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期中考试压轴题考点训练（一）
1．如图，将 沿 翻折，使其顶点 均落在点 处，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长 交 于点 ，∵将 沿 ， 翻折，顶点 ， 均落在点 处，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由三角形外角定理可知： ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，∴ ，
故选： ．
2．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若
△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S BDF﹣S AEF等于（ ）
△ △A．3 B． C． D．6
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ①，
同理，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ②，
由①-②得： ．
故选：A．
3．如图，点 在线段 上， 于 ， 于 ． ，且 ， ，点
以 的速度沿 向终点 运动，同时点 以 的速度从 开始，在线段 上往返运动
（即沿 运动），当点 到达终点时， ， 同时停止运动．过 ， 分别作 的垂
线，垂足为 ， ．设运动时间为 ，当以 ， ， 为顶点的三角形与 全等时， 的值为
（ ）
A．1或3 B．1或C．1或 或 D．1或 或5
【答案】C
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴5−2t＝6−3t，∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴5−2t＝3t−6，
∴t＝ ，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴2t−5＝18−3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或 或
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当
BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接
BE′，如图：此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
在△ABG和△AB′G中，
，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G， AB＝AB′，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，
在△ABE′和△AB′E′中，
，
∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），∴∠AE′B＝AE′B′，
∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°，∴∠AE′B＝115°．
即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°．
故选B．
5．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等
于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长
等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形
恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）
A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2【答案】B
【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得
a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝
2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）
＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝
3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
6．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿 折叠成图2，再沿 折叠成图3，若图3中 ，则
图1中的 的度数是______．
【答案】24°
【详解】∵ ，
∴设∠DEF＝∠EFB＝a，
图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a，
图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°．
解得a＝24°．
即∠DEF＝24°，
故答案为：24°．
7．如图，在等腰 中， ， 于点 ，以 为边作等边三角形 ，
与 在直线 的异侧，直线 交直线 于点 ，连接 交 于点 ．若 ，
，则 ______．【答案】6
【详解】解：如图1，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴在等边三角形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在等边三角形 中， ，
∴ ；
在 上截取 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AE BC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF
＝AC，CD＝4BD，则 ＝_____．
【答案】
【详解】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，∵AD⊥BC于点D，
∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°
∴∠AGD=∠B，
∵AE//BC，
∴∠EAH=∠B，
∴∠EAH=∠AGD，
∵AE=AB，
∴AE=AG，
在 AEH和 GAD中，
△ △
，
∴△AEH≌△GAD（AAS），
∴EH=AD，AH=GD，
在Rt EHF和Rt ADC中，
△ △
，
∴Rt EHF≌Rt ADC（HL），
∴FH△=CD， △
∴FH-AH=CD-GD，
∴AF=GC，
∴ ，
∴S AEF=S GAC，
△ △设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，
∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．如图1六边形的内角和 为 度，如图2六边形的内角和
为 度，则 ________．
【答案】0
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴ =180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴ =180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
10．在 中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若 的面积是14，则 的面
积为_________．【答案】2
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ 是 的中线， 是 的中线，
∴ ， ，
∴ ；
