文档内容
人教版七年级下册第5~8章压轴题考点训练（二）
1．在平面直角坐标系xOy中，对于点 ，我们把 叫做点P的友好点．
已知点 的友好点为 ，点 的友好点为 ，点 的友好点为 ，这样依次得到各点．
若 的坐标为 ，则：
（1）点 的友好点 的坐标为______________；
（2）设 ，则 的值为______________．
【答案】
【分析】（1）根据友好点的定义求解即可；
（2）根据坐标的变化找出变化规律，由 的坐标为 ，找出 的坐标，…，根据
坐标的变化找出变化规律，由此即可得出x、y的值，二者相加即可得出结论；
【详解】（1）∵ 的坐标为 ，
∴点 的友好点 的坐标为 ，即 ．
故答案为： ；
（2）∵ 的坐标为 ，
∴ 的坐标为 ，
的坐标为 ，
的坐标为 ，
的坐标为 ，…，
∴ ， ， ， （n为自然数）．
∵ ， 的坐标为 ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题的关键是根据友好点的定义列出部分点的坐标，
根据坐标的变化找出变化规律．
2．如图，在 中，点D是 的中点，连接 ，点E在 上，且 ，
于点F，若 ， ，则 的面积为___________．【答案】20
【分析】根据 ，点 是 的中点，求出 和 的长度，进而求出三角形
的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出 的面积，得出 的面积，
根据 为中线，得出 与 的面积相等，即可得出答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
，点 是 的中点，
，
，且 ，
，
又 ，
，
，
．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，解题的关键是理解并灵活应用高相等，
底之比等于面积之比．
3．如图，把8个大小相同的长方形（如图1）放入一个较大的长方形中（如图2），则ab
的值为_____．【答案】16
【分析】根据图1和图2分析可得 ， ，即可 的值，进而可得 的值
【详解】由图1可得长方形的长为 ，宽为 ，
根据图2可知大长方形的宽可以表示为
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据图中信息求得 的值是解题的关键．
4．如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，﹣1， ，其中a＜﹣1，且AB＝BC，
则|a|＝_____．
【答案】
【分析】先根据数轴上点的位置求出 ，即可得到
，由此求解即可．
【详解】解：∵A，B，C在数轴上对应的点分别为a，﹣1， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键在于能够根据题意求出
．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴正半轴上的一点，过点 作 轴，点
为 轴正半轴上一动点， 平分 ， 于点 ，在点 的运动过程中，则
的值为______．【答案】2
【分析】设 ，首先根据平行线的性质得到 ，然后表示出
，然后利用角平分线的概念得到 ，然后利用
表示出 ，即可求出 的值．
【详解】解：设 ，
∵
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，直角三角形的性质，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
6．在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点 的坐标分别为 ，
， ，若 的面积为 面积的2倍，则 的值为
____________
【答案】12或
【分析】由 点的横坐标相等，得出 轴， ，点 到 的距离为 ，
根据 的面积为 面积的2倍，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵ 、 、 的坐标分别为 ，
∴ 轴， ，
点 到 的距离为∵若 的面积为 面积的2倍，
∴
即
解得 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解
题的关键．
7．如图，在四边形 纸片中 ，将纸片折叠，点 、 分别落在 、
处，折痕为 ， 与 交于点 ．若 ，则 的度数为
________．
【答案】40°
【分析】先根据平行线的性质证明∠CNM=∠AMN，∠B=∠D，由折叠的性质可知，
∠AMN=∠EMN，再证明∠CNF=∠BME，推出∠BME+∠B=140°，则∠BPM=180°-∠B-
∠BME=40°．
【详解】解：∵ ，
∴∠A+∠D=∠A+∠B=180°，∠CNM=∠AMN，
∴∠B=∠D，
由折叠的性质可知，∠AMN=∠EMN，
∵ ，
∴∠MNF+∠EMN=180°，
又∵∠AMN+∠EMN+∠BME=180°，
∴∠AMN+∠EMN+∠BME=∠EMN+∠MNF，
∴∠MNF=∠AMN+∠BME，
∴∠CNF+∠CNM=∠AMN+∠BME，
∴∠CNF=∠BME，
∵∠D+∠CNF=140°，∴∠BME+∠B=140°，
∴∠BPM=180°-∠B-∠BME=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题的
关键．
8．已知平面直角坐标系中，三角形 的三个顶点坐标为 、 、 ，连
接 交 于点D，则三角形 的面积 ____________．
【答案】 /
【分析】利用等高三角形面积之比等于对应底的比，得到 ，进而得到
， ，再求出 ，即可得到三角形 的面积．
【详解】解：过A作 轴于 点，
， ，
，
，
、 、 ，
，
，
，
，，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的面积问题，解题关键是利用等高三角形面积之比等于对应的
底的比得出 ．
9．如图，某化工厂与A，B两地有公路、铁路相连（距离如图所示）．这家工厂从A地购
买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到 地．已知公路运价为
1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费
15000元，铁路运输费97200元．
(1)请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？M同学已完成以下若干解答
过程，请补全以下方程组并解决上述的问题．
