系得出 ，求出 即可；
（3）连接 ，过点 作 轴，分点 在第二象限，点 在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．
【详解】（1）解： ，
又∵ ， ，
，
解得： ，
故答案为：-3，4．
（2）过点 作 轴于 ，
设 ，
三角形 的面积 四边形 的面积 三角形 的面积，
，
即 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
过点 作 轴于 ，
三角形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积，
，
即 ，
，
点 的坐标为 或 ．
（3）点 向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点 平移后的对应点恰好是点 ，连接 ，过点 作 轴，如图所示：
，
三角形 的面积 三角形 的面积，
当三角形 的面积 三角形 的面积时， ，
当点 在第三象限时，
，
解得： ，
当点 在第二象限时，
，
解得： ，
当三角形 的面积不超过三角形 面积的 时，
点 的横坐标 的取值范围是 ，且 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等
知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
6．在平面直角坐标系中，点 ， 均在 轴上，点 在第一象限，直线 上所有点的坐
标 都是二元一次方程 的解，直线 上所有点的坐标 都是一元一次方
程 的解．(1)求 点的坐标时，小明是这样想的：先设 点坐标为 ，因为 点在直线 上，所
以 是方程 的解；又因为 点在直线 上，所以 也是方程 的
解，从而 ， 满足 ，据此可求出 点坐标为______．再求出 点坐标为
______； 点坐标为______．（均直接写出结果）
(2)若线段 上存在一点 ，使 （ 为原点），求 点坐标
(3)点 是坐标平面内的动点，若满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)（2，4），（-2，0），（4，0）
(2)（ ，3）
(3)-7≤a≤-3且a≠-5
【分析】（1）解方程组可求出B点坐标，解方程可求出A和C的坐标；
（2）求出三角形ABC的面积=12，则可求出D点的纵坐标，代入2x+y=8求出x，可得答案；
（3）设直线BA交直线y=-3于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线y=-3于M，
N，根据S ABM+S AMNF=S FBN求出FN=7，得出S ABE≤4，令S ABE=4，得出方程|
梯形
a+5|=2，解△出a=-7或-3，则可得△ 出答案． △ △
（1）
解：∵m，n满足 ，
解得： ，
∴B（2，4），
∵点A在x轴上，又在直线AB上，
令y=0，则x-0=-2，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
同理，令y=0，
∴2x+0=8，
∴x=4，
∴C（4，0），
故答案为：（2，4），（-2，0），（4，0）；
（2）∵B（2，4），A（-2，0），C（4，0）；
∴AC=4+2=6，
∴S ABC= AC×4= ×6×4=12，
△
∵S OCD= S ABC，
△ △
∴S OCD= OC•y=6，
△
∴y=3，
代入2x+y=8得，x= ，
∴D（ ，3）；
（3）
设直线BA交直线y=-3于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线y=-3于M，N，
∵S ABM+S AMNF=S FBN，
梯形
△ △
∴ ×4×4+ （4+FN）×3= ×FN×7，
∴FN=7，
∴F（-5，-3），
∵S ABE≤ S ABC，
△ △
∴S ABE≤4，
令△S ABE=4，
∵S B△EF-S AEF=S ABE，
△ △ △
∴ |a+5|×7- |a+5|×3=4，
∴|a+5|=2，
解得a=-7或-3，
∵S ABE≤4，
△∴-7≤a≤-3且a≠-5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，三角
形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
7．如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ．其中 、 、 满足关
系式 ， ．
(1) _______； _______； ______．
(2)如果在第四象限内有一点 ，使得 的面积是 面积的一半，求点 的坐
标．
(3)如图2，过点 作 ，交 延长线于点 ，且 ，点 在直
线 上，点 是 轴上异于点 的一个动点，是否存在 为等腰直角三角形，若存
在，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)2，6，5
(2)（1， ）
(3)存在，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或（-18，0）
【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；
（2）根据△APO的面积是△ABC面积的一半列方程，即可解答；
（3）存在，分三种情况：当∠DQM=90°时，点Q与A重合，此种情况不成立，有
∠DMQ=90°和∠MDQ=90°，分情况正确画图，证明三角形全等，求出m的值，即可解答．
（1）解：∵|a-2|=-（b-6）2，∴|a-2|+（b-6）2=0，∴a=2，b=6，∵（c-5）2≤0，（c-5）
2≥0，∴c-5=0，∴c=5，故答案为：2，6，5；