同理可得 ； ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
11．如图1，在等边三角形 中， 于 于 与 相交于点 ．（1）求证： ；
（2）如图2，若点 是线段 上一点， 平分 交 所在直线于点 ．求证：
．
（3）如图3，若点 是线段 上一点（不与点 重合），连接 ，在 下方作 边 交
所在直线于点 ．猜想： 三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG= ∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，
∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
12．阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在 中 ， 是 的高， 是 边上一点， 、
分别与直线 ， 垂直，垂足分别为点 、 ．
求证： ．
阳阳发现，连接 ，有 ，即 ．由 ，可得
．
他又画出了当点 在 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时 、
、 之间的数量关系是： ．
请回答：
（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接 ． ________，
________ ________．
， ．
（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在 中， ， 是 的高． 是 所在平面上一点， 、 、 分别与直
线 、 、 垂直，垂足分别为点 、 、 ．
①如图3，若点 在 的内部，猜想 、 、 、 之间的数量关系并写出推理过程．
②若点 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时 、 、 、 之间的数量关系是：_______．
（直接写出结论即可）
【答案】（1）S APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，证明见解析②BD＝PM＋PQ−PN．
△
【详解】解：（1）证明：连接AP．
∵S ABC＝S APC−S APB，
△ △ △
∴ AC•BD＝ AC•PN− AB•PM．
∵AB＝AC，
∴BD＝PN−PM．
故答案为：S APB；PN；PM；
△
（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；
如图3，连接AP、BP、CP，
∵S ABC＝S APC＋S APB＋S BPC
△ △ △ △
∴ AC•BD＝ AC•PN＋ AB•PM＋ BC•PQ，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ−PN；
如图4，连接AP、BP、CP，
∵S ABC＝S APB＋S BPC−S APC．
△ △ △ △
∴ AC•BD＝ AB•PM＋ BC•PQ− AC•PN，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM＋PQ−PN．
13．如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．
△(1)求证： ．
(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．
(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．
①求证：BC−BE−CD=2OF．
②延长FO交BC于点G，若OF=2， DEO的面积为10，直接写出OG的长．
【答案】(1)见解析 △
(2)BE+CD=BC，
(3)①见解析；②
【解析】（1）
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°− (∠ABC+∠ACB)
=180°− (180°−∠A)
= ∠A+90°；
（2）
解：BE+CD=BC．
在BC上截取BM=BE，连接OM，如图：
∵∠BOC= ∠A+90°=120°，
∴∠BOE=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠MBO，∴ BOE≌△BOM，
∴△∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠DOC=60°，
∵OC为∠DCM的角平分线，
∴∠DCO=∠MCO，
在 DCO与 MCO中，
△ △
，
∴△DCO≌△MCO （ASA），
∴CM=CD，
∴BC=BM+CM=BE+CD；
（3）
①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM，
∴OM=2OF．
∵F是ED的中点，
∴EF=DF，
∵∠DFO=∠EFM，
∴ ODF≌ MEF(SAS)，
∴△OD=EM．△
过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H，
∴∠OCK+∠OKC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ACE+∠AEC=90°
∵∠ACE=∠OCK，
∴∠AEO=∠OKC，∴∠BEO=∠BKO，
∴ OBE≌ OBK(AAS)，
同△理可得△ODC≌ OHC，
∴EO=OK，△OD=O△H=EM，BE=BK，CD=CH．
由（1）可知∠DOE=∠BOC= ×90°+90°=135°，
∴∠BOE=∠COD=45°，
∴∠OEM=∠KOH=45°，
∴ OME≌ KHO，
∴△KH=OM，△
∴KH=2OF．
∵BC−BK−CH=KH=2OE，
∴BC−BE−CD=KH=2OF；
②解：∵ OME≌ KHO，
∴∠EOM=△∠OKH，△
∴FG⊥BC．
由①可知KH=2OF=4， ODF≌ MEF，
∴S DEO=S OME=S K△HO=10△，
△ △ △
∴KH×OG× =10，
∴OG=5．
14．在 中， ，直线 经过点C，且 于D， 于E，
（1）当直线 绕点C旋转到图1的位置时，显然有： （不必证明）；
（2）当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
（3）当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD
【详解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD+CE=AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
而AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．
15．在 中， ， ， 为直线 上一点，连接 ，过点 作 交 于点，交 于点 ，在直线 上截取 ，连接 ．
（1）当点 ， 都在线段 上时，如图①，求证： ；
（2）当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线
上，点 在线段 的延长线上时，如图③，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）见解析；（2）图②： ；图③：
【详解】（1）证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ．
0
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）图②： ．
证明：过点 作 交 于点 ．
∴ ．
∵ ，∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
图③： ．
证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ．∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
