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第17章 勾股定理能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．（江苏省南京联合体2024-2025学年上学期八年级数学期末试题）边长为2的等边三角
形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．❑√3 D．2❑√3
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，作AD⊥BC于点D，则
1
∠ADB=90°，由等边三角形的性质得AB=AC=BC=2，则BD=CD= BC=1，
2
然后通过勾股定理求出AD的长，最后由三角形面积公式即可求解，掌握等边三角形
的性质和勾股定理是解题的根据．
【详解】解：如图，作AD⊥BC于点D，则∠ADB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵AD⊥BC，
1
∴BD=CD= BC=1，
2
由勾股定理得：AD=❑√AB2−BD2=❑√22−12=❑√3，
1 1
∴S = BC×AD= ×2×❑√3=❑√3，
△ABC 2 2
故选：C．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(
)A．∠A=∠B+∠C B．a:b:c=5:12:13
C．a2=(b+c)(b−c) D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D
的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
【详解】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵a:b:c=5:12:13
∴设a=5k.b=12k,c=13k,
∵(5k) 2+(12k) 2=(13k) 2，
∴a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵a2=(b+c)(b−c)，即a2=b2−c2，
∴b2=a2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，
∴设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴3x+4x+5x=180，
解得：x=15，
则5x°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，A(0,3)，B(1,0)，以B为圆心，AB为半径画
弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）A．(2−❑√10,0) B．(−❑√10,0) C．(❑√10,0) D．(1−❑√10,0)
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征等知识点，利用勾
股定理求出AB的长，再根据BA=BC即可得解，熟练掌握利用勾股定理求出BA=BC
的长度是解决此题的关键．
【详解】解：∵A(0,3),B(1,0)，
∴OA=3，OB=1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=❑√12+32=❑√10，
∵BA=BA，
∴点C(1−❑√10,0)，
故故选：：D．
4．（24-25八年级上·江西九江·期末）如图，点C在线段AB上，
∠DAC=∠DCE=∠CBE=90°，DC=CE，AD=6，BE=8，则DE的长为
（ ）
A．10 B．8❑√2 C．10❑√2 D．6❑√2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简，正确找
出两个全等三角形是解题关键．先证出△ADC≌△BCE，根据全等三角形的性质可得
AC=BE=8，再利用勾股定理可得CE=DC=10，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵∠DAC=∠DCE=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°=∠BCE+∠ACD，
∴∠ADC=∠BCE，
在△ADC和△BCE中，
{∠DAC=∠CBE=90°
)
∠ADC=∠BCE ，
DC=CE
∴△ADC≌△BCE(AAS)，
∴AC=BE=8，
∵AD=6，∠DAC=90°，DC=CE，
∴CE=DC=❑√AD2+AC2=10，
在Rt△CDE中，DE=❑√CD2+CE2=10❑√2，
故选：C．
5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为
格点，以下正确的是（ ）
A．∠1+∠2=135° B．∠1+∠2=150°
C．∠1−∠2=90° D．∠1−∠2=105°
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用网格得AD=BC，
AB=CD，AC=CA，证明△ABC≌△CDA(SSS)得∠2=∠ACD，再由网格得
∠CAD=45°，再由三角形内角和定理可得∠1+∠2=135°．
【详解】解：如图，连接BC，AC，由图可得AD=BC=❑√2，AB=CD=❑√12+22=❑√5，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠2=∠ACD，
∴∠1+∠2=∠1+∠ACD，
又∵∠CAD=45°，
∴∠1+∠2=∠1+∠ACD=180°−∠CAD=180°−45°=135°，
故选：A．
6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，我国古代著名的“赵爽弦图”由四个全等的直
角三角形拼成大正方形ABCD和中间小的正方形EFGH，若直角三角形的两条直角边
的比为1：2，大正方形ABCD的面积为25，则小正方形EFGH的面积为（ ）
A．5 B．7.5 C．10 D．12.5
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和勾股定理，熟悉全等三角形的性质和勾
股定理是解题的关键．
