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2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷十套（解析版）
2023-2024人教版九年数学上册期末考试核心素养达标检测试卷（09）
（满分100分，答题时间90分钟）
一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分）
1.已知点P(a-1,a+2)在x轴上,则点Q(-1,a-1)关于原点对称的点的坐标为（ ）
A.(2,-3) B.(-2,3) C.(-1,0) D.(1,3)
【答案】D
【解析】∵点P(a-1,a+2)是x轴上一点,∴a+2=0,解得a=-2,故a-1=-3,则Q(-1,-3),故点Q关于原点对称
的点的坐标是(1,3).故选D.
2. 关于 的一元二次方程 无实数解，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
∵关于 的一元二次方程 无实数解，
∴
解得： ，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
3．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x，x，则（ ）
1 2
A．x+x＜0 B．xx＜0 C．xx＞﹣1 D．xx＜1
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【解析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，再利用根与系数的关系得到x+x＝2，
1 2
xx＝m，然后对各选项进行判断．
1 2
根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，
所以x+x＝2，xx＝m＜1．
1 2 1 2
4．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得
出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设八年级有x个班，
依题意得： x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x＝6，x＝﹣5（不合题意，舍去）．
1 2
5. 如图， 是 的两条弦， 于点D， 于点E，连结 ， ．若
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进
而可以得到答案．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查 的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半．
6. 如图，在正方形 中， 和 交于点 ，过点 的直线 交 于点 （ 不与 ，重合），交 于点 ．以点 为圆心， 为半径的圆交直线 于点 ， ．若 ，则图中阴
影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可得四边形 的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于半圆减去四边
形 的面积和弓形的面积即可求解．
【详解】 在正方形 中， ，
的半径为：
过点 ，根据中心对称可得四边形 的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（ ，﹣2）；⑤当x＜ 时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答
本题．
由图象可知，
抛物线开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0，与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
函数图象与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故②正确，
由图象可知， ，则2b=﹣2a，2a+b=﹣b＞0，故③正确，
由抛物线过点（﹣1，0），（0，﹣2），（2，0），可得，
，
得 ，
∴y=x2﹣x﹣2= ，
∴顶点坐标是（ ，﹣ ），故④错误，
∴当x＜ 时，y随x的增大而减小，故⑤正确，
当x=1时，y=a+b+c＜0，故⑥错误，
由上可得，正确是①②③⑤，故选B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的
思想解答．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
1. 有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于
_________．
【答案】 或者0.4
【解析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可
能性，
∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
2. 已知x2- x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】m<3
【解析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2 )2-4m>0，求解即可．
∵x2- x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2 )2-4m>0
解得：m<3．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两
个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．
3. 如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,若∠B=90°,∠C=30°,AB=1,则AE= 。【答案】2
【解析】△ABC中，∠B=90°,∠C=30°
AB=1
∴ AC=2AB=2
由旋转的性质可得AE=AC,
∴AE=AC=2
4．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
故答案为：﹣2．
【分析】根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．
【解答】在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
5. 一个扇形的面积为 ，半径为 ，则此扇形的圆心角是______度．
【答案】70
【解析】设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式得：
解得n=70．
故答案是： ．
【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用.
6. 如图，在 中， ，点D为 的中点，将 绕点D逆时针旋转得到
，当点A的对应点 落在边 上时，点 在 的延长线上，连接 ，若 ，则
的面积是____________．【答案】
【解析】先证明 是等边三角形，再证明 ，再利用直角三角形 角对应的边是斜边的
一般分别求出 和 ，再利用勾股定理求出 ，求得 的面积．
如下图所示，设 与 交于点O，连接 和 ，
∵点D为 的中点， ，
∴ , ， 是 的角平分线， 是 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∵ ，
∴
∴ ， ,
∴ ．
【点睛】考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题的关键．
三、解答题（本大题有6小题，共61分）
1. （5分）用因式分解法解方程：2x2+1＝3x
1
【答案】x = ，x＝1．
1 2
2
【解析】先移项，然后利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解．
2x2+1＝3x，
2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
1
解得x = ，x＝1．
1 2
2
2．(8分)在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：(1)分别写出A，B两点的坐标；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△ABC.
1 1
【答案】见解析。
【解析】（1）由点A、B在坐标系中的位置可知：A（2，0），B（-1，-4）；
（2）如图所示：
3. （12分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开
展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学
生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形 的圆心角度数为_____度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
（4）计划在 ， ， ， ， 五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中 ， 这两项活动的概率．
【答案】（1）120，见解析 （2） （3）300人 （4）见解析，
【解析】【分析】（1）由B的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）用C的人数除以调查总数再乘以360°即可得到答案；
（3）用样本估计总体进行计算即可；
（4）列出表格或画出树状图，得到所有可能的结果数，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即
可．
【详解】（1）因为参与 活动的人数为36人，占总人数 ，
所以总人数 人，
则参与 活动的人数为： 人；
补全统计图如下：
故答案为：120；
（2）扇形 的圆心角为： ，
故答案为：90；
（3）最喜爱“测量”项目的学生人数是： 人；
答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人；
（4）列表如下：
第一项
第二项——
——
——
——
——
或者树状图如下：
所以，选中 、 这两项活动的概率为： .
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可
能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
4．（12分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连
接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
【答案】见解析
【解析】（1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=
∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，
同理BC=PB，于是得到结论；（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）连接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACO=∠APO，
∴AC=AP，
同理BC=PB，
∴AC=BC=BP=AP，
∴四边形ACBP是菱形；
（2）连接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，
∴OA=1，∠AOP=60°，
∴AD= OA= ，
∴PD= ，
∴PC=3，AB= ，
∴菱形ACBP的面积= AB•PC= ．
【点评】本题考查了切线的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线
的性质是解题的关键．5. （12分）如图，点P（a,3）在抛物线C： 上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 ， ．平移该胶片，
使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
【答案】（1）对称轴为直线 ， 的最大值为4， （2）5
【解析】【分析】（1）由 的性质得开口方向，对称轴和最值，把 代入
中即可得出a的值；
（2）由 ，得出抛物线 是由抛物线C： 向
左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点 移动的最短路程．
【详解】（1） ，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，有最大值，即 的最大值为4，
把 代入 中得：
，
解得： 或 ，
∵点 在C的对称轴右侧，
∴ ；（2）∵ ，
∴ 是由 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为 ，
∴ 移动的最短路程为5．
【点睛】本题考查二次函数 的图像与性质，掌握二次函数 的性质以及
平移的方法是解题的关键．
6. （12分）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接
AD、BD．
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 ；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的
数量关系，并证明．
【答案】（1）135°
（2）（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD= CE．理由见解析
【解析】（1）由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，在优弧 上取点G，连接AG，BG，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠BGA=45°，
∵四边形ADBG是圆内接四边形，
∴∠ADB=180°-45°=135°，
故答案为：135°；
（2）①补全图形，如图：
由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠ADB=45°；
②2BE-AD= CE．理由如下：
过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：
∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∠EFD=90°，
由①知∠ADB=45°，
∴∠DEF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，
∴AE=DH，
∴EH=2ED-AD=2BE-AD，
∵△CEH是等腰直角三角形，
∴2BE-AD= CE．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，
等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．