解：设工厂制成运往 地的产品 吨，工厂从A地购买了 吨原料，依题意，得
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要
再购买 吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于65000元，同时满足原料
总重量是产品总重量的3倍，求 的值．【答案】(1) ；这批产品的销售款比原料费和运输费的和多
元；解题过程见解析
(2) 的值为10
【分析】（1）根据这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，列出方
程组，解方程组，得出x、y的值，最后求出结果即可；
（2）设从A地购买的原料为m吨，则送往B地的产品为 吨，根据此时产品的销售
款与原料的进货款之差等于65000元，同时满足原料总重量是产品总重量的3倍，列出方
程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：设工厂制成运往 地的产品 吨，工厂从A地购买了 吨原料，依题意，
得：
，
解得： ，
（元），
故补全的方程组为： ；这批产品的销售款比原料费和运输费的和
多 元．
（2）解：设从A地购买的原料为m吨，则送往B地的产品为 吨，根据题意得：
，解得： ，
答： 的值为10．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程
组．
10．在平面直角坐标系中，点 、 分别是 轴和 轴的正半轴上的点， 点在第一象限，
它们的坐标分别是 ， ， ，且满足 ．(1)直接写出四边形 的面积______；
(2)点 是 轴上一个动点，当 的面积等于8时，求点 的坐标；
(3)将线段 平移至线段 （点 的对应点为 ，点 的对应点为 ），且点 在线
段 上，当 的面积为 时，求点 的坐标．
【答案】(1)11
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据算术平方和绝对值的非负性可得 ，从而得到点A，B，C的坐
标，过点C作 轴于点D，连接 ，则 ，再由
，即可求解；
（2）设点P的坐标为 ，则 ，根据三角形的面积公式计算，即可求解；
（3）设点M的坐标为 ，根据 ，可求出a的值，可得
到点M的坐标，再由平移的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点 ，
∵
∴点 ，
如图，过点C作 轴于点D，连接 ，则 ，∴ ；
故答案为：11
（2）解：如图，
设点P的坐标为 ，则 ，
∵ 的面积等于8，
∴ ，即 ，
解得： 或0，
∴点P的坐标为 或 ；
（3）解：如图，
设点M的坐标为 ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得： ，∴点M的坐标为 ，
∴点A先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到点M，
∵线段 平移至线段 ，
∴点C先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到点N，
∵点 ，
∴点N的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，算术平方和绝对值的非负性，平移变换，利用数形
结合思想解答是解题的关键．
11．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点 ， ，其两
点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平
行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
(1)已知点 ， ，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为﹣2，试求
A，B两点间的距离；
(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值．
【答案】(1)5
(2)8
(3)10
【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可；
（2）根据 两点横坐标差的绝对值，计算即可；
（3）原式表示点 到 和 的距离之和，由两点之间线段最短，点 在以
和 为端点的线段上时，原式值最小．
【详解】（1）解：∵点 ， ，
∴ ．
（2）解：根据题意可知：点A，B在平行于x轴的直线上，
∴ ．
（3）解：∵ 表示点 到 和 的距离之和，
又∵两点之间线段最短，
∴点 在以 和 为端点的线段上时，原式值最小，
∴ 的最小值为：．
【点睛】本题考查平面内点的坐标特点，两点间的距离公式；能够理解公式的含义，结合
平面内点的坐标特点求解是关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（m，b），且 ，m是
64的立方根．
(1)直接写出A，B两点坐标为：A____，B____；
(2)将线段AB平移得到线段CD，点B的对应点是点C（8，0），点A的对应点是点D．
①在平面直角坐标系中画出平移后的线段CD，直接写出点D的坐标；
②若点E在y轴的负半轴上，且S ABO＝S CDE，求点E的坐标；
(3)若点E在y轴上运动，但不和△AB与y轴△的交点重合，也不和CD与y轴的交点重合，直
接写出∠BEC，∠ABE，∠DCE的数量关系．
【答案】(1) ，
(2)①
② 或
(3)当点E在AB和CD之间时， ；
当点E在AB和CD的上方时， 或 ；
当点E在AB和CD的下方时， ．
【分析】（1）利用平方根和绝对值得非负性，算出a、b的值，由立方根求出m的值，即
可得出A和B的坐标；
（2）①根据平移的性质，画出点D的位置即可作答；
②根据S ABO＝S CDE，得出 ，算出DE的长度后，再分类讨论即可；
△ △
（3）分类讨论点E的位置，过点E作EF AB CD，根据平行线的性质，得出∠BEC，
∠ABE，∠DCE的数量关系．
【详解】（1）由题意得， ， ，
解得： ， ，∵m是64的立方根，
∴ ，
∴ ， ；
（2）①如图，线段CD即为所求，点D的坐标为 ；
②设点E的坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，B到x轴的距离为5， ，
∵S ABO＝S CDE， ，
△ △
∴ ，
解得 ，
∵ ，
当点E在D上方时， ；
当点E在D下方时， ，
∴点E的坐标为 或 ；
