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2023年高考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、填空题
1．用列举法表示 ______．
【答案】
【分析】根据 且 求出 的值，即可求出 ，从而列举即可.
【解析】解：因为 且 ，所以 或 或 或 ，
解得 或 或 或 ，
所以对应的 分别为 、 、 、 ，
即 ；
故答案为：
2．已知变量y与x线性相关，若 ，且y与x的线性回归直线的斜率为2，则线性回归方
程是______________．
【答案】
【分析】设线性回归方程为 ，根据回归方程的性质，把已知数据代入求得 ，则线性回
归方程可求．
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【解析】解：设线性回归方程为 ，
， ， 与 的线性回归直线的斜率为2，即 ，
．
关于 的线性回归方程为 ．
故答案为： ．
3．已知函数 的图象关于点 对称，且 ，则实数 的值为___________.
【答案】 或1
【分析】根据正切函数的性质，代入点 ，求解参数 的值.
【解析】∵函数 的图象关于点 对称，且 ，
∴ ， ，或 ，
则令 ，可得实数 或 ，
故答案为： 或1.
4．若函数 是偶函数，则 的单调递增区间是___________
【答案】
【分析】由函数为偶函数，以及偶函数定义域关于原点对称，故 ，结合二次函数的性质判断
即可.
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，
若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故 ，
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即 ，
由于 为开口向上的二次函数，对称轴为 ，
故函数 的单调递增区间为： .
故答案为：
5．若关于x的方程 有纯虚数根，则实数t的值为___________．
【答案】2
【分析】设 ( 且 )为方程的根，代入方程，根据复数的概念即可列式求解.
【解析】设 ( 且 )为方程 的根，
则
.
故答案为：2.
6．直线 被圆 所截得的弦长为______．
【答案】
【分析】根据所给圆，确定圆心以及半径，再结合点线距离即可求解.
【解析】依据题意得圆心为 ，半径 ，圆心到直线的距离 .
则直线被圆截得的弦长为 .
故答案为：
7．已知 是奇函数，且当 时 ，若 ，则 _______.
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【答案】
【分析】首先利用奇函数的性质，变形为 ，再代入函数解析式，即可求解.
【解析】因为 是奇函数，所以 ，所以 ，所以
，又当 时 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案为：
8．函数 的图象的顶点A在直线 上，其中 ，则
的最小值为______．
【答案】8
【分析】先根据二次函数求出顶点坐标,然后代入直线方程可得 ,然后 中的1用
代入,2用 代入化简,利用基本不等式可求出最小值．
【解析】解：由题意可得顶点 ,又点A在直线 上, ,
则 ,
当且仅当 时,等号成立,
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定点以及基本不等式的应用,属于中等题型.
9．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须
播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示）
【答案】48
【分析】由分步计算原理求解即可
【解析】由题意，可分步进行，
第一步，安排公益广告，不同的安排方式有 种，
第二步，安排商业广告，不同的安排方式有 种，
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故总的不同安排方式有 种，
故答案为：48
10．圆锥的底面圆直径 为2，母线长 为6，若小虫 从点 开始绕着圆锥表面爬行一圈到
的中点 ，则小虫爬行的最短距离为_____．
【答案】
【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结
果．
【解析】
由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于 .
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，展开后扇形的弧长为
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 ＝ ，故
所以展开图中 ，
在 中，
由余弦定理得
所以小虫爬行的最短距离为 .
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故答案为：
11．抛物线 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与 交于 ， 两点，
的准线与 轴的交点为 ，若 的面积为 ，则 ___________.
【答案】2或
【分析】先求出抛物线的标准方程，再设出直线 方程 ，与抛物线联立，求出弦长 ，
求出点M到直线 的距离为d，表达出 的面积，求出m的值（注意分两种情况），再分
别求出 与 的长，求出结果
【解析】抛物线 化为标准形式为：
∵抛物线的焦点 到准线的距离为2
∴ ，即
∴抛物线方程为 ，焦点
∵过点 的直线与 交于A， 两点
∴设直线 方程为：
与抛物线方程联立得：
设 ， ，不妨假设A点在x轴上方，B点在x轴下方.
则 ，
则
设点M到直线 的距离为d
则
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∴
解得：
∴
当 时， ，
解得：
此时：
∴ ，
∴ 2
当 时， ，
解得：
此时：
∴ ，
∴
故答案为：2或
12．已知函数 ，数列 是公差为4的等差数列，若
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，则数列 的前n项和 ______.
