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七下期末押题预测（培优压轴卷）
一、单选题(共30分
1．(本题3分)已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，
则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
【答案】C
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y
＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的
坐标．
【详解】解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
【点睛】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系，有理数加法乘法法则，
正确掌握有理数的加法乘法法则是解题的关键.
2．(本题3分)在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ）
A．全面调查适用于所有的调查
B．为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
【答案】B
【分析】根据全面调查的特点判断A与B；根据样本容量的定义判断C；根据样本具有的特
点判断D．
【详解】A、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故
本选项说法错误，不符合题意；
B、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，
符合题意；
C、为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为100，故本选
项说法错误，不符合题意；
D、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员
的身高普遍较高，这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，
不符合题意；
故选：B．【点睛】本题考查了用样本估计总体，全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是
解题的关键．
3．(本题3分)已知 ，点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，O
为坐标原点，则 满足（ ）
A．大于135小于180° B．等于135°
C．大于90°小于135° D．大于0°小于90°
【答案】C
【分析】先判断出 ，则点P在第三象限，再证明 ，即点P
到y轴的距离大于点P到x轴的距离，则点P在第三象限的平分线 的上方，且在x轴的
下方，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴点P在第三象限，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，
∴点P在第三象限的平分线 的上方，且在x轴的下方，
∵ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，算术平方根和立方根，正确得到点P在第三象限的平分线 的上方，在x轴的下方是解题的关键．
4．(本题3分)将一副三角板按如图放置，则下列结论① ；②如果 ，则有
；③如果 ，则有 ；④如果 ，必有 ，其中正确
的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据 求出∠1与∠E的度数大小即可判
断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用 求出∠1，即可得到
∠2的度数，即可判断④.
【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90 ，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵ ，
∴
∠E=60 ，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ,
∴∠3=∠B,
∴ ,故③正确；
∵ ，
∴∠CFE=∠C ，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E= ,
∴∠2=90 -∠1= ，故④正确，
故选：D.【点睛】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
5．(本题3分)用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式
的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好
将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200 B．201 C．202 D．203
【答案】A
【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，列二元一次方程组
，把两个方程的两边分别相加得 ，易知 的值一定是5的倍
数，本题即解答.
【详解】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴ 一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴ 的值可能是200.
故选A.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加
得出 ，是解答本题的关键.
6．(本题3分)数轴上的点 ， ， 表示的数分别为 ， ， ，其中 ， ，且
， 是 中点，线段 上仅有 个表示整数的点．若 ，则整数
不可能是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据有理数乘法运算法则，异号得负，得出 ；由 得 ，即
；根据中点的定义，确定 点表示的数为 ；由线段 上仅有 个表示整数的
点，确定这两个整数点为 和 ，点 在 和 之间，则 ， ， 在 和 之间，
则 ，然后利用不等式的性质，先确定 的范围，然后再确定 的范围，进
而确定 的范围，也就是 的范围，最后确定 的范围，从而确定整数 不可能
选项．
【详解】解：∵ ， ，且 ，
∴ ，且 ，即 ，
∵ 是 中点，
∴ ，点 表示的数为 ，
∴ ，
∵线段 上仅有 个表示整数的点．，
∴线段 上除了 没有其他表示整数的点，线段 上有 个表示整数的点 和 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 为整数，
∴ ，
∴ 不可能是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴的点的对应关系，其中涉及到有理数的乘法运算法则，绝对
值的含义，利用不等式的性质确定字母的范围，中点的定义．能够根据题目的每个条件分
别得出相应的结论，然后综合分析是解决本题的关键．
7．(本题3分)在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形
纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知 ，再由周角360°以及 =70°可求出
∠EFB，再根据平行线的性质即可求∠AEF．
【详解】解：由题意可得： ，
由折叠可知： ，
∵ =360°， =70°，
∴ =145°，
∵ ，
∴∠AEF+∠EFB=180°，
∴∠AEF=180°-145°=35°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和
翻折的性质进行角的转化和计算．
8．(本题3分)如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点
0运动到点 ，第二次运动到点 ，第三次运动到点 ，第四次运动到点
，第五运动到点 ，第六次运动到点 ，…，按这样的运动规律，点
的纵坐标是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】B【分析】先探究点的运动规律，再结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐
标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象知，动点P每运动6次为一个循环，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，-2，0，2，0；
∵2022÷6=337，
∴经过策2022次运动后，动点P的纵坐标是0．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
9．(本题3分)已知关于x的不等式组 ，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．
【详解】解：由x﹣1＞0得x＞1，
由x﹣a≤0得x≤a，
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确；
②当a＝1时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确；
④如果它有解，那么a＞1，此结论错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．(本题3分)如图， ， ，垂足分别为B和D， 和 分别平分
和 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
【答案】C【分析】由 ， 可证 ；由角平分线的性质可知 ；题中
没有条件可以证明 ；由 可知 ，根据平行线性质可得
.由此可知①②③④的正误.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵ ， 分别平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 不一定平行于 ，
∴ 不一定垂直于 ．
故①②④正确，③错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共18分
11．(本题3分)已知点 ，其中 ， ， ，且 、 、 、
均为整数，那么在平面直角坐标系中点 的可能位置共有__________个.