先根据全等三角形的性质和已知条件求出BE=EF=CF，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵大正方形ABCD的面积为25，
∴BC2=25，
∵四个直角三角形是全等三角形，
∴CF=BE，
又∵直角三角形的两条直角边的比为1：2，即CF：BF=1：2，
∴BF=2CF=2BE，∵BF=BE+EF，
∴BE=EF=CF，
在Rt△BFC中根据勾股定理得：CF2+BF2=BC2，
∴ ，
EF2+(2EF) 2=BC2
∴5EF2=25，
∴EF2=5，
∴小正方形EFGH的面积为5．
故选：A．
7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）刘老师和“数学小分队”的队员们在学习数学
史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如图在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AC=1，BC=2❑√2，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，则图中
两个“月牙”即阴影部分的面积为（ ）
A．❑√2 B．❑√2π C．2❑√2π D．2❑√2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定
理求出AB=3，再根据图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以AC,BC为直径的
两个半圆面积加上Rt△ABC的面积，再减去以AB为直径的半圆的面积求解即可得．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2❑√2，
∴ ，
AB=❑√AC2+BC2=3
∵图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以AC,BC为直径的两个半圆面积加上
Rt△ABC的面积，再减去以AB为直径的半圆的面积，
∴所求的面积为1 (1) 2 1 (2❑√2) 2 1 1 (3) 2
π× + π× + ×1×2❑√2− π×
2 2 2 2 2 2 2
1 9
= π+π+❑√2− π
8 8
=❑√2，
故选：A．8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，15只空油桶堆在一起，每只油桶底面的直径
均为45cm，要给他们盖一个遮雨棚，遮雨棚的最低高度为（）cm．
A．225 B．90❑√3+45 C．225−15❑√3 D．135❑√3
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握
勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接AB,BC,AC，由题意可知，
AD⊥BC于点D，先证明△ABC为等边三角形，再由等边三角形的性质得
1
BD= BC=90cm，然后由勾股定理求出AD的长，即可解决问题．
2
【详解】解：如图，连接AB,BC,AC，
由题意可知，AD⊥BC于点D，
∵AB=4×45=180(cm),BC=4×45=180(cm),AC=4×45=180(cm),
∴AB=BC=AC,
∴△ABC为等边三角形，
∵AD⊥BC,
1 1
∴BD= BC= ×180=90(cm),
2 2
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√1802−902=90❑√3(cm),
1 1
∴油桶的最高点到地面的距离= ×45+90❑√3+ ×45=(90❑√3+45)(cm)，
2 2
即遮雨棚的最低高度为(90❑√3+45)cm，
故选：B．9．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，P是斜
边AB的中点，∠DPE交边AC、BC于点D、E，连接DE，且∠DPE=90°，若
1
CE= BE，AC=4，则△DPE的面积是（ ）
3
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】B
【分析】首先在等腰Rt△ABC中，可知AP=BP=CP，CP⊥AB，
∠B=∠BCP=∠DCP=45°，进而证明△BPE≌△CPD，由全等三角形的性质可得
1
PE=PD，结合CE= BE，AC=4，易得CE=1，BE=3，AP=BP=2❑√2；过点E
3
3❑√2 ❑√2
作EF⊥AB于点F，解得EF=BF= ，进一步可得PF=BP−BF= ，再在
2 2
Rt△PEF中，利用勾股定理解得PE的值，易得PE=PD=❑√5，然后根据三角形面积
公式求解即可．
【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P是斜边AB的中点，
∴AP=BP=CP，CP⊥AB，∠B=∠BCP=∠DCP=45°，
∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=90°，∠BPE+∠EPC=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
在△BPE和△CPD中，
{
∠B=∠DCP
)
BP=CP ，
∠BPE=∠DPC
∴△BPE≌△CPD(ASA)，
∴PE=PD，
1
∵CE= BE，AC=4，
31 1
∴CE=1，BE=3，AP=BP= AB= ❑√AC2+BC2=2❑√2，
2 2
过点E作EF⊥AB于点F，如图，
∵∠B=45°，
∴∠FEB=90°−∠B=45°=∠B，
∴EF=BF，
又∵EF2+BF2=BE2=9，
3❑√2
∴EF=BF= ，
2
又∵BP=2❑√2，
❑√2
∴PF=BP−BF= ，
2
∴在
Rt△PEF
中，
PE=❑√PF2+EF2=❑
√ (❑√2) 2
+
(3❑√2) 2
=❑√5
，
2 2
∴PE=PD=❑√5，
1 1
∴△DPE的面积S= PD⋅PE= ×❑√5×❑√5=2.5．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和三
角形的面积等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，在△ABC中，
∠ACB=90°，AC=4，BC=3．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．
