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期末检测
A 卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：上册全部，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·广东·广州市第七中学八年级期中）我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图
案，下列我国四大银行的商标图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【详解】解：选项B，C，D中的图形都能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够
完全重合，是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分不能完全重合，不是轴对称图形，
故选A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（2022·湖南·长沙麓山外国语实验中学九年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是
解题的关键．
3．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算： ，结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式相加减法则计算，即可求解．
【详解】解：
故选：A
【点睛】本题主要考查了同分母分式相加减，熟练掌握同分母分式相加减法则是解题的关键．
4．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学八年级阶段练习）若 为 的三边长，且满足
，则 的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据非负数的性质求得 的值，进而根据三角形三边关系求得 的范围，结合选项即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
解得
∴即
∴ 的值可以是5
故选A
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，三角形三边关系，求得 的范围是解题的关
键．
5．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级阶段练习）如图，在 中， ， ，
， 为 的角平分线，则三角形 的面积为（ ）
A．3 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，垂足为 ，
∵ ， ， ， 为 的角平分线，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
故选C．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，熟练掌握角平分线性质定理是解题的关键．
6．（2022·四川·三台博强外国语学校八年级阶段练习）如图，在 中， ， 是 的垂直
平分线， 恰好平分 ．若 ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B
【分析】由 是 的垂直平分线， ， ，由角平分线的性质得到 ，即可
得到答案．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ ， 恰好平分 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
【点睛】此题考查角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算： =___________．
【答案】 ##
【分析】根据异分母分式相加减法则计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
8．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，已知
，则 的度数为 _____°．【答案】 ##70度
【分析】根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ＝ ＋ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9．（2022·辽宁·大连市第八十中学八年级阶段练习）如图，在等边 中， ， 平分 ，
点E在 的延长线上，且 ，则 的长_____．
【答案】2cm##2厘米
【分析】根据题意易得 ，然后可得 ，进而问题可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为2cm．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．10．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）因式分解：
______________________．
【答案】
【分析】先提取公因式 ，再根据完全平方公式化简．
【详解】
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．分解因式三步
骤：一提公因式，二套公式，三检查．分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若多顶
式有两顶，可考虑用平方差公式；若多顶式有三顶，可考虑用完全平方公式．
11．（2022·江苏镇江·九年级阶段练习）若a，b都是有理数，且满足 ，则
_____________．
【答案】1
【分析】由 ，可得 可得 ， ，再代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，因式分解的应用，乘方运算的符号的确定，求解 是解本
题的关键．12．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平
分线交于点O，过点O作DE BC，分别交AB、AC于点D、E．若DE=7，EC=3，则DB=_____．
【答案】4
【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明 ，根据角平分线的定义及平行线的性质即
可证明 ，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】证明： 平分 ，
，
，
，
，
；
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线，解题的关键是掌握等腰三角形
中的相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·北京市建华实验学校八年级期中）分解因式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因式 即可；
（2）按照平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“提公因式法与公式法分解因式”是解本题的关键．
14．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级阶段练习）解分式方程： ．
【答案】
【分析】两边都乘以 ，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可．
【详解】解：两边都乘以 ，得： ，
整理，得： ，
解得 ， ，
检验：当 时， ，舍去；
当 时， ；所以分式方程的解为 ．
【点睛】本题主要考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意检验．
15．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学八年级阶段练习）先化简： ，再选一个自
己喜欢的整数x代入求值．
【答案】 ， 当 时，原式= （答案不唯一）．
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入合适的数进行计算即可．
【详解】解：
由题意知， 且 ，
当 时，原式 （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，进行准确化简，是解题关键．
16．（2022·江苏·昭阳湖初中八年级阶段练习）在 中， 平分 ，
的面积为 ，求 的长．
【答案】8【分析】过点D作 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用三角
形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点D作 于E，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
17．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成
的网格中，点 、 、 在小正方形的顶点上．
(1)画出与 关于直线l成轴对称的 ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求 的面积．
【详解】（1）解∶ 如图， 即为所求；
（2）解： 的面积为 ．
【点睛】本题考查作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·全国·九年级专题练习）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热
潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具
厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生
产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？
【答案】100箱
【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱
“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得．
【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产
箱“冰墩墩”，根据题意得
整理得：
解得 ， (舍去)
经检验： ， 都是原方程的解，但 不符合题意舍去，
故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验．
19．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图， 中， ， ， 平
分 ， ，垂足为 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据题意可得 ，从而可得Rt 中 根据等腰Rt
可得 ，从而可得 的度数．
（2）延长 与 的延长线交于 ，根据角边角可得 ，可得 ， ，
根据题意 ， ，由（1）可得 ，可得Rt Rt ，从
而可得 ．
【详解】（1）解： ，
平分，
（2）解：延长 与 交于点 ，如图：
， ， 为 和 公共边
Rt Rt （ASA）
，
， ，
又 ，
Rt Rt （ASA）
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时利用角平分线的性质和三角形内角和等于 求三角形
内角的度数，利用数形结合的思想是解题的关键．
20．（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的
形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；① ② ③ ④
(2)请将“和谐分式” 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)②③
(2) ，过程见解析
(3) ，当 ，该式的值是整数，
【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得；
（2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解；
（3）将原式变形为 ，根据题意求得 的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解．
【详解】（1）解：① ，不是“和谐分式”，
② ，是“和谐分式”，
③ ，是“和谐分式”，
④ ，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
（2）解：
；（3）解：
，
∵ 为整数，
∴ ，
∴当 时， 是整数，
又∵ ．
∴ 时，原式的值是整数．
【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对
和谐分式的定义的理解．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·江苏·昭阳湖初中八年级阶段练习）如图， 、 均为等边三角形，连接 、 交
于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： ；(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）利用“边角边”证明 全等，即可证明．
（2）利用（1）中全等三角形的性质可得： ，再根据“八字型”证明
即可．
【详解】（1）∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决
本题的关键．
22．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学九年级阶段练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识
能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若 ，求m、n的值．
解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知 ，求a、b的值；
(2)已知 的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求c的值；
(3)若 ， ，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，详见解析
【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解．
（2）先配凑完全平方公式求出a，b值，再根据三角形三边关系求出第三边．
（3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
（2）解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∵a、b、c是 的三边长，∴ ，
∵c是正整数，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．
六、（本大题共12分）
23．（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校八年级阶段练习）已知： ，小新在学习
了角平分钱的知识后，做了一个夹角为120°（即 ）的角尺来作 的角平分线．
(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取 ，再移动角尺使 ，然后他就说射线OP是
的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是 的角平分线；
(2)如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后， ，但仍然出现了 ，此时OP是 的
角平分线吗？如果是，请说明理由．
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得 ，请判断线段OD与OE的数量关系，并说
明理由．【答案】(1)见解析
(2)是，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据 证明 ，可得结论．
（2）过点 作 于 ， 于 ．证明 ，可得结论．
（3）结论： ． 上取一点 ，使得 ，连接 ．想办法证明 ， ，可
得结论．
【详解】（1）解：证明：如图1中，
在 和 中，
，
，
．
（2）解：结论正确．
理由：如图2中，过点 作 于 ， 于 ．， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
则 是 的角平分线；
（3）解：结论： ．
理由：如图3中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
