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期末考试压轴题模拟训练（一）
一、单选题
1．对于正整数数x，符号 表示不大于x的最大整数．若 有正整数解，则正数
a的取值范围是（ ）．
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据 所表示的含义，结合题意可得出 ，继而可解出 的正整数解，
分别代入所得不等式，可得出 的范围．
【详解】解： 有正整数解，
，
即 ， ，
，
是正整数， 为正数，
，即 可取1、2；
①当 取1时，
， ，
；
②当 取2时，
， ，
；
综上可得 的范围是： 或 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我
们熟练不等式的求解方法，有一定难度．
2．已如方程组 和 有相同的解．则 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．13
【答案】A
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a
与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意，则，
由①+②得：6x=6，
解得：x=1，
把x=1代入①得：5+2y=3，
解得：y=-1；
把x=1，y=-1代入 ，则 ，
解得： ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值，根据题意能联立新的方程组求解出二元一次方程的解是解题的关键．
3．已知关于x，y的方程组 ，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数， 的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当 时，
D．当 ，方程组的解也是方程 的解
【答案】D
【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项
逐一分析即可．
【详解】解： ，解得： ，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值， ，值始终不变，成立；
B选项， ，解得 ，存在这样的实数k，成立；
C选项， ，解得 ，成立；
D选项，当 时， ，则 ，不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方
程组（解中含有参数）是解决本题的关键．4．如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点0运动到点
，第二次运动到点 ，第三次运动到点 ，第四次运动到点 ，第
五运动到点 ，第六次运动到点 ，…，按这样的运动规律，点 的纵坐标
是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】先探究点的运动规律，再结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐
标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象知，动点P每运动6次为一个循环，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，-2，0，2，0；
∵2022÷6=337，
∴经过策2022次运动后，动点P的纵坐标是0．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
5．在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，若 平分 ，
轴， 轴，且 ，则 的值为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知 在一、三象限或二、四象限的平分线上即 ，则有
或 （不合题意，舍去）， 在第一象限，结合 轴得
即可求解．
【详解】解：由题意可知， 平分 ， 轴， 轴，且 ，
可知 在一、三象限或二、四象限的平分线上，
，
即 或 （不合题意，舍去），
解得： ，，
故： 在第一象限，
轴，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标系内点的特点；解题的关键是结合题意得到 在一、三象
限或二、四象限的平分线上，从而求解．
三、填空题
6．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是______．
【答案】
【分析】由方程组 的解是 得 ，两式相加得
，对 两式相加变形得
即
，对方程进行比较即可求解．
【详解】解： 的解是 ，
，
由 得：
，
，
得：
，
则 ，
即 ，
， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了方程的解，方程组的特殊解法；熟练掌握对方程组的变形、化简是解
题的关键．
7．如图， ，E为 上一点，且 垂足为F， ， 平分
，且 ，则下列结论：① ；② 平分 ；③
；④ ；其中正确的有________．（请填写序号）
【答案】①②③④
【分析】根据平行线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ，
故②正确；
∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故③正确；∵ ， ，
∴ ，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用 表
示各个角度．
8．如图，直线 与直线 、 分别交于点 、 ， ， 与 的角
平分线交于点 ， 与 交于点 ，点 是 上一点，且 ，连接 ，
是 上一点使 ，作 平分 ，交 于点 ， ，
则 _________．
【答案】30度/
【分析】根据 ， 与 的角平分线交于点 ，可得
，即可得 ，则有 ，
进而可得 ， ， ，即有
，结合 平分 ，可得
，进而可得 ，问题随之得解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ 与 的角平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，证明 是
解答本题的关键．
9．如图，正方形 ， ， ，…，（每个正方形的顶点从第三象限
开始，按顺时针方向，依次记为 ； ； ；…）
正方形的中心均在坐标原点 处，各边均与 轴或 轴平行，若它们的边长依次是2，4，
6，…，则顶点 的坐标为____．
【答案】
【分析】观察图形，由第四象限点的坐标的变化可得出“点 的坐标为 （
为非负整数）”，再结合 ，即可求出点 的坐标．
【详解】解：观察图形可知：
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
……
点 的坐标为 （ 为非负整数），
点 的坐标为 （ 为非负整数），
点 的坐标为 （ 为非负整数），
点 的坐标为 （ 为非负整数），
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考察了规律型：点的坐标，由第四象限点的坐标的变化可得出“点
的坐标为 （ 为非负整数）”是解题的关键．
二、解答题
10．已知直线 分别交直线 于点 ，且
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 分别在射线 上，点 分别在射线 上，连接