图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得
到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的
面积之和为（ ）A．400 B．350 C．300 D．250
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式
得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出AB=5， 再根
据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题．
【详解】解：∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+32=5
∴图1中正方形的面积和为：
32+42+52=25+25=2×25=50，
图2中所有正方形的面积和为：
32+42+32+42+52=25+25+25=25+50，
图3中所有正方形面积和为：
32+42+32+42+32+42+52=25+25+25+25=2×25+50，
…… ……
∴图11中所有正方形的面积为（11−1）×25+50=300．
故选：C
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，三条直线a、b、c互相平行，△ABC的三个
顶点分别在三条平行线上．已知∠BAC=90°，AB=AC，且a、b之间的距离为2，
b、c之间的距离为3，则BC= ．【答案】❑√26
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作DE⊥a于D，
交直线c于点E，证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE=3，根据勾股定理得出
AB2=AD2+BD2=22+32=13，根据勾股定理可得答案．
【详解】解：过A作DE⊥a于D，交直线c于点E，如图所示：
∵a∥b∥c，
∴DE⊥c，DE⊥b，
∴AD=2，AE=3，
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DBA，
又∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE=3，
∴根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2=22+32=13=AC2，
∴ ．
BC=❑√AB2+AC2=❑√26
故答案为：❑√26．
12．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中、BC的垂直平分线分别交
BC,AB于点E，F．若△AFC是等边三角形，EF=12cm．则BC= cm．【答案】24❑√3
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含
30°的直角三角形的性质，勾股定理．根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再
利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B，从而可得答案．
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，BC=2BE，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°，
∵EF=12cm，
∴BF=2EF=24(cm)，
∴ ，
BE=❑√BF2−EF2=12❑√3(cm)
∴BC=2BE=24❑√3(cm)，
故答案为：24❑√3．
13．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观
察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB=13分米，小狗的高CD=3分米，
小狗与小方的距离AC=24分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳BD= 分米．
【答案】26
【分析】本题考查勾股定理的应用，过点D作DE⊥AB于点E，可得DE=AC=24
分米，AE=CD=3分米，DE=10分米，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则AE=CD=3分米，DE=AC=24分米，
∴BE=AB−AE=10分米，
∴ （分米）．
BD=❑√BE2+DE2=❑√102+242=26
所以此时牵狗绳BD的长为26分米．
故答案为：26．
14．（24-25八年级上·河南·期末）长方形OBCD的OB边在x轴上，OD边在y轴上，
OB=10，OD=6，点E是直线BC上的一个动点，若将△CDE沿DE折叠后，点C的
对应点F落在了x轴上，则点E的坐标为 ．
【答案】( 8)或
10, (10,−24)
3
【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点E在线段BC上
时，设BE=x,则CE=EF=BC−BE=6−x,由勾股定理求出x的值即可得出答案．②
当点E在线段CB的延长线上时，设BE=x,则CE=EF=BC+BE=6+x,由勾股定理
求出x的值即可得出答案．
【详解】解：①当点E在线段CB上时，
∵四边形OBCD是长方形，
∴CD=OB=10，BC=OD=6，∠DOB=∠OBC=90°，
由折叠△CDE得△FDE可知：DF=CD=10，
，
∴OF=❑√DF2−OD2=8∴BF=OB−OF=10−8=2，
由折叠可知：CE=EF，
设BE=x，则CE=EF=BC−BE=6−x，
(6−x) 2=22+x2
8
解得x= ，
3
点 的坐标为( 8)，
∴ E 10,
3
②当点E在线段CB的延长线上时，
OF=❑√DF2−OD2=❑√102−62=8
∴BF=OF+OB=8+10=18，
设BE=x，则CE=EF=BC−BE=6+x，
∵EF2=BF2+BE2，
∴ ，
(6+x) 2=182+x2
解得x=24，
∴点E(10,−24)．
综上所述， ( 8)或
E 10, (10,−24)
3
故答案为：( 8)或 ．
10, (10,−24)
