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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（08）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1. 平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. (−3,4) B. (−3,−4) C. (3,−4) D. (4,3)
【答案】B
【解析】点P(3,4)关于中心对称的点的坐标为(−3,−4)．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的
图形记忆．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
2.下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0
【答案】C
【解析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．
A选项中， ，故方程无实数根；
B选项中， ，故方程无实数根；
C选项中， ，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中， ，故方程无实数根；故选C．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】根据关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，将x＝2代入方程即可求得a的值．
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
4. 一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取
出黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】由于每个球被取出的机会是均等的，故用概率公式计算即可．
根据题意，一个布袋中放着6个黑球和18个红球，根据概率计算公式，
从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是 ．
【点睛】本题主要考查了概率公式的知识，解题关键是熟记概率公式．
5. 如图，线段 是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于
M，N两点，作直线 ，交半圆O于点C，交 于点E，连接 ， ，若 ，则 的长是（
）
.
A B. 4 C. 6 D.
【答案】A
【解析】【分析】根据作图知 CE垂直平分AC，即可得 ， ，根据圆的半径得
， ， 根 据 圆 周 角 的 推 论 得 ， 根 据 勾 股 定 理 即 可 得
．
【详解】根据作图知CE垂直平分AC，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得，，
故选A．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
6．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE
＝100°，则弦CE的长是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，根据圆内接四边形的性质得∠DAE＝80°，
根据对称以及圆周角定理可得∠BOD＝∠BOE＝80°，由点C是 的中点可得∠BOC＝∠COD＝40°，∠COE
＝∠BOC+∠BOE＝120°，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是 的中点，∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝ ，
∴CE＝2 ．
7. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如
图．已知矩形的宽为 ，高为 ，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径 BC，再利用矩形的性质证得 是等边三
角形，得到 ，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为 ，利用弧长公式即可
求解．
【详解】如图，连接 ， ，交于 点，
∵ ，
∴ 是直径，∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是 (m)，
故选：C
【点睛】考查弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
8．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；
②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则
可作判断；
③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；
④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，则可进行判断．
【解答】①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），要熟练掌握以下几点：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开
口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴
左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
③常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；
④抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物
线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
1. 已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______．
【答案】9
【解析】根据根的判别式的意义得到△ ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：根据题意得△ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 的根与△
有如下关系：当△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数
根；当△ 时，方程无实数根．
2. 如图,将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°)得到△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若
DE⊥AC,∠CAD=25°,则α= 。
【答案】 50°
【解析】∵DE⊥AC,∠CAD=25°,∴∠ADE=90°-25°=65°,
由旋转的性质可得∠B=∠ADE,AB=AD,
∴∠ADB=∠B=65°,
∴∠BAD=180°-65°-65°=50°,
∴α=50°.
3. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为
_____．
【答案】20%
【解析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二
次方程，解此方程即可得解．
设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，解得， （舍去）
所以，增长率为20%
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
4．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则 的长为 ．
【答案】 π．
【解析】连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠AOC=60°，则
∠BOC=70°，然后根据弧长公式计算 的长．
连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=130°﹣60°=70°，
∴ 的长= = π．
故答案为 π．【点评】本题考查了弧长的计算：圆周长公式：C=2πR；弧长公式：l= （弧长为l，圆
心角度数为n，圆的半径为R），在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和
180都不要带单位．
5．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为
20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
π π
【答案】150
【解析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20 cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的π弧长为20 cm，
π
由题意得： ×20 ×l＝240 ，
解得：l＝24， π π
则 ＝20 ，
解得，n＝150，即π扇形的圆心角为150°．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝
1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为
______．【答案】 或
【解析】连接 ，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分 点在线段 上和 的延长线上，且
，勾股定理求得 即可．
如图，连接 ，
在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，
， ，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时， 点在 上，且 ，
，
如图，在 中， ，在 中，
故答案为： 或 ．
的
【点睛】考查旋转 性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点 的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题有5小题，共52分）
1.（8分）用公式法解一元二次方程：3x2﹣4√3x+2＝0．
2√3+√6 2√3−√6
【答案】（1）x = ，x = ．
1 2
3 3
−b±√b2−4ac
【解析】熟记公式x= 是解题的关键．
2a
先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
3x2﹣4√3x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4√3，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4√3）2﹣4×3×2＝24，
4√3±√24 2√3±√6
∴x= = ，
2×3 3
2√3+√6 2√3−√6
则x = ，x = ．
1 2
3 3
2. （8分）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字
不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：
指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或
树状图法求满足a+b<0的概率．
【答案】（1） ；
（2）满足a+b<0的概率为 ．
【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】(1)解：转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 ；
转盘乙指针指向正数的概率是 ．
故答案为： ； ．
(2)解：列表如下：
乙 甲 -1 -6 8
-4 -5 -10 4
5 4 -1 13
7 6 1 15
由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有3种结果，
∴满足a+b<0的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
3. （12分）如图， 内接于 ， ， 是 的直径， 是 延长线上一点，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出 ，根据圆周角定理得到
，推出 ，即可得出结论；
（2）根据 得出 ，再根据勾股定理得出CE即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）由（1）知 ，
在 和 中，∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
说明：本题需要在学习完三角函数后再回头解决，属于中考重要类型题。
4. （12分）设二次函数 （b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数 的表达式及其图像的对称轴．
（2）若函数 的表达式可以写成 （h是常数）的形式，求 的最小值．
（3）设一次函数 （m是常数）．若函数 的表达式还可以写成 的形
式，当函数 的图像经过点 时，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）（3） 或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）先构造y的函数，把点 代入解析式，转化为 的一元二次方程，解方程变形即可．
【详解】(1)由题意，二次函数 （b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式 ．
∴ 图像的对称轴是直线 ．
(2)由题意，得 ，
∵ ，
∴b=-4h，c=
∴ ，
∴当 时， 的最小值是 ．
(3)由题意，得
的
因为函数y 图像经过点 ，
所以 ，所以 ，或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称
性是解题的关键．
5. (12分)已知 ，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC 是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，
用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若 ，求∠ADB
的度数．
【答案】（1）见解析 （2） ，见解析 （3）30°
【解析】【分析】（1）先证明四边形 ABDC是平行四边形，再根据 AB＝AC得出结论；（2）先证出
， 再 根 据 三 角 形 内 角 和 ， 得 到
，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接
BM，证得 ，得到 ，设 ， ，则
，得到α+β的关系即可．
【详解】（1）∵ ，
∴AC＝DC，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）结论： ．
证明：∵ ，
∴ ，
∵AB＝AC，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，
∵AB＝CD， ，∴ ，
∴BM＝BD， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∵CA＝CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即∠ADB＝30°．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，
利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．