，且 ，分别延长 交于点 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 平分 ，且 平分 ，若
，直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)【分析】（1）利用 ，再利用等量代换，即可解决；
（2）过K作 ，因为 ，所以 ，则 ，
代入即可解决．
（3）过M作 ，过K作 ，可以得到 ，设 ，
，利用平行线的性质，用含x的代数式表示出各个角，利用方程思想解决问题．
【详解】（1）证明： ， ，
，
；
（2）证明：过点K作 ，如图，
， ，
，
， ，
，
，
即 ，
；
（3） ．
理由如下：过M作 ，过K作 ，如图，
， ， ，
，
平分 ， ，
，
，设 ， ，
平分 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
即 ，解得 ，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行
线的性质进行计算．
11．如图1，在平面直角坐标系中， ， ，a是最接近 的整数，b是a的
相反数，过C作 轴于B．
(1)求三角形 的面积．
(2)若过B作 交y轴于D，且 ， 分别平分 ， ，如图2，求
的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形 和三角形 的面积相等，若存在，求出P点
坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4；
(2) ；
(3) ， ；
【分析】（1）根据a是最接近 的整数得到 ，结合b是a的相反数得到 ，
结合三角形面积公式求解即可得到答案；
（2）过E作 ，根据 得到 ， ，即可得到， ，结合 得到 ，根据 ，
分别平分 ， ，得到 ， ，即可得到答案；
（3）假设存在点P使得三角形 和三角形 的面积相等，设 ，
根据面积相等列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ，且a是最接近 的整数，
∴ ，
∵b是a的相反数，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴于B，
∴ ；
（2）解：过E作 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∵ ， 分别平分 ， ，
∴ ， ，∴ ；
（3）解：假设存在点P使得三角形 和三角形 的面积相等，设 ，
当在正半轴时，连接 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
此时 ，
当在负半轴时，连接 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述P点坐标为： 或 ；
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点到直线的距离问题、面积问题，平行线的性质与判
定，解题的关键是作辅助线及根据题意假设存在列式求解．
12．已知： ， 、 是 上的点， 、 是 上的点， ．(1)如图 ，求证： ；
(2)如图 ，过 点作 交 延长线于点 ，作 、 的角平分线交于
点 ， 交 于点 ，求证： ；
(3)如图 ，在（2）的条件下，作 的角平分线交 于点 ，若 ，直
接写出 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质推出 ，再由同位角相等得出 ；
（2）过点 作 ，设角度，由平行线的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（3）由 结合前面（2）的结论，求出角度可得 ．
【详解】（1）证明： ，
，
又 ，
，
；
（2）解：如图 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
， ，设 ， ，
、 分别平分 、 ，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
；
（3）解： ，即 ，
，
， ，
又 和 是角平分线，
，
，
又 ， ，．
【点睛】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线
定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．
13．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企
业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按
照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）(1)列出方程（组），求出图1中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得
到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格：
竖式无盖
横式无盖（个）
（个）
礼品盒板材
x y
A型（张） 4x 3y
B型（张） x
③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）
(3)若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型
板材做侧面和底面，做成图2中横式无盖礼品盒，当 时，所裁得的A型板材和
B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个（在横线上直接写出所有可能的答
案）
【答案】(1) ， ；
(2)①64，38；②见解析；③20
(3)24或27
【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，同样由图示完成
表格，并完成计算．
（3）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；再根据竖式与横
式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数构建方程求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，解得： ．答： ， ；
（2）解：①由图示裁法一产生A型板材为： ，
裁法二产生A型板材为： ，
∴两种裁法共产生A型板材为 （张）；
由图示裁法一产生B型板材为： ，
裁法二产生A型板材为， ，
∴两种裁法共产生B型板材为 （张）．
故答案为：64，38；
②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板
材2y张．
竖式无盖（个） 横式无盖（个）
礼品盒板
材
A型（张）
B型（张）
③由上表可知做两款盒子共需要A型 张，B型 张．
∴ ，
两式相加得 ．
则 ．所以最多做20个．
故答案为：20；
（3）解：由图示裁法一产生A型板材为： 张，裁法二产生A型板材为： n张，
所以两种裁法共产生A型板材为 （张），
由图示裁法一产生B型板材为：m张，裁法二产生A型板材为， 张，
所以两种裁法共产生B型板材为 张；
②当 时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能
是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴ ，化简得 ．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵ ，∴m可取32，36，