【答案】
【分析】先根据 ， ， 、 、 、 均为整数，得 ，
，再根据 ，分类讨论即可．
【详解】解：∵ ， 、 、 、 均为整数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 或 或 或 ，
当 时，9个，
当 或 或 或 或 或2或3时， （个），
当 时，9（个），∴共有 （个），
故答案为 ．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，不等式的意义，分类讨论的思想方法，运用分类讨论
的思想方法是本题的关键．
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，A（ ，4），B（ ，3），C（1，0），
．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为
______．
【答案】 5 /
【分析】（1）过 分别作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，交点 ，根据题意
分别求得 的坐标，然后根据 ，即可求解．
（2）设 ，则 ，根据平移可得 向下移动 个单位，向右移动 个单位，
得到 ，即 ，求得 ，根据三角形面积求得
，即可求解．
【详解】解：（1）过 分别作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，交于点 ，如
图，∵A（ ，4），B（ ，3），C（1，0），
∴ ，
， ，
∴ ，
，
，
故答案为：5；
（2） ，设 ，则 ，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴ 向下移动了 个单位，向右移动了 个单位，
∴ 向下移动 个单位，向右移动 个单位，得到 ，即 ，
如图，过点 作 轴，于点 ，则 ，
过点 作 轴交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意 是 沿 方向平移得到的，
∴ ，
∵ ，
解得： ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
13．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，
0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段
AB上的一动点，则MN+NP的最小值为___________．
【答案】
【分析】连接AM，根据点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），得到
OA=4，OB=3，OM=3，过M作MP⊥AB于P交OA于N，则此时，MN+NP的值最小，且
MN+NP的最小值=MP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AM，
∵点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，OM=3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，
∵ ， BM=6，OA=4，AB=5，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂线段最短的应用，坐标与图形性质，三角形的面积公式，正确的作出图形是解题的关键．
14．(本题3分)在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示
摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将
三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度
顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运
动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】6或9或15或33
【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．
【详解】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t= (秒)；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6(秒)；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9(秒)；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15(秒)；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33(秒)；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：6或9或15或33．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．(本题3分)若方程组 无解，则a=_________
【答案】-6
【分析】把第二个方程整理得到y＝2x−1，然后利用代入消元法消掉未知数y得到关于x的
一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得解．
【详解】解： ，
由②得，y＝2x−1③，
③代入①得，ax＋3（2x−1）＝9，
即（a＋6）x＝12，
∵方程组无解，
∴a＋6＝0，
∴a＝−6．
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0．
16．(本题3分)已知不等式组 有解但没有整数解，则 的取值范围为
________．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵ ，
∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组 有解但没有整数解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组
并解之是解题的关键．
三、解答题(共72分
17．(本题8分)如果x是一个有理数，我们定义 表示不小于 x 的最小整数．如
， ，由定义可知，任意一个有理数都能写成
的形式（ ）．
(1)直接写出 与x， 的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导 与x， 的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导 与x， 的大小关系．
