文档内容
第五章 相交线与平行线提优测试卷（解析版）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题要求的）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．直线外一点到这条直线的垂线段长，叫做点到直线的距离
C．在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交
D．直线c外一点A与直线c上几点连接而成的线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是
3cm
思路引领：本题强调过一点作已知直线的存在性和唯一性．点的位置可以在直线上，也可以在直线外，
且只有一条．
解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，这是垂线的性质，故本选项不符合
题意；
B、直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项不符合题意；
C、在同一平面内，如果两条直线相交成直角，则我们就说这两条直线互相垂直；所以两条直线互相垂
直，这两条直线一定相交，故本选项不符合题意；
D、直线c外一点A与直线C上几点连接而成的线段中，最短线段的长是3cm，但是该线段不一定是垂
线段，所以点A到直线c的距离不一定是3cm，故本选项符合题意；
故选：D．
总结提升：本题主要考查了点到直线的距离，垂线．垂线的性质：在同一平面内，经过一点有且只有一
条直线与已知直线垂直．
2．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
思路引领：作图时保持∠1＝∠2，则可判定两直线平行．
解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了平行线的判定．平行线的判定方法有：（1）定理1：同位角相等，两直线
平行；
（2）定理2：内错角相等，两直线平行；
（3）定理3：同旁内角互补，两直线平行；
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
3．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）
A．∠2和∠3 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠1和∠2
思路引领：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个
角叫做互为对顶角．
解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠2和∠3是对顶角，正确；
B、∠1和∠3是同旁内角，错误；
C、∠1和∠4是同位角，错误；
D、∠1和∠2不是对顶角，错误．
故选：A．
总结提升：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧
扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确
的平移步骤是（ ）A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
思路引领：根据网格结构，可以利用一对对应点的平移关系解答．
解：根据网格结构，观察对应点A、D，点A向左平移5个单位，再向下平移2个单位即可到达点D的
位置，
所以平移步骤是：先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位．
故选：A．
总结提升：本题考查了生活中的平移现象，利用对应点的平移规律确定图形的平移规律是解题的关键．
5．如图所示，同位角共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
思路引领：根据两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角进行判断．
解：如图，∠1与∠2，∠3与∠4分别是两对同位角．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容．
6．如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
思路引领：因∠1和∠2是邻补角，且∠1＝40°，由邻补角的定义可得∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°．
解：∵∠1+∠2＝180°
又∠1＝40°
∴∠2＝140°．
故选：C．
总结提升：本题考查了利用邻补角的概念计算一个角的度数的能力．
7．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能
是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130
思路引领：首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答
案．
解：如图：
故选：A．
总结提升：此题考查了平行线的判定．注意数形结合法的应用，注意掌握同位角相等，两直线平行．
8．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角有（ ）个．
A．2 B．4 C．5 D．6
思路引领：根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等，找出与∠1是同位角和内错角的
角或与∠1相等的角的同位角或内错角即可．
解：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，与∠1相等的角有：
∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．故选：C．
总结提升：本题主要考查两直线平行，内错角相等、同位角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
思路引领：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线
性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
总结提升：本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适
中．
10．如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．68° B．58° C．48° D．32°
思路引领：因直尺和三角板得 AD∥FE，∠BAC＝90°；再由 AD∥FE 得∠2＝∠3；平角构建
∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．
解：如图所示：
∵AD∥FE，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠1＝32°，
∴∠3＝58°，
∴∠2＝58°，
故选：B．
总结提升：本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性
质．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 如果两个角是同一个角的余角，那么
这两个角相等 ．
思路引领：命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，
“那么”后面接结论．
解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
总结提升：本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
12．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝ 2 0 °．
思路引领：本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做
题．
解：∵直尺的两边平行，
∴∠2＝∠4＝50°，
又∵∠1＝30°，
∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°．
故答案为：20．
总结提升：本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目．
13．如图，已知AB∥CD，∠ ＝ 85 ° ．
α
思路引领：过∠ 的顶点作AB的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠1，再根据两直线
平行，内错角相等α 求出∠2，然后求解即可．
解：如图，过∠ 的顶点作AB的平行线EF，
∵AB∥CD， α
∴AB∥EF∥CD，
∴∠1＝180°﹣120°＝60°，∠2＝25°，
∴∠ ＝∠1+∠2＝60°+25°＝85°．
故答α案为：85°．
总结提升：本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
14．如图，把一个长方形纸片沿 EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB＝65°，则
∠AED′等于 5 0 °．
思路引领：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF＝∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
解：∵AD∥BC，
∴∠EFB＝∠FED＝65°，
由折叠的性质知，∠DEF＝∠FED′＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣2∠FED＝50°．
故∠AED′等于50°．
总结提升：此题考查了翻折变换的知识，本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，
平角的概念求解．
15．如图，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝ 36 0 °．
思路引领：首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故答案为：360．
总结提升：此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．
16．如图，∠C＝120°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是 ∠ BEC ＝
