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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（06）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据中心对称图形 的概念判断即可．
A.图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形；
B.图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
C.图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
D.图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，绕对称中心旋转180°后能与原图形重合是中心对称图形，熟
知其概念是解题的关键．
2．一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋
子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用红球的个数除以球的总个数即可．
∵从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为8，
∴摸出的小球是红球的概率为 ＝
3.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3,将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′,连接AA′,若点C′在
AB上,则AA′的长为（ ）A. √10B.4C.2√5 D.5
【答案】A
【解析】∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′,
∴∠A′C′B=∠C=90°,A′C′=AC=3,BC′=BC=4,根据勾股定理得AB= =5,∴AC′=AB-BC′=1,
√BC2+AC2
在Rt△AA′C′中,由勾股定理得AA′= .故选A.
√AC'2+A'C'2=√10
4. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A. 36 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】根据判别式的意义得到 ，然后解关于c的一次方程即可．
∵方程 有两个相等的实数根
∴
解得
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的跟与 的关系，关键
是分清楚以下三种情况：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数
根；当 时，方程无实数根．
5. 已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x ，x ，且x 2+x 2＝5，则k的值
1 2 1 2
是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】利用根与系数的关系得出x +x ＝k，x x ＝k﹣3，进而得出关于k的一元二次方程求出即可．
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝k，x x ＝k﹣3，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝5，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝5，
1 2 1 2
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k ＝k ＝1．
1 2
6．三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3 x+4=0，则第三边的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】先利用因式分解法解方程x2﹣3 x+4=0得到a=2 ，b= ，如图，△ABC中，a=2 ，b= ，
∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH= ，AH=
，则BH= ，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．
x2﹣3 x+4=0，
（x﹣2 ）（x﹣ ）=0，
所以x=2 ，x= ，
1 2
即a=2 ，b= ，
如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C=60°，
∴CH= AC= ，AH= CH= ，
∴BH=2 ﹣ = ，
在Rt△ABH中，AB= = ，
即三角形的第三边的长是 ．
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解直角三角形．7. 如图， 内接于⊙ ，连接 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=∠OBA= ×88°=44°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的 O交AB于点D，则CD的
长为（ ） ⊙A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】由圆周角定理得到CD⊥AB，所以利用勾股定理首先求得AB的长度；然后利用等面积法来求CD
的长度即可．
∵以AC为直径的 O交AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即⊙CD⊥AB．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
则由勾股定理得到：AB＝ ＝ ＝10．
∴ AC•BC＝ AB•CD，即 ＝ ．
故CD＝ ．
9. 如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心，
半径 ，圆心角 ，则这段弯路（ ）的长度为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（ ）的长度．
∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（ ）的长度为： ，
故选C
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式
10. 如图，二次函数 的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为
，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：① ；② ；③ ；④若关
于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的
增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B【解析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．
∵二次函数 的对称轴为 ，
∴
∴ 故①正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为 ，函数最大值为4，
∴函数的顶点坐标为（-1，4）
当x=-1时，
∴
∴ ，
∵二次函数 的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴ < <2
∴ <4+a<2
∴ ，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴ ，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程 有两个不相等的实数根，
∴
∴ ，故④错误；
由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误．
所以，正确的结论是①②③，共3个，
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
二、填空题（本大题有7小题，8个空，每空3分，共24分）
1. 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________．【答案】
【解析】根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得 ，求解即可．
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实
数根；当 时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键．
2.如图,△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称,连接AD、BC.添加一个条件: ,使四边形ABCD为
菱形.
【答案】∠AOB=90°(答案不唯一)
【解析】∵△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称,∴点A、O、C在一条直线上,点B、O、D在一条直线
上,且AO=OC,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.当∠AOB=90°时,平行四边形ABCD是菱形,答案不唯一.
3.下面的图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是 .
【答案】③④
【解析】①中图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②中图形不是轴对称图形,是中心对称图形;③中图
形是轴对称图形,不是中心对称图形;④中图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
4. 如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为______cm.
