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第五章 相交线与平行线压轴题考点训练
1．已知 ， 平分 ， ， ，则
___________．
【答案】
【详解】解：如图，作 于 ，作 于 ，
则 ，
设 ，则 ， ，
平分 ，
，
设 ，则 ，
，
， ，
，
， ，
， ，
又 ，
，解得 ，
则 ，故答案为： ．
2．如图，已知直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，点 为 ， 之间
一点，且点 在 的右侧， ．若 与 的平分线相交于点 ，与 的平分线相交于点 ， 与 的平分线相交于点 ……以此
类推，若 ，则 的值是______．
【答案】4
【详解】解：如图：作EF//AB
∵AB//CD
∴AB//CD//EF
∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE,
∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128°
同理：ME N= (∠BME+∠DME) =64°，
1
∠ME N= (∠BME+∠DME) =32°
2 1 1
…
∠MEnN= (∠BMEn +∠DMEn ) =
-1 -1
由题意得： =8°，解得n=4．
故答案为4．
3．如图， ，BC平分 ，设 为 ，点E是射线BC上的一个动点，若
，则 的度数为__________．（用含 的代数式表示）．【答案】 或
【详解】解：如图，若点E运动到l 上方，
1
，
，
平分 ，
，
，
又 ，
，
，
解得 ；
如图，若点E运动到l 下方，
1
，
，
平分 ，
，
，
又 ，
，
，解得 ．
综上 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
4．如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．
∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB
交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB= ∠DAE，则∠ACD
的度数是_____．
【答案】
【详解】解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°- ∠FAD=45°- (90°-∠AFD)= ∠AFD，
∵MN∥PQ，
∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
∴∠ACD= ∠AFD= (∠ABM-90°)=∠BCD-45°，
即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°- ∠BCA=45°-18°=27°，
故∠ACD的度数是27°，
故答案为：27°．
5．如图，已知AB AnC，则∠A＋∠A＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．
1 1 2【答案】
【详解】解：如图，过点 向右作 ，过点 向右作
,
故答案为： ．
6．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．
若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则EPF的度数
为 _____．
【答案】45°或135°
【详解】解：如图1，
过 作 ，
，，
， ，
，
，
同理可得 ，
由折叠可得： ， ，
，
如图2，
过 作 ，
，
，
， ，
，
，
，
由折叠可得： ， ，
，
综上所述： 的度数为 或 ，
故答案为：45°或135°．
7．如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝ ∠AEM，∠MNP＝
∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____
（用含a的式子表示b）．【答案】 ．
【详解】分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，
设∠AEM＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，
∴∠DFN＝2x=a，∠MNF＝b=3y
∵PH∥ME，∴∠EPH＝x，
∵EM∥FN，
∴PH∥FN，∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，
同理， ，
∵∠EPN＝∠EIF，
∴ ＝x+2y，∴ ，∴ ，
故答案为： ．
8．平面内不过同一点的 条直线两两相交，它们交点个数记作 ，并且规定 ，则
__________， ____________．
【答案】 1. .
【详解】解：求平面内不过同一点的 条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，
当2条直线相交时，交点数只有一个；
当3条直线相交时，交点数为两条时的数量 第3条直线与前两条的交点2个，即交点数
是 ；同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是 ，即
，
，
，
本题的答案为：1， .
9．如图，已知直线 ，直线 与 ， 分别交于点A，B，直线 与 ， 分别交于点
C，D，P是直线 上的任意一点(不与点C，D重合).探究 ， ， 之间的
关系，可以得到的结论是________.
