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2023 年高考数学第一次模拟考试卷
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第1-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1．用列举法表示 ______．
2．已知变量y与x线性相关，若 ，且y与x的线性回归直线的斜率为2，则线性回归方
程是______________．
3．已知函数 的图象关于点 对称，且 ，则实数 的值为___________.
4．若函数 是偶函数，则 的单调递增区间是___________
5．若关于x的方程 有纯虚数根，则实数t的值为___________．
6．直线 被圆 所截得的弦长为______．
7．已知 是奇函数，且当 时 ，若 ，则 _______.
8．函数 的图象的顶点A在直线 上，其中 ，则
的最小值为______．
9．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须
播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示）
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10．圆锥的底面圆直径 为2，母线长 为6，若小虫 从点 开始绕着圆锥表面爬行一圈到
的中点 ，则小虫爬行的最短距离为_____．
11．抛物线 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与 交于 ， 两点，
的准线与 轴的交点为 ，若 的面积为 ，则 ___________.
12．已知函数 ，数列 是公差为4的等差数列，若
，则数列 的前n项和 ______.
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的
位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
14．用反证法证明命题①：“已知 ，求证： ”时，可假设“ ”；命题
②：“若 ，则 或 ”时，可假设“ 或 ”.以下结论正确的是
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确
15．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行
星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ， ，
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，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在矩形 中， ， ， 、 分别为边 、 的中点，沿 将
折起，点 折至 处（ 与 不重合），若 ， 分别为线段 、 的中点，则在
折起过程中，下列选项正确的是（ ）
A． 可以与 垂直
B．不能同时做到 平面 且 平面
C．当 时， 平面
D．直线 、 与平面 所成角分别 、 ， 、 能够同时取得最大值
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD与平面CBD所成二面角为直
角， 平面ABD，且 .
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(1)求证：直线EC与平面ABD平行；
(2)求点C到平面BED的距离.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的值域；
（2）若方程 在区间 上至少有两个不同的解，求 的取值范围.
19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
已知函数 .
(1)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围;
(2)若函数 在 上单调递增,求实数a的取值范围.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
如图， 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ；双
曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，已知 ， 且
过 作 的不垂直于 轴的弦 ， 为 的中点，直线 与 交于 、 两点.
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(1)求 、 的方程；
(2)若四边形 为平行四边形，求直线 的方程；
(3)求四边形 面积的最小值.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.
若项数为 且 的有穷数列 满足： ，则称数列 具
有“性质 ”．
(1)判断下列数列是否具有“性质 ”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
(2)设 ，2， ， ，若数列 具有“性质 ”，且各项互不相同．求证：
“数列 为等差数列”的充要条件是“数列 为常数列”；
(3)已知数列 具有“性质 ”．若存在数列 ，使得数列 是连续 个正整数1，2， ，
的一个排列，且 ，求 的所有可能的值．
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