【答案】
【分析】由题意判断 的奇偶性以及单调性，结合
的特征，构造函数 ，判断其性质，结合等差
数列的性质可推得 ，继而求得首项，即可求得答案.
【解析】由函数 可知 ,
由
，
故 为偶函数，当 时， 知， 在 上单调递增且 ，
设 ，则 为奇函数且 时， ，
故此时 单调递增，则 时， 单调递增，
故结合奇函数的对称性可得 在 单调递增，
由题意 ，
得 ，又 是等差数列，可得 ，
当 时， ，
同理 ，即 ，不合题意，
当 时，同理可得 ，也不合题意；
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所以 ，又公差为4，可得 ，则 ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了等差数列的前n项和的求解，考查了导数的应用，涉及到对数型函数的奇偶性
以及单调性的应用，综合性较强，解答时要能综合应用函数的相关知识灵活解答,解答的关键是分
类讨论，判断 ，进而求得数列首项.
二、单选题
13．已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【解析】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
14．用反证法证明命题①：“已知 ，求证： ”时，可假设“ ”；命题
②：“若 ，则 或 ”时，可假设“ 或 ”.以下结论正确的是
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确
【答案】C
【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.
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详解：① 的命题否定为 ，故①的假设正确.
或 ”的否定应是“ 且 ”② 的假设错误，
所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.
点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原
命题的全面否定.
15．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行
星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ， ，
，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
【解析】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
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以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设 则
故D正确.
16．如图，在矩形 中， ， ， 、 分别为边 、 的中点，沿 将
折起，点 折至 处（ 与 不重合），若 ， 分别为线段 、 的中点，则在
折起过程中，下列选项正确的是（ ）
A． 可以与 垂直
B．不能同时做到 平面 且 平面
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C．当 时， 平面
D．直线 、 与平面 所成角分别 、 ， 、 能够同时取得最大值
【答案】D
【分析】A假设 ，利用线面垂直的判定有DE⊥面 ，进而可得 得矛盾即可
判断；B取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，FB，由线面平行的判定有 面 ，
面 ，再由面面垂直的判定、性质得 面 ，同理判断 平面 是否成
立；C：连接ME，EN，利用勾股定理判断 是否成立；D根据题设确定 的轨迹，
连接EC，取EC中点T，连接TK，TB，应用余弦定理求得 ，由线面角的定义研究 、
是否能够同时取最大值.
【解析】A：连接EC，假设 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ， 面 ，所以DE⊥面 ，
因为 面 ，所以 ，与 矛盾，错误；
B：取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，FB，则 ，
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因为 面 ， 面 ，所以 面 ，
因为 ， ，则四边形BEDC为梯形，且BE，CD为底，
又G，N分别为DE，BC的中点，所以 ，
因为 面 ， 面 ，所以 面 ，
因为 ， 面 ，所以面 面 ，
因为 面MGN，所以 面 ，同理 面 ，错误；
C：连接ME，EN，DN，当 时， ，
又 ，所以 ，故MN与ME不垂直，从而MN不垂直于平面 ，
错误；
D：因为 在以DE为直径的球面上，球心为G，
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所以 的轨迹为 的外接圆（ 与F不重合，F为CD的中点），
连接EC，取EC中点T，连接TK，TB，则 ， ，且 ，则
，
在△KTB中， ， ，
由余弦定理得 ，所以 ，
当直线BK与面BCDE所成角取最大值时，K到面BCDE距离最大，
由K为 的中点，此时 到面BCDE距离最大，
由 ，当直线 与面BCDE所成角取最大值时， 到面BCDE距离最大，
所以直线 、BK与面BCDE所成角 、 能够同时取得最大值，正确.
故选：D
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三、解答题
17．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD与平面CBD所成二面角
为直角， 平面ABD，且 .
(1)求证：直线EC与平面ABD平行；
(2)求点C到平面BED的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，证明 平面 即可得解；
（2）在三棱锥 中，利用等体积法即可求出点 到平面 的距离.
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 ，如图，
依题意，在 中， ，则 ，
而平面 与平面 所成二面角为直角，即平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，于是得 平面 ，且 ，
因 平面 ，且 ，则有 ，且 ，
从而得四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ；
（2）解：由（1）可得 平面 ，
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于是得 平面 ， ，
则等腰 底边 上的高 ， ，
而 ，设点C到平面BED的距离为d，
由 得 ，
即 ，解得 ，
所以点C到平面BED的距离为1 .