（2）∵a=2，b=6，c=5，∴A（2，0），B（0，6），C（2，5），∴AC∥y轴，AC=5，
OB=6，AO=2，∵P（1，m），使得△APO的面积是△ABC面积的一半，∴S APO=
△S ABC，∴ •2•（-m）= × ×5×2，∴m= ，∴P（1， ）；
△
（3）存在，①如图2，∠DMQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，
过点M作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH于
G，过点Q作QH⊥GH于H，∵点M（m，-3m+6）在直线AB上，∴FM=m，QH=3m-6，
∵AB⊥AD，∴∠BAD=∠BAO+∠DAE=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAE=∠ABO，
∵AB=AD，∠AOB=∠AED=90°，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE=OB=6，DE=OA=2，
∵△DQM是等腰直角三角形，∴同理得△QHM≌△MGD（AAS），∴MG=QH=3m-6，
∵OE=FG，∴2+6=m+3m-6，∴m= ，∴OQ=FH=HM-FM=DG-FM=2+3m-6-m=2m-4=7-4=3，
∴Q（-3，0）；②如图3，∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，
过点D作DG⊥x轴于E，过点M作
MG⊥DG于G，同理得△BOA≌△AED，△MGD≌△DEQ，∴DE=MG=OA=2，OE=2+6=8，
∴OE=8=m+2，∴m=6，∴OQ=OE+EQ=OE+DG=8+2+3m-6=3m+4=22，∴Q（22，0）；③如
图4，∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DE⊥x轴于E，过M作
MG∥y轴，过点D作DG⊥MG于G，同理得：OA=DE=DG=2，∴m=2+6+2=10，∴OQ=EQ-
OE=MG-OE=2+3m-6-8=18，∴Q（-18，0）；综上，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或
（-18，0）．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角
形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角
形全等．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），C（a，c）．其中a、b、c
满足关系式|a﹣2|＝﹣（b﹣6）2，（c﹣5）2≤0．
(1)a＝______，b＝______，c＝______；
(2)如果在第四象限内有一点P（1，m），使得 APO的面积是 ABC面积的一半，求点P
的坐标．
△ △
(3)过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，点M（m，﹣3m+6）在直线AB上，点Q是x轴上异于点A的一个动点，是否存在 DQM为等腰直角三角形，若存在，请直接
写出点Q的坐标．
△
【答案】(1)2，6，5
(2)P（1，﹣ ）
(3)存在，点Q的坐标为（﹣3，0）或（22，0）或（﹣18，0）
【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；
（2）根据 APO的面积是 ABC面积的一半列方程，即可解答；
（3）存在，分三种情况：当∠DQM=90°时，点Q与A重合，此种情况不成立，有
△ △
∠DMQ=90°和∠MDQ=90°，分情况正确画图，证明三角形全等，求出m的值，即可解答．
（1）解：∵|a﹣2|＝﹣（b﹣6）2，∴|a﹣2|+（b﹣6）2＝0，∴a＝2，b＝6，∵（c﹣5）
2≤0，（c﹣5）2≥0，∴c﹣5＝0，∴c＝5，故答案为：2，6，5；
（2）∵a＝2，b＝6，c＝5，∴A（2，0），B（0，6），C（2，5），∴AC∥y轴，AC＝
5，OB＝6，AO＝2，∵P（1，m），使得 APO的面积是 ABC面积的一半，∴S APO＝
△
△ △
S ABC，∴ •2•（﹣m）＝ × ×5×2，∴m＝﹣ ，∴P（1，﹣ ）；
△
（3）存在，①如图2，∠DMQ＝90°， MDQ是等腰直角三角形，
△
过点M作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH于
G，过点Q作QH⊥GH于H，∵点M（m，﹣3m+6）在直线AB上，∴FM＝m，QH＝3m﹣
6，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝∠BAO+∠DAE＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DAE＝
∠ABO，∵AB＝AD，∠AOB＝∠AED＝90°，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝OB＝6，
DE＝OA＝2，∵△DQM是等腰直角三角形，∴同理得 QHM≌△MGD（AAS），∴MG＝
△
QH＝3m﹣6，∵OE＝FG，∴2+6＝m+3m﹣6，∴m＝ ，∴OQ＝FH＝HM﹣FM＝DG﹣
FM＝2+3m﹣6﹣m＝2m﹣4＝7﹣4＝3，∴Q（﹣3，0）；②如图3，∠MDQ＝90°， MDQ
△是等腰直角三角形， 过点D作DG⊥x轴
于E，过点M作MG⊥DG于G，同理得 BOA≌△AED， MGD≌△DEQ，∴DE＝MG＝OA＝
2，OE＝2+6＝8，∴OE＝8＝m+2，∴m＝6，∴OQ＝OE+EQ＝OE+DG＝8+2+3m﹣6＝3m+4
△ △
