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期末考试压轴题考点训练（一）
1．若关于x的分式方程 有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
【详解】解： ，
两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则 或 ，
当 时， 是原分式方程的解；
当 时， 是原分式方程的解；
故选：D．
2．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v 千米，下坡时的速度为每小时v 千米，则他在这段
1 2
路上、下坡的平均速度是每小时（ ）
A． 千米 B． 千米 C． 千米 D．无法确定
【答案】C
【详解】平均速度=总路程÷总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2．
依题意得：2÷（ ）=2÷ = 千米．
故选C．
3．已知关于x的分式方程 无解，且关于y的不等式组 有且只有
三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】解：分式方程去分母得： ，
整理得： ，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即 时，方程无解，
∴ ；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入 ，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入 ，得： ，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或 ，分式方程无解；
解不等式 ，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，
∴−4<m−4≤−2，
∴0<m≤2，
综上所述当m=2或 时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故选B．
4．如图所示，在四边形ABCD中， ， ， ， ，在AD上找一点P，
使 的值最小；则 的最小值为（ ）A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，C'D=CD，∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°，∴CD//AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，
∵C' D=CD，∠ADC=90°，∴CC' =2CD，
∵BC=2CD，∴CC' =BC，
∴∠C'=∠CBC'，∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，则BE=AD=2，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2，∴BC' =2BE=4，即PB+ PC的值最小值为4，
故选∶A．
5．如图，点 在线段 上， 于 ， 于 ． ，且 ， ，点
以 的速度沿 向终点 运动，同时点 以 的速度从 开始，在线段 上往返运动
（即沿 运动），当点 到达终点时， ， 同时停止运动．过 ， 分别作 的垂
线，垂足为 ， ．设运动时间为 ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时， 的值为
（ ）
A．1或3 B．1或C．1或 或 D．1或 或5
【答案】C
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝6−3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝3t−6，
∴t＝ ，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t−5＝18−3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或 或
故选：C．
6．如图，在 中，点D是BC边上一点，已知 ， ，CE平分 交AB
于点E，连接DE，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点E作 于M， 于N， 于H，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵由三角形外角可得： ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故选：B．
7．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______．
【答案】65°【详解】解：如图， ，
，
在 和 中，
；
过点 作 于 ， 于 ，
， ，
在 和 中， ，
， ，
在 与 中
，
， 平分 ；
， ，
， ，
， ，
故答案为： ．
8．如图，三角形ABC中，BD平分 ，若 ，则 _______．【答案】8
【详解】解：如图，延长AD交BC与点E，
∵BD平分
∴
∵BD=BD
∴
∴AB=BE
∴
∵
∴
∴
∵AD=DE，
∴
∴
故答案为：8．
9．把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β
表示∠C''FE，则∠C''FE＝_______．【答案】
【详解】 四边形 为长方形，
，
， ，
方形纸条 沿 折叠成图①，
，
，
长方形 沿 折叠成图②，
，
．
故答案为： ．
10．已知 ，则代数式 的值是__________.
【答案】1
【详解】∵ ∴ ，则 ，
将 代入，得：
故答案为1
11．如图，四边形 是矩形，延长 到点 ，使 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，
，得到 ；点 是 的中点，连接 ， ，得到 ；点 是 的中点，连接 ， ，得到 ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形 的面积等于2，则 的面积为_________．
（用含正整数 的式子表示）
【答案】
【详解】解：∵ ，
∴ 面积是矩形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为 ，
∵点 是 的中点，∴
∴ ，
，
∴ ，
∵点 是 的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，
∴ ，
且 ，
∴
∴ ，
同理可以计算出：
，
且 ，∴ ，
∴ ，
故 、 、 的面积分别为： ，
观察规律，其分母分别为2,4,8，符合 ，分子规律为 ，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
12．已知 中， ，在AB边上有一点D，若CD将 分为两个等腰三角形，则
________．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，
∵BD=CD，∠B=20°，
∴∠B=∠DCB=20°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，
∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，
∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，
∴∠B=∠BDC=20°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，
故答案为：70°，100°，40°，10°．
13．（1）如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点O．求证：
OA=2DO；
（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE，∠BGF=60°，GF交CE所在直线于点F．求证：
GB=GF．（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作∠BGF=60°边GF交CE
所在直线于点F．猜想：OG、OF、OA三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3） ，理由见解答．
【详解】证明：（1） 为等边三角形，
， ，
， ，
平分 ， 平分 ，
，
，
在 中， ， ，
，
；
（2）证明： ， ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
；
（3）解： ．理由如下：
连接 ，在 上截取 ，连接 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
．
14．（1）如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且
．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且
．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，
【详解】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
（ ）（ ）中的结论仍成立，
证明：延长 至 ，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ， ,
∵ ，∴ ，
∴ 即 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，即 ．
（ ） ，
证明：在 上截取 使 ，
连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
15．问题背景：定义：四边形 ， ， ， ， 分别是直线 ，直线 上的
一点，若 ，则称四边形 是 的“等腰倍角四边形”．
如图1，四边形 是 的“等腰倍角四边形”， 在四边形 内部，探究图中线段 ，
， 之间的数量关系．
(1)小慧同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ．连结 ，先证明 ，再
证明 ，可得出结论，她的结论应是 ．
(2)探索延伸：如图2，四边形 是 的“等腰倍角四边形”， 有一部分在四边形 外
部，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出相应的结论（写出过程）．
(3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏东60°的 处，舰艇乙在指挥中
心南偏西20°的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以60海
里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向 以一定速度前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇
分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角为70°，此时两舰艇之间的距离为280海里．试求舰艇乙前进的速度．
【答案】(1) ；(2)不成立， ；(3)80海里/小时
【详解】（1）证明：如图1，延长 到点 ，使 ，连结 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ （SAS），
∴BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵AF＝AF，AE＝AG，
∴ （SAS），
∴EF＝GF，
∴EF＝GF＝DF＋DG＝DF＋BE，
故答案为： ；
（2）不成立，正确的结论为： ；
证明：如图2，在DF上截取DG＝BE，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ （SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝DAG，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵AF＝AF，AE＝AG，∴ （SAS），
∴EF＝GF，∴DF＝DG＋GF＝BE＋EF，即 ；
（3）如图3，点G在y轴正半轴上，BH交y轴负半轴于点H，AE交x轴于点K，过点B作CD∥y轴，连接
EF，由题意得：∠OAE＝∠GOA＝60°，∠CBO＝∠BOH＝20°，∠DBF＝40°，OA＝OB，
∴∠AOK＝30°，∠OBF＝180°－∠CBO－∠DBF＝120°，∴∠OAE＋∠OBF＝180°，
∵∠AOB＝∠AOK＋∠KOH＋∠BOH＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝ ∠AOB，
延长EA到点M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，
∵EF＝280海里，AE＝60×2＝120海里，∴BF＝280－120＝160海里，
∴舰艇乙前进的速度为：160÷2＝80海里/小时．