(2)根据（1）中的结论解决下列问题：
①直接写出满足 的m取值范围；
②直接写出方程 的解．
【答案】(1)
(2)① ；② 或【分析】（1）提示1：通过举例子的形式进行推导即可；提示2：根据 得到
，进一步推出 ，则 ；
（2）①根据（1）的结论可得 ，解不等式组即可；②根据（1）的结
论可得 ，求出 ，再由 为整数即可得到答案．
【详解】（1）解：提示1：当 时， ， ，
则 ，
当 时， ， ，
则 ，
当 时， ， ，
则 ，
当 时， ， ，
则 ，
由“不完全归纳法”可得： ；
提示2： ，且 ，
；
（2）解：①由（1）的结论得：
，
，
解得 ；
②由（1）的结论得： ，
，
，
解得 ，
，，
为整数，
则 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，理解新定义，正确求解不
等式组是解题关键．
18．(本题8分)新定义：若无理数 的被开方数(T为正整数)满足 (其中n
为正整数)，则称无理数 的“青一区间”为 ；同理规定无理数 的“青一区
间”为 ．例如：因为 ，所以 的“青一区间”为 ， 的“青
一区间”为 ，请回答下列问题：
(1) 的“青一区间”为 ； 的“青一区间”为 ；
(2)若无理数 (a为正整数)的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为 ，求
的值．
(3)实数x，y，满足关系式： ，求 的“青一区间”．
【答案】(1) ，
(2)2或
(3)
【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）根据“青一区间”的定义求出 的值，再根据立方根的定义，进行求解即可；
（3）利用非负性求出 的值，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的“青一区间”为 ；
∵ ，
∴ 的“青一区间”为 ；
故答案为： ， ；
（2）∵无理数 “青一区间”为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，∵无理数 的“青一区间”为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的值为2或 ．
（3）∵
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的“青一区间”为 ．
【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”
的定义和确定方法，是解题的关键．
19．(本题8分)某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身
高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他
们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未
给出）
组
身高范围（单位：厘米） 划记 频数 频率
别
A 3 0.03
B 正 8 0.08
C a 0.15
D 正正正正正 28 0.28
E 正正正正正一 26 0.26F 正正 14 0.14
G 正一 6 0.06
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是___________．
(2) ___________， ___________ ．
(3)请补全频数分布直方图
(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．
【答案】(1)100；
(2)15，100.8；
(3)见解析
(4)168
【分析】（1）由A的学生人数和所占百分比求出调查总人数；
（2）用总人数乘以B的百分比即可求出a，用360°乘以百分比得到m；
（3）根据a值补全直方图；
（4）用总人数600乘以D的百分比即可．
（1）
解：本次抽样调查的样本容量是3 （人），
故答案为： ；
÷3%=100
（2）
100
a=100 0.15=15，m=360° 28%=100.8°，
故答案为：15，100.8；
× ×
（3）
补全直方图：（4）
600 28%=168（人），
∴身高在D组的学生有168人．
×
【点睛】本题考查的是直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图
直接反映部分占总体的百分比大小．
20．(本题8分)直线 ，BE—EC是一条折线段，BP平分 ．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)CQ平分 ，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出 和 的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若 ，直接写出 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①∠E+2∠F=180°，证明见解析；②70°
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得
∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-
（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．【详解】（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关
键是用含α，β的式子表示∠E，∠F，从而得到∠E，∠F之间的数量关系．
21．(本题8分)为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业
研发部原有100名技术人员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人
员和研发人员，其中技术人员 名（ 为正整数且 ），调整后研发人员的年人均
投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元．
(1)若这 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整
后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两
个条件：
①研发人员的年人均投入不超过 ；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
【答案】(1)即调整后的技术人员最多有 人；
(2) ．