（3）如图1，当点E在AB和CD之间时，过点E作EF AB CD，
∴ ， ，∴ ；
如图2，当点E在AB和CD的上方时，过点E作EF AB CD，
∴ ， ， ，
∴ ；
如图3，当点E在AB和CD的上方时，过点E作EF AB CD，
∴ ， ， ，
∴ ；
如图4，当点E在AB和CD的下方时，过点E作EF AB CD，
∴ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平移，坐标与图形，平行线的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质，分类讨论思想．
13．如图，直线 ，连接 ，直线 、 及线段 把平面分成①，②，③，
④四个部分.当动点 落在某个部分时，连接 、 ，构成 ， ， 三
个角，（规定：线上各点不属于任何部分且点 、 、 三点不共线）
(1)当动点 落在第①部分时，求证： ；
(2)当动点 落在第②部分时，直接用等式表示 ， ， 之间的数量关系；
(3)当动点 落在第③部分时，用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并写
出动点 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当动点 在射线 的右侧时，结论是： ，当动点 在射线 的
左侧时，结论是 ，证明见解析
【分析】（1）首先过点P作 的平行线，再根据平行线的性质，证得结论即可；
（2）首先过点P作 的平行线，再根据平行线的性质，得出结论即可；
（3）分两种情况，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，得出结论即可．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，
，
，
，
，；
（2）解：如图，过点 作 ，
，
，
，
，
（3）解：（i）当动点 在射线 的右侧时，结论是：
（ii）当动点 在射线 的左侧时，结论是
选择（i）证明：如图，过点 作 ,
，
，
，
，
，
选择（ii）证明：如图，过点 作 ，，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质，
作出辅助线是解题关键．
14．（1）探究：如图1， ，点 、 分别在直线 、 上，连接 、 ，
当点 在直线 的左侧时，试说明 ；
（2）（问题迁移）如图2， ，点 在 的上方，问 、 、 之
间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知 ， 的平分线和
的平分线交于点 ，用含有 的式子表示 的度数．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3）
【分析】（1）过点 作 ，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点 作 ，可得到 ， ，根据
，即可求解；（3）过点 作 ，过点 作 ，得出 ， ，
根据角平分线的定义得出 ， ，进而得出
【详解】解：（1）如图所示：过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2） ，
理由如下：
如图所示：过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图所示：过点 作 ，过点 作 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 的平分线和 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解
题的关键．
15．在直角坐标系中，已知 ， 且a，b满足 ．
(1)如图1，直接写出点 的坐标为______，点 的坐标为______；
(2)已知 ，当三角形 的面积等于三角形 面积时，求点 的坐标；
(3)如图2，已知点 为线段 上的一动点，过点 作 交 于点 ，点 是线段
上的一点，连接 、 、 ，若 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，即可求出点A和点B
的坐标；
（2）首先根据三角形面积公式求出三角形 面积，然后分两种情况，分别根据列方程求解即可；
（3）连接 ，作 ， 分别交 于点M和点N，首先根据题意得到
，然后结合 得到 ，根据 ， 求出 ，
然后求出直线 的解析式，将 代入即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得， ，
解得， ，
∴ ， ；
（2）∵ ，
∴
∴
∴当 时，
∴
∴解得
∴点 的坐标为 ；
∴当 时，
∴
∴解得
∴点 的坐标为 ；
综上所述，点C的坐标为 或 ；
（3）如图所示，连接 ，作 ， 分别交 于点M和点N，∵
∴
∵
∴
∵ ，
∴
∴ ，∴
∴设直线 的解析式为
∴将 代入得， ，解得 ，∴
∴将 代入得， ，∴解得
∴点Q的坐标为 ．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、一次函数、坐标与图形性质，
掌握坐标与图形性质及三角形的面积公式是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，且满足
，线段 交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．(1)求出点A、B的坐标；
(2)如图2，若 ， ，且 、 分别平分 、 ，求
的度数；（用含 的代数式表示）．
(3)如图3，在y轴上存在一点P，使得 的面积和 的面积相等．请直接写出点P
坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）由算术平方根及平方的非负性可得 ， 即
求解方程即可得到a，b即A、B的坐标；
（2）如图，过M作 易得 ，有平行线的性质易得 ，
，再结合角平分线的性质可求解；
（3）如图，连接 ， 由 结合（1）可知
求得 即 ，再结合 即
，求得 ，设 则有 ，求解即可．
【详解】（1） ， ，且 ，
， ， ，解得： ， ， ；
（2）如图，过M作 ，
， ，
， ，
、 分别平分 、 ，， ，
，
即 ；
（3）如图，连接 ， ，
，
，
即 ，
，
，
，
由（1）可知，
，
，，
设 ，
，
或 ，
即 或 ，
或 ．
【点睛】本题考查了算术平方根及平方的非负性，解二元一次方程组，平行线的判定和性
质，等积法求面积；解题的关键是熟练掌握相关性质正确计算求解．