＝22，∴Q（22，0）；③如图4，∠MDQ＝90°， MDQ是等腰直角三角形，
△
过点D作DE⊥x轴于E，过M作
MG∥y轴，过点D作DG⊥MG于G，同理得：OA＝DE＝DG＝2，∴m＝2+6+2＝10，∴OQ
＝EQ﹣OE＝MG﹣OE＝2+3m﹣6﹣8＝18，∴Q（﹣18，0）；综上，点Q的坐标为（﹣
3，0）或（22，0）或（﹣18，0）．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角
形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角
形全等．9．如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且a，b满足：
．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图1，将AB平移到 ，使点B的对应点 落在x轴的正半轴上，在y轴上有一点
P，且 ，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，线段AB与y轴交于点M，将AB平移到 ，连接 ， ，点B的对应点
，若 ，求n的取值范围．
【答案】(1) 、
(2)当点P在AB上方时， ；当点P在AB下方时，
(3)
【分析】（1）由非负数的性质求出a= 4，b=2，则可得出答案；
（2）①当点P在AB上方时，如图1，过点P作PQ∥AB，②当点P在AB下方时，如图2，
过点P作PQ∥AB，由平行线的性质可得出答案；
（3）如图3，过点A作AC⊥x轴于C、过点B作BD⊥x轴于点D，过点A'、B'构造矩形
A'GEF，设M（0，m），根据S ACDB=S ACOM+S OMDB得出 ×8×(2+6)＝ ×
梯形 梯形 梯形
（2+m）+ ×4×（6+m），求出m=4，求出S ABM=2n+16，解不等式组可得出答案．
′ ′
△
（1）
解： ，
∴ ，
解得： ，
∴ 、 ；（2）
解：①当点P在AB上方时，如图1，过点P作 ，
∵由平移得：
∴
∴ ，
∴
∴
②当点P在AB下方时，如图2，过点P作 ，
同①可证：
∴ ；
（3）
解：如图3，过点A、B构造梯形ABDC，过点 、 构造矩形 ，
设
∵
∴解得：
如图3，过点 、 构造矩形 ，
∴
∵
∴
∴ ；
【点睛】本题是三角形综合题，考查了平方根与绝对值的非负性质、三角形面积计算、平
面直角坐标系与点的坐标、平移的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平移的性质、平
行线的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三个点的坐标分别为 、 、
，D为 中点， 与 相交于点E．
(1)则点D坐标为_______， ________；
(2)点 在直线 上，且 ，求b的值；
(3)点 在x轴上，若 的面积大于 的面积，直接写出m的取值范围
_______．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）先由A的坐标结合D为OA的中点可得D的坐标，由B，C的坐标可得BC的长度；
（2）如图，当F在线段BD上时，过 作 于N，连接OF，由 ，
而 再建立方程求解即可；当F在BD的延长线
上时，如图，当F在线段BD的延长线上时，可得D是线段BF的中点，再利用中点坐标公
式可得答案；
（3）如图，过 作 于 作 于 过 作 于 由
可得 同理：由 可得：
再联立两个方程求解 再求解 ，
，再建立不等式，利用绝对值的含义解不等式即可．
（1）解： ， ∵D为 中点， ∴ ∵
轴，
（2）如图，当F在线段BD上时，过 作 于N，连接OF，
，∵ ，
∴ ∴ 而 解得：
当F在线段BD的延长线上时，如图，∵ ∴D是线段BF的中点，∴
解得： 综上： 或
（3）如图，过 作 于 作 于 过 作 于
整理得： 同理：由 可得：
∴ 解得： 即
，∵ ，
∵ 的面积大于 的面积， ，解得： 或
【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，图形面积与坐标之间的关系，二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，熟练的求解（3）中的点E的坐标是解本
题的关键．
11．在如图所示的平面直角坐标系xOy中，BC⊥y轴于点C，OA＝12，BC＝OC＝6，点B
在第三象限．设动点P从A点出发沿x轴正方向以每秒3个单位长度匀速移动，同时动点
Q从O点出发沿y轴负方向以每秒 个单位长度匀速移动，连接PB，QB．
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)当△PAB的面积是△QBC的面积的4倍时，求点P的坐标；
(3)若S OPB、S QBC分别表示△OPB、△QBC的面积，说明S OPB与S QBC的数量关系．
【答案△】(1)A（△-12，0），B（-6，-6） △ △
(2)点P（-4，0）或（12，0）
(3)
【分析】（1）根据OA=12可得 A坐标，OC=6可得 C坐标，再由BC⊥y轴，BC=OC=6可
得B坐标；
（2）设运动时间为t秒，然后分0＜t＜4、t=4、t＞4三种情况建立方程求解即可；
（3）由运动可得OP=|12-3m |、QC=|6- m|= |12-3m |可得OP=2QC，再结合△OPB与
△QBC分别以OP，OC为底、高为6即可解答．
（1）解：∵OA=12，BC＝OC＝6，∴A（-12，0），C（0，-6）∵BC⊥y轴于点C，点B在
第三象限，∴B（-6，-6）．
（2）解：设运动时间为t秒，当点Q在O、C之间，点P在A、O之间时，即04时，∵△PAB
的面积是△QBC的面积的4倍，∴ ，解答t=8，∴点P的横坐标为×8-12=12，∴点P（12，0）；综上，点P（-4，0）或（12，0）．