3
15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm，3cm
和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 cm．
【答案】13
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展
开图及勾股定理是解决本题的关键．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为(3+1)×3=12，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得， ，
AB=❑√52+122=13
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13；
故答案为：13
16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上的点C
反射后经过点B(1，0)，则光线从点A到点B经过的路程为 ．【答案】5
【分析】题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质及勾股定理，同时渗透光学
中反射原理，熟练掌握坐标与图形性质是解决本题关键．作点B′，使其与点B关于y轴
对称，路径长就是AB′的长度．连接CB′，先证明△OCB≌△OCB′．再运用勾股定
理求解即可．
【详解】解：如图所示，延长AC与x轴交于点B′，
∵ A(3,3) C
这束光线从点 出发，经过y轴上的点 反射
后经过点B(1，0)，
∴由反射定律可得，∠1=∠OCB，
∵∠1=∠OCB′，
∴∠OCB=∠OCB′
∵CO⊥BB′于O．
∴∠COB=∠COB′且OC=OC，
∴△OCB≌△OCB′ (ASA)
∴OB′=OB=1，
，
∴B′ (−1,0)
，
∴AB′=❑√32+42=5
∴AC+CB=AC+CB′=AB′==5．
即光线从点A到点B经过的路径长为5．
故答案为：5．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所
示，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，高度CE为4m，BC的长是8m，
∠CEB=90°，求BE的长．【答案】BE的长为4❑√3m
【分析】本题考查了勾股定理，正确进行计算是解答本题的关键．
根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，BC=8m，CE=4m，∠CEB=90°，
.
∴BE=❑√BC2−CE2=❑√82−42=4❑√3(m)
答：BE的长为4❑√3m．
18．（8分）（24-25八年级上·福建福州·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，
实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地ABC，
现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC
的小路DE．经测量，AB=13米，AD=12米，AC=15米，BD=5米．
(1)求DC的长；
(2)求小路DE的长．
【答案】(1)9米
36
(2) 米．
5
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶
（1）利用勾股定理的逆定理判定∠ADB=90°，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理
求解即可；
（2）利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：∵AB=13米，AD=12米，BD=5米，
∴AB2=BD2+AD2，∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AC=15米，
∴ ，
DC=❑√AC2−AD2=❑√152−122=9
故DC的长9米；
（2）解：∵DE⊥AC，
1 1
∴S = AD⋅CD= AC⋅DE，
△ADC 2 2
AD⋅DC 12×9 36
∴DE= = = （米），
AC 15 5
36
故小路DE的长为 米．
5
19．（8分）（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，
AB∥DC，AB⊥BC，以BD为折痕，将长方形ABCD折叠，使AD交BC于点E，
点A落在点F处．
(1)求证：BE=DE；
(2)若AB=2，AD=3，求BE的长．
【答案】(1)见解析
13
(2)
6
【分析】（1）由折叠可得：∠ADB=∠FDB，再由平行线的性质得
∠ADB=∠DBE，从而得到∠DBE=∠FDB，根据等角对等边即可得出结论；
（2）先根据平行线的性质与垂直定义求得∠A=90°，再由折叠的性质得由折叠可得：
BF=AB=2，DF=AD=3，∠F=∠A=90°，然后设BE=DE=x，则
EF=DF−DE=3−x，最后在Rt△BEF中 ，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠可得：∠ADB=∠FDB，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FDB，
∴BE=DE．
（2）解：∵AB⊥BC
∴∠ABC=90°
∵AD∥BC
∴∠A+∠ABC=180°
∴∠A=90°
由折叠可得：BF=AB=2，DF=AD=3，∠F=∠A=90°
由（1）知：BE=DE
设BE=DE=x，则EF=DF−DE=3−x，
在Rt△BEF中 ，由勾股定理，得
x2=22+(3−x) 2
13
解得：x= ，
6
13
即BE的长为 ．
6
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线的性质，熟练
掌握等角对等边、勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
20．（8分）（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，∠C=90°，CD=3，
BC=4，AB=13，AD=12，求图中阴影部分的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的