【答案】
【解析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．
【详解】过O作OE⊥AB于E，
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE= OA=30cm，
∴弧CD的长= (cm)，
故答案为： ．
【点睛】本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数．
5. 如图，从一块边长为2，∠A=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影
部分)，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是
______ ．
√3
【答案】
3
【解析】连接AC、AE，如图，∵四边形ABCD为菱形，
1 1
∴∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，AB=AC，
2 2
∴△ABC为等边三角形，
∵圆弧与BC相切于E，
∴AE⊥BC，
∴BE=CE=1，
∴AE=√AB2−BE2=√22−12=√3，
设圆锥的底面圆半径为r，
120×π×√3 √3
根据题意得2πr= ，解得r= ，
180 3
√3
即圆锥的底面圆半径为 ．
3
6. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1
个球，它是黑球的概率是_____．
【答案】
【解析】直接根据概率公式求解．
∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是 ．
【点睛】考查概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7. 如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形,又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A
的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别为________、_________.【答案】M(-1,-3),N(1,-3)
【解析】本题考查了平面直角坐标系内对称点坐标的求法,一个点A(m,n)关于x轴的对称点坐标为(m,-n),关
于y轴的对称点坐标为(-m,n),关于原点的对称点坐标为(-m,-n),这个规律应熟记.
由题意知点M与点A关于原点O对称,所以M(-1,-3)；点N与点A关于x轴对称,所以N(1,-3).
三、解答题（本大题有5小题，共46分）
1. （8分）老师将编号分别是1、2、3、4的四张完全相同的卡片将背面朝下洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率______．
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表法，求两张卡片上的数字组合是2和3的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据概率计算公式计算即可；
（2）根据题目要求用列表法列出所有可能出现的情况，用两张卡片上的数字组合是2和3的情况数除以总
的情况数，可得概率．
【详解】(1)解：一共4张卡片，卡片上的数字是4的有一张，
∴卡片上的数字是4的概率为 ，
故答案为： ．
(2)解：列出表格如下：一共有12种情况，其中两张卡片上的数字组合是2和3的有2种，
∴两张卡片上的数字组合是2和3的概率为 ．
【点睛】本题主要考查概率计算公式和画树状图、列表法列出事件所有可能的结果，掌握概率计算公式是
解答本题的关键．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ．
2.（8 分）阅读理解：定义：如果关于 x 的方程 （a ≠0，a 、b 、c 是常数）与
a x2+b x+c =0 1 1 1 1
1 1 1
（a ≠0，a 、b 、c 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足
a x2+b x+c =0 2 2 2 2
2 2 2
a +a ＝0，b ＝b ，c +c ＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程 2x2﹣3x+1＝0的“对称方
1 2 1 2 1 2
程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a ＝2，b ＝﹣3，c ＝1，根据a +a ＝0，b ＝b ，c +c ＝0，
1 1 1 1 2 1 2 1 2
求出a ，b ，c 就能确定这个方程的“对称方程”．
2 2 2
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
3.（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身
重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形
绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，
且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称
图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形
补充完整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【解析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角
形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
【点拨】考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．
4. （12分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30 角所对的直角边等于
斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长；
（2）根据切线的性质可得OC CD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得
∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．【详解】（1）解：∵OA=1=OC，CO AB，∠D=30
∴CD=2⋅ OC=2
∴
∴
（2）证明：∵DC与⊙O相切
∴OC CD
即∠ACD+∠OCA=90
∵OC= OA
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠ACE
∴∠OAC+∠ACE=90
∴∠AEC=90
∴CE AB
【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握
相关性质定理是解题的关键．
5. （10分）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设抛物线的
对称轴为
（1）当 时，求抛物线与y轴交点的坐标及 的值；
（2）点 在抛物线上，若 求 的取值范围及 的取值范围．
【答案】（1）（0，2）；2
（2） 的取值范围为 ， 的取值范围为
【解析】【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点 关
于对称轴为 对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点 ，点 ，
（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点 在对称轴的左侧，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时，
即可求解．
解：（1）当 时， ，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵ ，
∴点 关于对称轴为 对称，
∴ ；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），
∵ ，
的
∴当 时，y随x 增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
当点 ，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵ 1＜3，
∴2t＞3，即 （不合题意，舍去），
当点 在对称轴的左侧，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点 在对称轴的右侧，
，
此时点 到对称轴 的距离大于点 到对称轴 的距离，
∴ ，解得： ，
∵ 1＜3，∴2t＞3，即 ，
∴ ，
∵ ， ，对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ 的取值范围为 ， 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
