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期末测试压轴题模拟训练（四）
1．如图，在 中， 平分 ， 于点 ． 的角平分线 所在直线与射线 相交
于点 ，若 ，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 平分 ， 平分 ，∴ ，
设 ，∵ ，∴可以假设 ，
∴
∵ ，∴ ，∴
设 ，则 ，∴ ，∴
∵ ，∴
故答案选：C
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，
连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（ ）
①OG＝ AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点
A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【详解】解： 四边形 是菱形，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ，
是 的中位线， ，①正确；
， ， 四边形 是平行四边形，
， 、 是等边三角形，
， ， ，四边形 是菱形，④正确； ，
由菱形的性质得： ，
在 和 中， ， ，
，②不正确；
， ， 四边形 是菱形， ，
四边形 与四边形 面积相等，故③正确；故选：A．
3．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学
的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着 进行第一次折叠，使得
， 两点落在 、 的位置，再将纸条沿着 折叠（ 与 在同一直线上），使得 、 分别落
在 、 的位置．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG =∠GFC ∴∠EFB=∠GEF．
1 2，
∠FGD =2∠BFE，又 ，∴∠FGD +∠GFC =180°
1 1 1
∵∠BFC+∠C FC=180°．∴∠FGD =∠GFC．即∠C FC=2∠BFE．
2 2 1 2 2
又∵3∠EFB=∠EFC．∵∠BFE+∠EFC+∠C FC=180°
2 2 2
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°，即6∠EFB=180°，∴∠EFB=30°
故选：A
4．如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B
出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，
以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的
中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（ ）
A．5cm B．4.5cm C．4cm D．3cm
【答案】B
【详解】如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．由题可得：∠BEH＝30°，AD＝1×t＝t（cm），BE=2t，CE＝(6-2t)（cm），
∴BH＝ BE＝t（cm），∴DH＝AB-AD-BH=6-t-t=(6-2t)（cm），∴DH＝EC．
∵△DEF，△ABC是等边三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝∠DBE =60°．
∴∠HDE+∠DEB＝120°，∠DEB+∠FEC＝120°，∴∠HDE＝∠CEF．
在△DHE和△ECF中， ，∴△DHE≌△ECF（SAS），∴∠DHE＝∠ECF＝90°，
∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段CF，
作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，
∵FM+FN＝FK+FN≥KJ，
∴当点N与J重合，且点F在KJ上时，FM+FN的值最小，
∵M是BC的中点，∴MC=CK=3，∴BK＝BC+CK＝6+3＝9（cm），
∵∠KJB＝90°，∠B＝60°，∴BJ＝BN= BK＝9× ＝4.5（cm），
当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为4.5cm．
故选：B．
5．如图，在纸片 中， ，折叠纸片，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，
则 的面积为（ ）
A． B．10 C．11 D．【答案】A
【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，
∴AG＝ ，DG＝ ，
设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE，
在Rt DGE中， ，即 ，解得：x＝ ，
△
∴S ＝ DG×AE＝ ＝ ，
ADE
△
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∵ ，∴AN＝ AB＝6，BN＝ ，∴BC＝ ，
设DF＝y， 则CF＝ ，DH＝ ，CH＝ ，
则有 ，即 ，解得： ，
则S ＝ ，
DFC
△
∴S ＝ ×（S －S －S ）＝
DEF ABC DEA DFC
△ △ △ △
＝ ＝故选A．
6．如图，凸四边形 中， ，若点M、N分别为边
上的动点，则 的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【详解】解：作点 关于 、 的对称点分别为点 和点 ，
连接 交 和 于点 和点 ， ，连接 、 ；
再 和 上分别取一动点 和 （不同于点 和 ，连接 ， ， 和 ，如图1所示：
，
， ，
，
又 ，
， ，
，
时周长最小；
连接 ，过点 作 于 的延长线于点 ，
如图示2所示：在 中， ， ，
，
，
， ，
又 ，
，
， ，
， ，
又 ，
， ， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ． ，
故选：C．
7．如图，在 中， ， 与 的平分线交于点 ，得 ； 与 的平分线
相交于点 ，得 ； ； 与 的平分线相交于点 ，得 ，则 ______．
【答案】【详解】根据题意， ， 与 的平分线交于点
∴
∵ 。∴
∵ ，∴
同理，得 ； ；
；… ，∴
故答案为： ．
8．如图， 是 的中线，点F在 上，延长 交 于点D．若 ，则 ______．
【答案】
【详解】解：连接ED
是 的中线， ，
，
设 ，
，， ，
与 是等高三角形， ，
故答案为： ．
9．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝3，BE＝3，AB＝6，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE
的最大值是_______．
【答案】9
【详解】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，
CN，MN，NE．
由题意AD＝EB＝3，AC＝CB＝3，DM＝CM＝CN＝EN＝3，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，
∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，
∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，
∵CM＝CN＝3，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝3，
∵DE≤DM+MN+EN，
∴DE≤9，
∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为9，
故答案为：9．
10．已知，如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C的直线CH和AC的夹角∠ACH=α，
请按要求完成下列各题：（1）请按要求作图：作出点A关于直线CH的轴对称点D，连接AD、BD、CD，其中BD交直线CH于点
E，连接AE；
（2）请问∠ADB的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示∠ADB；如果不变，
请求出∠ADB的大小．
（3）请证明△ACE的面积和△BCE的面积满足： ．
【答案】（1）见解析；（2） 大小不变，为定值45°；（3）见解析．
【详解】解：（1）如图所示，
（2） 大小不变，为定值45°．∵A关于直线CH的轴对称点D，∴CA=CD，AD⊥CH，
如图所示，AD与CH交于点M，
在 和 中， ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，故 大小不变，为定值45°；
（3）如图所示，过点B作BN⊥CH于点N，
， ，
由（2）可知， ，又∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．故 ．
11．如图，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上，（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、
BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至
PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出
该定值．
【答案】（1）2，（2）CD＝BD+AC．证明见解析，（3）BQ是定值，4
【详解】
（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，
∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝ ＝2 ；
（2）CD＝BD+AC．
证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，在△ODF与△ODC中， ，
∴△ODF≌△ODC，
∴DC＝DF，
∵DF＝BD+BF，
∴CD＝BD+AC．
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中， ，∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，∴FD+ED＝PF+AP，即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．12．在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边AB中点，点E、F分别在射线CA、BC上，且AE＝
CF，连接△EF．
猜想：如图①，当点E、F分别在边CA和BC上时，线段DE与DF的大小关系为______．
探究：如图②，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，判断线段DE与DF的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若DE＝4，利用探究得到的结论，求△DEF的面积．
【答案】猜想：DE＝DF；探究：DE＝DF，证明见解析；应用：S ＝8．
DEF
△
【详解】猜想：DE＝DF．如图1，连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAD＝45°，
∵D为边AB的中点，∴CD＝AD，∠BCD＝ ∠ACB＝45°，∴∠EAD＝∠FCD，
在△AED和△CFD中， ，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，
故答案为：DE＝DF；
探究：DE＝DF，证明如下：
如图2，连接CD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAD＝45°，
∵D为AB中点，
∴AD＝CD，∠BCD＝ ∠ACB＝45°，
∵∠CAD+∠EAD＝∠BCD+∠FCD＝180°，
∴∠EAD＝∠FCD＝135°，
在△ADE和△CDF中 ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF；
应用：
∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∵DE＝DF＝4，
∴S ＝ DE2＝ ×42＝8．
DEF
△
13．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋
q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）
（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A
＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