长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边
移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了 米
(5❑√3−2❑√6)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据勾股定理和∠BCD=90°，CD=3，BC=4，可以先求出DB的长；再根据勾
股定理的逆定理可以判断△ABD的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次
利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．
【详解】解：（1）∵∠C=90°，BC=4，CD=3，
∴ ，
BD=❑√BC2+CD2=❑√42+32=5
∵AB=13，AD=12，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°
∴AD⊥BD，
∴阴影部分的面积=12×5÷2−3×4÷2=30−6=24
（2）在Rt△ABC中，
∵∠CAB=90°，BC=10米，AC=5米
∴ 米
AB=❑√CB2−AC2=❑√102−52=5❑√3
∵CD=10−0.5×6=7米
∴ 米
AD=❑√72−52=2❑√6
米
∴BD=AB−AD=(5❑√3−2❑√6)
∴船向岸边移动了 米
(5❑√3−2❑√6)
21．（10分）（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81
法解出了此题，他的做法如下：
①如图1，作一条长为16的线段CD；
②过点C在线段CD上方作AC⊥CD，使AC=3；过点D在线段CD下方作BD⊥CD，
使BD=9；
③在线段CD上任取一点O，设CO=x；
④根据勾股定理计算可得，AO=__________，BO=__________（请用含x的代数式表
示，不需要化简）；⑤如图2，过点B作BA′⊥AC交AC的延长线于A′，则
C A′=BD=9，BA′=CD=16，连接AB交CD于点O′，当A、O、B三点共线时（即
O在O′处），AO+BO取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，
求 的最小值．
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81
（2）请结合第（1）问，直接写出 的最小值．
❑√(x−1) 2+25+❑√(x−16) 2+9
【答案】（1） ， ； ．（2）17
❑√9+x2 ❑√(16−x) 2+81 20
【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理．
（1）①由于△AOC和△BOD都是直角三角形，故AO，BO可由勾股定理求得；
②求出AB的值便是AO+OB的值最小即可；
（2）设点 ，则 ，由
x−1=a ❑√(x−1) 2+25+❑√(x−16) 2+9=❑√a2+25+❑√(a−15) 2+9
（1）中得方法知 的最小值为： ．
❑√a2+25+❑√(a−15) 2+9 ❑√(5+3) 2+152=17
【详解】（1）解： ，
AO=❑√AC2+CO2=❑√9+x2，
BO=❑√OD2+BD2=❑√(16−x) 2+81
故答案为： ， ；
❑√9+x2 ❑√(16−x) 2+81
⑤由题意可得，A A′=AC+A′C=12
∴ ，
AB=❑√A A′2+A′B2=❑√122+162=20
∴AO+BO=AO′+BO′=20为最小值，
即 的最小值为 ．
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81 20
（2）解： 设点 ，则 ，
x−1=a ❑√(x−1) 2+25+❑√(x−16) 2+9=❑√a2+25+❑√(a−15) 2+9
如图，线段CD=15，AC=5，BD=3，设CO=a；过点B作BA′⊥AC交AC的延长
线于A′，则C A′=BD=3，BA′=CD=15，连接AB交CD于点O′，当A、O、B三点
共线时（即O在O′处），AO+BO取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可
得，A A′=AC+A′C=8
∴ ，
AB=❑√A A′2+A′B2=❑√82+152=17
由（1）中得方法知 的最小值为 ，
❑√a2+25+❑√(a−15) 2+9 17
即 的最小为17．
❑√(x−1) 2+25+❑√(x−16) 2+9
22．（10分）（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该
市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以10km/h的速度移动，已知城市
A到BC的距离AD为160km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心B的200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台
风影响的时间持续多少小时？
【答案】(1)台风中心经过30h从B点移到D点；
(2)A市受到台风影响的时间持续24h．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关
键．
（1）先利用勾股定理求出BD，即可求解；
（2）在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，利用勾股定理求出ED，进
而求出EF的长，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，
在 中， ，
Rt△ABD BD=❑√AB2−AD2=❑√3402−1602=300km
∴t=300÷10=30，
答：台风中心经过30h从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，
∵AD⊥BC，
∴DE=DF，
在 中， ，
Rt△AED ED=❑√AE2−AD2=❑√2002−1602=120km∴EF=2ED=240km，
∴t=240÷10=24，
答：A市受到台风影响的时间持续24h．