60° （答案不唯一） ．
思路引领：欲证AB∥CD，在图中发现AB、CD被一直线所截，且已知一同旁内角∠C＝120°，故可按
同旁内角互补两直线平行补充条件．
解：因为∠C＝120°，
要使AB∥CD，
则要∠BEC＝180°﹣120°＝60°（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：∠BEC＝60° （答案不唯一）．
总结提升：此题考查平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和
同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
17．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上
一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 74 ° ．思路引领：过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然
后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数．
解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2＝∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°，
∴∠2＝90°﹣37°＝53°；
∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°．
故答案为：74°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来
解答问题．
18．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的
四边形ACED的面积是 3 6 cm2．
思路引领：根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．
解：∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC＝CE＝EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ACED的面积＝12×3＝36cm2．总结提升：本题的关键是得出四边形ACED的面积是三个△ABC的面积．然后根据已知条件计算．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，求∠EOD的度数．
思路引领：根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等求出∠BOD的度数，根据互余的
性质计算即可．
解：∵OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，
1
∴∠AOC= ∠AOF＝20°，
2
∴∠BOD＝20°，
∵∠EOB＝90°，
∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝70°．
总结提升：本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、角平分
线的定义是解题的关键．
20．将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH，若HG＝10，MC＝2，MG＝4，求图中阴影部分的面积．
思路引领：根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等
于梯形EFGH的面积减去梯形EFDM的面积．解：∵阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，
等于梯形EFGH的面积减去梯形EFDM的面积，
∴阴影部分的面积等于梯形DHGM的面积，
∵HG＝10，MC＝2，MG＝4，
1
∴S阴 ＝S
DHGM
= ×（8+10）×4＝36．
2
总结提升：主要考查了梯形的性质和平移的性质．要注意：平移前后图形的形状和大小不变．本题的关
键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH
的面积减去梯形EFDM的面积．
21．如图，已知：∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数．
思路引领：此题首先要根据对顶角相等，结合已知条件，得到一组同位角相等，再根据平行线的判定得
两条直线平行．然后根据平行线的性质得到同旁内角互补，从而进行求解．
解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠EHD，
∴∠1＝∠EHD，
∴AB∥CD；
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°．
总结提升：综合运用了平行线的性质和判定，难度不大．
22．如图，长方形ABCD，E为AB上一点，把三角形CEB沿CE对折，设GE交DC于点F，若∠EFD＝
80°，求∠BCE的度数．
思路引领：由于AB∥CD，那么∠DFE＝∠BEF，即可得到∠BEF的度数，由折叠的性质知：∠BEC的度数是∠BEF的一半，进而可在Rt△BEC中，根据互余角的性质求得∠BCE的度数．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠BEF＝∠DFE＝80°，
根据折叠的性质知：∠BEC＝∠FEC＝40°，
则∠BCE＝90°﹣∠BEC＝50°．
总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及平行线的性质，难度不大．
23．已知：EF∥AD，AB∥DG，求证：∠BEF＝∠ADG．
思路引领：根据两直线平行内错角相等、同位角相等，即可得出结论．
解：∵EF∥AD，
∴∠BEF＝∠BAD，
∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠ADG，
∴∠BEF＝∠ADG．
总结提升：本题考查了平行线的性质，两直线平行内错角相等、同位角相等，同胖内角互补，是需要同
学们熟练记忆的内容．
24．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．
思路引领：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCE的度数，再根据角平分线的定义求出∠BCN的
度数，然后再根据CM⊥CN即可求出∠BCM的度数．
解：∵AB∥CD，∠B＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵CN是∠BCE的平分线，
1 1
∴∠BCN= ∠BCE= ×140°＝70°，
2 2∵CM⊥CN，
∴∠BCM＝20°．
总结提升：本题利用平行线的性质和角平分线的定义求解，比较简单．
25．如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP＝ ．
（1）用 表示∠ACP； α
（2）求证α：AB∥CD；
（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE．
思路引领：（1）由角平分线的定义可得∠PAC＝ ，在Rt△PAC中根据直角三角形的性质可求得
∠ACP； α
（2）结合（1）可求得∠ACD，可证明∠ACD+∠BAC＝180°，可证明AB∥CD；
（3）由平行线的性质可得∠ECF＝∠CAP，∠ECD＝∠CAB，结合条件可证得∠ECF＝∠FCD，可证得
结论．
（1）解：
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP＝ ，
∵∠P＝90°， α
∴∠ACP＝90°﹣∠CAP＝90°﹣ ；
（2）证明： α
由（1）可知∠ACP＝90°﹣ ，
∵CP平分∠ACD， α
∴∠ACD＝2∠ACP＝180°﹣2 ，
又∠BAC＝2∠BAP＝2 ， α
∴∠ACD+∠BAC＝180α°，
∴AB∥CD；
（3）证明：∵AP∥CF，
∴∠ECF＝∠CAP＝ ，
由（2）可知AB∥CDα，
∴∠ECD＝∠CAB＝2 ，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠αECF＝ ，
∴∠ECF＝∠DCF， α
∴CF平分∠DCE．
总结提升：本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线
平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④ a∥b，
b∥c⇔a∥c． ⇔ ⇔
26．（1⇒）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．
下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．
证明：如图①过点E作EF∥AB．
∴∠A＝∠1（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB∥CD（已知）
EF∥AB（辅助线作法）
∴CD∥EF（ 平行于同一直线的两条直线平行 ）
∴∠2＝∠DCE（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠AEC＝∠1+∠2
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（ 等量代换 ）
（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°
（3）如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为
70° ．（请直接写出答案）
思路引领：（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得
出∠2＝∠DCE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；
（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．
（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等
量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
总结提升：本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线和平行线的判定和性质是解题的关键．