此时，n分别为8，9，
则共产生B型板材为 张或 张；
∴可做成的横式无盖礼品盒可能是24或27．
故答案为：24或27．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中
的等量关系，列出方程组．
14．已知点 ，点 ，点 ，且 ．
(1)求 ， ， 三点的坐标：
(2)将线段 平移到线段 ，点 对应点 ，点 对应点 ．
①如图1，连接 交 轴于点 ，求三角形 的面积；
②如图2，点 从原点 出发以 个单位长度 秒的速度沿 轴正方向运动，过点 作
的平行线交 轴于点 ，点 在直线 上，设点 运动时间为 秒，当三角形 的面
积等于三角形 面积的两倍时，直接写出 的值．
【答案】(1) ， ，
(2)① ；② 或
【分析】（2）①根据平移的性质得出 ， ，得出 ，设
，则 ，根据等面积法求得点 点的坐标，进而根据
，即可求解；
②连接 ，根据 ，依题意得出 ，则
，进而得出 的坐标，根据平行线间的距离相等，当 时， ，
得出 ，求得 的坐标，即可求得 点的值，
当 时，则 ，同理可得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵∴
解得：
∴ ， ， ；
（2）解：①如图所示，连接 ，
∵将线段 平移到线段 ，点 对应点 ，点 对应点 ．
∴ ，
∴
设 ，则 ，
∵
∴
即
解得：
∴ ，
∴
∵ ， , ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
②解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴
∴∴当三角形 的面积等于三角形 面积的两倍时，
即
∴
设 点的坐标为 ，
∴
∴ 或
解得： 或
∴ 或 ，
当 时， ，
∴
∴
∴
∴ ，
当 时，则 ，同理可得 ，则 ，
∴
综上所述， 或 ，
【点睛】本题考查了平移，算术平方根的非负性，坐标与图形，平行线间的距离相等，等
面积法，数形结合，分类讨论是解题的关键．
15．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过 元购进
台电脑，其中 型电脑每台进价 元， 型电脑每台进价 元， 型每台售价
元， 型每台售价 元，预计销售额不低于 元．设 型电脑购进 台、商场的总
利润为 （元）．
(1)请你设计出所有的进货方案；
(2)在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
(3)商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进 型和 型电脑至少各两台，另一部
分为地震灾区购买单价为 元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出
购买 型电脑、 型电脑和帐篷的方案．
【答案】(1)有3种购买方案，方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案2：购A型
电脑23台，B型电脑17台；方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台
(2)购A型电脑24台，B型电脑16台利润最大，为18400元
(3)有2种购买方案，方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶；方案2：购A型
电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶
【分析】（1）设A型电脑购进 台，则 型电脑购进 台，由题意列依云一次不等
式组 ，计算求解，然后作答即可；
（2）对（1）中的各方案分别求解利润，然后进行比较作答即可；
（3）设再次购买A型电脑 台， 型电脑 台，帐篷 顶， ， ， ，且 、 、
为整数，根据条件建立方程运用讨论法求出其解即可．【详解】（1）解：设A型电脑购进x台，则B型电脑购进 台．
根据题意得： ，
解得： ．
∵x为整数，
∴x的值为22，23，24 ，
∴有3种购买方案：
方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案2：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台；
（2）解：方案1利润为： （元）；
方案2利润为： （元）；
方案3利润为： （元）；
∵ ，
∴购A型电脑24台，B型电脑16台利润最大，最大为18400元．
（3）解：设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，
由题意，得 ，
解得 ，
∵ ，且a、b、c为整数，
∴ ，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小．
当 时， ，舍去；
当 时， ，故 ；
当 时， ，舍去；
当 时， ，舍去；
当 时， ，故 ；
当 时， ，舍去；
当 时， ，舍去；
当 时， ，舍去；
∴有2种购买方案：
方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶，
方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．
【点睛】该题考查了一元一次不等式组的运用，不定方程的运用，分类讨论的思想．根据
题意列等式、不等式是解题的关键，巧解三元一次不定方程是解答本题的难点．16．【问题原型】如图①， ，点M在直线AB、CD之间，请说明 ，
【问题迁移】如图②， ，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出 、 、
之间有怎样的数量关系，不需要证明．
【推广应用】
（1）如图③， ，点M在直线AB、CD之间， 的平分线与 的平分线
交于点N， ，则 ______°；
（2）如图④， ，点M与直线CD分别在AB的两侧， 的平分线与
的平分线交于点N， ，则 ______°；
（3）如图⑤， ， 的平分线与 的平分线交于点M， ，
， ，则 ______°．
【答案】【问题原型】见解析；【问题迁移】 ；【推广应用】（1）48；
（2）50；（3）39
【分析】【问题原型】作 ，根据平行线的性质解答即可；
【问题迁移】根据平行线的性质解答即可；
【推广应用】（1）由【问题原型】的结论可得：
，然后结合角平分线的定义和等量代换即
可解答；
（2）由【问题迁移】的结论可得： ，然
后结合角平分线的定义和等量代换即可解答；（3）如图，延长 交于点N，先判定 ，可得 ，再由（1）
题的结论可得： ．
【问题原型】如图，作 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【问题迁移】 ，理由如下：
如图，∵ ，
∴ ，
∴ ；
【推广应用】
（1）由【问题原型】的结论可得： ，
∵ 的平分线与 的平分线交于点N，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由【问题迁移】的结论可得： ，
∵ 的平分线与 的平分线交于点N，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）如图，延长 交于点N，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则由（1）题的结论可得： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性
质是解题的关键．