18．已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的值域；
（2）若方程 在区间 上至少有两个不同的解，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为 ，再根据正弦
函数的图像与性质求出函数的值域；
（2）由已知得 由 ，得 ，且
或 ，结合方程 在区间 上至
少有两个不同的解，可得 ，解不等式可得解.
【解析】（1） ，
令 ， ，
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由 的图像知， ，即 ， ，
所以函数 的值域为 .
（2）
， ，即
， ，且 或
由于方程 在区间 上至少有两个不同的解，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为 ，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
19．已知函数 .
(1)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围;
(2)若函数 在 上单调递增,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)对 全分离,将 在 上恒成立,转化为 ,构造新函数,求
导求单调性求最值即可.
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(2)由 在 上单调递增,即 在 上恒成立,求导后全分离转化为 ,构造
新函数,求导求单调性求最值即可.
【解析】（1）解:由题知 在 上恒成立,
即 ,
,
只需 即可,
即 ,
记 ,
,
,
,
,
在 单调递减,
;
（2）由题知, 在 上单调递增,
即 在 上恒成立,
即 恒成立,
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, 只需 恒成立,
即 ,
记 ,
,
, ,
在 单调递增,
,
只需 即可,
综上: .
20．如图， 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ；
双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，已知 ， 且
过 作 的不垂直于 轴的弦 ， 为 的中点，直线 与 交于 、 两
点.
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(1)求 、 的方程；
(2)若四边形 为平行四边形，求直线 的方程；
(3)求四边形 面积的最小值.
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）由椭圆和双曲线的离心率公式可得出 ，由 可求得 、 的值，
即可得出椭圆 和双曲线 的方程；
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 、 ，将直线 的方程与
椭圆 的方程联立，求出点 的坐标，分析可知 为线段 的中点，可得出点 的坐标，将点
的坐标代入双曲线 的方程，求出 的值，即可得出直线 的方程；
（3）求出 ，可得出直线 的方程，求出 、 两点的坐标，求出 、 两点到直线 的距
离之和，可得出四边形 的面积，进而可求得该四边形面积的最小值.
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【解析】（1）解：由题意可得 ， ， ，则 ，
， ， ，
所以，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 .
（2）解：由（1）可知 ，因为直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
则 ， ，所以，点 ，
因为四边形 为平行四边形，则 为线段 的中点，故点 ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程可得 ，即 ，
解得 ，
因此，直线 的方程为 或 .
（3）解：由（2）可得 ，
，所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，所以， ，
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不妨取点 、 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离为 ，
则 ，
所以，四边形 的面积为
，
故当 时，四边形 的面积取最小值 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等
式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
21．若项数为 且 的有穷数列 满足： ，则称数列
具有“性质 ”．
(1)判断下列数列是否具有“性质 ”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
(2)设 ，2， ， ，若数列 具有“性质 ”，且各项互不相同．求证：
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“数列 为等差数列”的充要条件是“数列 为常数列”；
(3)已知数列 具有“性质 ”．若存在数列 ，使得数列 是连续 个正整数1，2， ，
的一个排列，且 ，求 的所有可能的值．
【答案】(1)数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，4，8，16具有“性质M”
(2)证明见解析
(3) 或5
【分析】（1）按照题目给出的定义：数列 具有“性质 ”直接判断；
（2）根据充要条件的概念直接证明；
（3）根据条件可知 ， ， 逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．
【解析】（1）解： ， 该数列不具有“性质 ”；
， 该数列具有“性质 ”；
（2）证明：充分性，若数列 是常数列，则 ，即 ，
或
又数列 且各项互不相同， ， 数列 为等差数列；
必要性，若数列 为等差数列，则 ，即 ， 数列 为常数列；
（3）解： 数列 是连续 个正整数1，2， ， 的一个排列， 当 时，
， ，不符合题意；
当 时，数列3，2，4，1满足， ，符合题意；当 时，数列
2，3，4，5，1满足 ，符合题意；
当 时，令 ，2， ， ，则 ，且 ，
的取值有以下三种可能
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① ，② ，③ ，
当 时， ，由（2）知 ， ， ， 是公差为1或
的等差数列，
若公差为1时，由 得 或 ， ，不合题意，
不合题意；
若公差为 ，同上述方法可得不符合题意；
当满足② ，③ 时，同理可证不符合题意，
故： 或5．
【点睛】本题考查了给出新定义求解问题，数列的通项公式，充要条件等知识，综合性较强，是难
题．
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