【分析】（1）根据题意，求得这 名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员
的年总投入，列不等式求解即可；
（2）由①可得 ，由② ，根据题
意，求解不等式组即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ，（ ）
解得： ，
又∵ ，
∴
即调整后的技术人员最多有 人；
（2）解：由①可得 ，由②即 ，解得
又∵ 为正整数且 ，
∴当 时， 最大，为 ；
当 时， 最小，为 ，
综上，存在 ，满足题意．
【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正
确列出不等式．
22．(本题10分)阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范
围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－12，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组 的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
【答案】(1)1＜x+y＜5
(2)a＞1
(3)
【分析】（1）模仿阅读材料解答即可；
（2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论．
【详解】（1）解：∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，∴-1＜y＜1…①，
同理可得2＜x＜4…②，
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）解：解方程组 ，
得 ，
∵该方程组的解都是正数，
∴x＞0，y＞0，
∴ ，
解不等式组得：a＞1，
∴a的取值范围为：a＞1；
（3）解：∵a－b=4，b<2，
∴ ，
∴ ，
由（2）得，a＞1，
∴ ，
∴ …①，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ …②，
由①+②得： ，
∴2a＋3b的取值范围是 ．
【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，
以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键．
23．(本题10分)已知 中， 是 边上的高， 是 的角平分线．(1)如图1，若 ， ，求 的度数；
(2)如图2， 、 分别平分 和 的外角 ，请直接写出 与
的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作 交 延长线于G，若
，且 ， 交 的延长线于H，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出 ，进而得到 ， ，根据 是
边上的高得到 ，即可求出 ；
（2）根据角平分线的定义得到 ，进而得到
，结合 即可得到 ；
（3）根据 得到 ，得到 ，从而求出
．由（2）得 ，结合
，得到 ．根据 平分 ，得到
，根据 ，得到
，求出 ．从而分别求出 ，
， ，再求出 ，根据四边形内角和为 即可求出
．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ；
（2）答： ．
证明：∵ 、 分别平分 和 的外角 ，
∴ ，
∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
由（2）得 ，
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在四边形 中， ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，直角三角形两锐角互余，三角
形角平分线、高线的定义，四边形内角和等知识，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知
相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．
24．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系 中，已知等腰直角三角形 的斜边
在 轴上， ， ， 、 、 、 ，且 、
满足 ．
(1)求 、 的坐标；
(2)点 为 轴上一点，若 的面积是 的面积的一半，求出此时 点坐标；
(3)如图2，过 点水平向左作射线 轴，将射线 绕点 以 度 秒逆时针速旋转，
转至与射线 重合后立刻继续以 度 秒顺时针匀速旋转，射线 绕点 以 度 秒逆时
针匀速旋转射线 和 同时开始旋转，旋转后的射线分别记为 ， ，当射线
与 重合时，射线 和 同时停止运动，射线 与 交于点 ，运动时间为 秒．
①当 时，求此时的时间 值；
②若过点 作 交 于点 ，求 与 满足的放量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)① 值为 或 ；② 或【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，列出二元一次方程组，解方程
组即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合坐标系得出 ，设 根据题意列出方
程，解方程即可求解；
（3）①分别过点图1和2，分别过 作 轴交 轴于点 ， 垂直于 交 于
点 （图1为射线 第一次与射线 重合前，图2为射线 第一次与射线 重合
后），当当 时，由题意，得 轴，根据 列出方程，得出
，当 时，同理得出 ；
②当 时，根据已知条件分别得出 ， ，即可得出
；②如图2，当 时，得出 ，当
时，无法构成点 或 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：
（2）由题意得
设 ，
（3）如图1和2，分别过点图1和2，分别过 作 轴交 轴于点 ， 垂直于
交 于点
（注：图1为射线 第一次与射线 重合前，图2为射线 第一次与射线 重合
后）
依题意，当 转至与射线 重合时， ，当射线 与 重合时，①如图1，当 时，由题意，得 轴
如图2，当 时，
，
综上， 值为 或
②（i）如图1，当 时，
，
，
，（ii）如图2，当 时，
（iii）当 时，无法构成点 或 ．
综上， 或
【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，几何图形
中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