【答案】∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB．
【详解】如图，当P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD．
理由如下：过点P作PG∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴PG∥l ∥l ，
2 1
∴∠PAC＝∠APG，∠PBD＝∠BPG，
∴∠APB＝∠APG＋∠BPG＝∠PAC＋∠PBD；
如图，当点P在CD延长线上时，∠PAC＝∠PBD＋∠APB．
理由如下：过点P作PG∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴PG∥l ∥l ，
2 1
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∵∠APG＝∠BPG＋∠APB，∴∠PAC＝∠PBD＋∠APB．
如图，当点P在DC延长线上时，∠PBD＝∠PAC＋∠APB．
理由如下：过点P作PG∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴PG∥l ∥l ，
2 1
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∵∠BPG＝∠APG＋∠APB，
∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB．
故答案为∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB．
10．如图1，将三角板 与三角板 摆放在一起，其中 ， ，
，固定三角板 ，将三角板 绕点A按顺时针方向旋转，当点E
落在射线 的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边 落在 内，
① 与 之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线 ， ，若 ， ，求 的度数；
(2)设 的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与 的某一边平行（不含
重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
【答案】(1)① （或 ），理由见解析；②
(2)5或15或35或45或50
【详解】（1）解：① （或 ）；
理由如下： ，
，
两式相减得： ，
② ∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
；
（2）如图，当 时，
∴ ， ，
∴ ；
如图，当 时，
∴ ，则 ，
此时 ，
∴ ；如图，当 时，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 时，
∴ ，即 ， ， 共线，
∴ ，
∴ ；
如图，当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
11．已知：如图，直线 ， 于点 ，连接 且分别交直线 于点 ．
(1)如图①，若 和 的角平分线 、 交于点 ，请求 的度数；(2)如图②，若 的角平分线 分别和直线 及 的角平分线 的反向延长线
交于点 和点 ，试说明： ；
(3)如图③，点 为直线 上一点，连结 ， 的角平分线 交直线 于点 ，过
点 作 交 的角平分线 于点 ，若 记为 ，请直接用含 的代
数式来表示 ．
【答案】(1)
(2)说明见解析
(3)
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
∵ 、 分别平分 和 ，∴ ； ，
∴ ，
过点M作直线 交 于点 ，，
∵ ，
∴ ，
∴ , ，
∴ ．
（2）过点C作直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
又∵
∴
又∵ 、 分别平分 和 ，
∴
∵ ，
∴
又∵
∴ ．（3） ．
理由如下：由题意可知 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ．
12．如图1，已知直线 ，点C为 ， 内部的一个动点，连接 ， ，
的平分线交直线 于点E， 的平分线交直线 于点A， 和 交于点
F．
(1) ，猜想 和 的位置关系，并证明；
(2)如图2，在（1）的基础上连接 ，则在点C的运动过程中，当满足 且
时，求 的度数．
【答案】(1) ．理由见解析
(2)
【详解】（1）解： ．理由如下：
∵ 的平分线交直线 于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的平分线交直线 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
13．已知， ， 、 分别为直线 、 上的点， 为平面内任意一点，连接
、 ．
(1)如图（1），请直接写出 、 与 之间的数量关系．
(2)如图（2），过点 作 、 交直线 上的点 、 ，点 在 上，
过 作 ，求证： ．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ;(2)见解析；
(3) ．
【详解】（1）如图，过E作 ，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）证明： 、 ，
，
，
，
，
，
，
；
（3） ，
由（1）可知， ，
，
， ， ，
由（2）可知 ，
，解得： ，
，
， ，
， ．
14．先阅读再解答：(1)如图1， ，试说明： ；
(2)已知：如图2， ，求证： ；
(3)已知：如图3， ， ．求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）证明：延长 和反向延长 相交于点G，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
15．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，
， ， ）．
(1)若 ，则 ________；
(2)如图1， ________；若点E在 的上方，设 ，则
________（用含β的式子表示）；
(3)当 且点E在直线 的上方时，将三角尺 固定不动，改变三角尺
的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．
①当 （如图2）时，直接写出 ________﹔
②当 时，直接写出 ________；
(4)在（3）的条件下，当 且点E在直线 的上方，（3）中的两种情况除外，
这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时 所有可能的角
度数值为________，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；(3)① ；②
(4) 或 或
【详解】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ， ，
∴
∴
∴ ，
（3）①当 时，
∵ ，
∴ ，
②当 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（4）①当 时，
∵ ，
∴ ，
；②当 时，
∴ ；
③当 时，过点C作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
综上所述： 为 或 或 ．