（3）解：设运动时间为m，由题意知，OP=|12-3m |，QC=|6- m|= |12-3m |，
∴OP=2QC，∵△OPB与△QBC分别以OP，OC为底，高为6，∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算方法、坐标与图形的性质等知识点，用方程
和分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．
12．在平面直角坐标系中，已知M（0，4），N（3，2），线段MN平移得到线段PQ，使
点M的对应点为P，点N的对应点为Q，若点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
(1) ___________， ___________；
(2)若点E为x轴正半轴上的一个动点，探究 、 和 之间的数量关系并证
明；（注： 、 和 均为大于 且小于 的角）
(3)将线段MN向下平移得到线段AB，从使得点N的对应点B落在x轴上，点M的对应点A
落在y轴上，动点C从点B出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿x轴向左运动，动
点D从点A出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿y轴向下运动，直线BD与直线AC
交于点F，设点F的坐标为 ．动点C和动点D同时出发且它们的运动时间为t秒．
①在 时，试探究 与 的面积关系，并说明理由；
②若在点C、D的运动过程中， 的面积为7，请直接写出m的值．【答案】(1)
(2) 或 或
(3)① ；②m的值为 或
【分析】（1）由由 平移到 确定平移的方式，从而可得答案；
（2）分三种情况讨论：如图，当 在 的左边时，连接NQ，如图，当 在 的右边，
直线 的左边时，（包括E在这两条直线上），如图，当 在直线 的右边时，记直
线MN与EQ的交点为F，再根据平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性
质可得答案；
（3）①当 时，如图，由题意可得：
记四边形OCFD的面积为m，再分别表示两个三
角形的面积即可得到答案；②由 可得 都在负半轴上，再分两种情况讨论：
交点F在第三象限，如图，证明 即 作A，F作x轴的平行线，过F，
B作y轴的平行线，交点分别即为L，P，Q，则四边形LFQP为矩形，再利用面积列方程，
如图，当交点F在第一象限，同理利用面积列方程即可．
(1)
解：由 平移到 而 平移到
∴
(2)
如图，当 在 的左边时，连接NQ，
由平移可得：如图，当 在 的右边，直线 的左边时，（包括E在这两条直线上），
同理可得：
如图，当 在直线 的右边时，记直线MN与EQ的交点为F，
同理：
∴
(3)①当 时，如图，
由题意可得：
记四边形OCFD的面积为m，
∴
② 则 都在负半轴上，交点F在第三象限，如图，
同理可得： 而解得： 即
作A，F作x轴的平行线，过F，B作y轴的平行线，交点分别即为L，P，
Q，
则四边形LFQP为矩形，
解得：
如图，当交点F在第一象限，
同理可得：
解得：
综上：m的值为 或
【点睛】本题考查的是坐标与图形，坐标系内图形的平移，平行线的性质，三角形的内角
和定理的应用，三角形的外角的性质，利用割补法求解图形的面积，一元一次方程的应用，
整式的乘法运算，本题的综合程度高，清晰的分类讨论是解本题的关键．
13．在平面直角坐标系中，如果点P（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点P为“自大
点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大
忘形”．(1)判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称 ；
P（1，0）P（ ， ）P（﹣ ， ）P（﹣1，﹣ ）
1 2 3 4
(2)如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
(3)如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），
现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞
0），请直接写出当正方形成为“自大忘形”时，t的取值范围： ．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ；
(3) 或
【分析】（1）根据点 满足 且 ，则称点 为“自大点”， ， 满
足 ，根据关系式逐个判断即可；
（2）先求出点 是“自大点”时 的取值范围，再求点 不是“自大
点”时 的取值范围即可；
（3）根据“自大点”的纵横坐标满足的关系列出关系式求出 的范围即可．
（1）
点 满足 且 ，则称点 为“自大点”，
， 满足 ，
， ，故 不是“自大点”，
， ， ，故 ， 是“自大点”，
， ， ，故 ， 是“自大点”，
， ，故 不是“自大点”，
故答案为： ， ；
（2）如果点 是“自大点”，
则 ，
解得， ，
故当 或 时，点 不是“自大点”，
的取值范围是 或 ；
（3）
正方形 的初始位置是 ， ， ， ，
平移之后的坐标分别为 ， ， ， ，
当 点平移后的点是“自大点时”， ，
解得， ，
故 点平移后的点不是“自大点时”， 或 ，
同理，当 点和 点平移后的点不是“自大点时”， 或 ，
同理，当 点平移后的点不是“自大点时”， 或 ，
当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的平移变化，根据题意，准确找出“自
大点”的纵横坐标满足的关系是解答此题的关键．
