文档内容
期末考试相交线与平行线压轴题考点训练（一）
1．（2021春·重庆巫溪·七年级统考期末）已知： ，点E在CD上，点F，G在AB
上，点H在AB，CD之间，连接EF，EH，CH， ， ．
(1)如图1，求∠H的度数．
(2)如图2，CM平分 ，EM平分 ，CM与EM相交于M，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，FN平分 交CD于N，若 ，求：
的度数．
【答案】(1)90°；(2)证明见详解；(3)60°
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，过点M作MQ∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）结合（2）中结论，根据平行线的性质解答即可．
【解析】(1)证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠HEF+∠H＝180°，
∵∠HEF＝90°，∴∠H＝180°﹣∠HEF＝90°；
(2)证明：如图：
过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，∴HP∥CD，
∵GM平分∠AGH，
∴∠AGM＝∠HGM＝ ∠AGH，
∵EM平分∠CEH，
∴∠HEM＝∠CEM＝ ∠CEH，∵MQ∥AB，
∴∠AGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠AGM+∠MEC，
∵HP∥AB，
∴∠AGH＝∠GHP＝2∠AGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HEC＝2∠MEC，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠AGM+2∠MEC＝2（∠AGM+∠MEC），
∴∠GHE＝∠2GME；
(3)
解：过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠NFE：∠MGH＝5：1，设∠NFE＝5x，∠MGH＝x，
由（2）可知：∠AGH＝∠AFE =2∠MGH＝2x，
∵FN平分∠BFE，∴∠BFE＝2∠NFE，∴∠BFE=10x，
∵∠BFE+∠AEF＝180°，
∴10x+2x =180°，解得x=15°∴∠AGH=30°
∵∠AGH+∠CEH=90°
∴∠CEH=90°-30°=60°
∴∠HEC的度数为60°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义．解题的关键是掌握平行线的性质并
作出辅助线．
2．（2022春·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知 ，E、F分别在 上，
点G在 、CD之间，连接 ．(1)当 时， 平分 平分 ；
①如图1，当 时，则 ______°；
②如图2，在 的下方有一点Q，若 恰好平分 恰好平分 ，求
的度数；
(2)在 的上方有一点O，若 平分 ．线段 的延长线平分 ，则当
时，直接写出 与 的关系．
【答案】(1)①45；② ；(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点 作 ，则 设 ， ，
，根据平行线的性质求得 ，进而根据
即可求解．
【详解】（1）①如图，分别过点 作 ，
，
，
，，
同理可得 ，
，
，
平分 平分 ；
，
，
故答案为： ，
②如图，过点 作 ，
，
恰好平分 恰好平分 ，
， ，
设 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知 ，
；
（2）如图，在 的上方有一点O，若 平分 ，线段 的延长线平分 ，设
为线段 的延长线上一点，则 ，
设 ，
如图，过点 作 ，则
，
，
由（1）可知
即
【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关
键．
3．（2022春·辽宁大连·七年级统考期末）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P
为AB、CD之间的一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，点G在射线FC上，PG平分 ， ，探究 与 之
间的数量关系．并说明理由；(3)如图3， ， ．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，
若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析；
(3)20°
【分析】（1）过P作 ，根据角的和差得到 ，得到
，再根据平行的传递性可得 ．
（2）过P作 ，平行线的传递性得出 ；根据平行线的性质和角平分线的
性质得到 ； ，等式变换得
，以及角的替换可得；
（3）过P作 ，过H作 ，过Q作 ,根据平行线的性质及角的和差
求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，过P作 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2） ．
证明：如图2，过P作 ．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵PG平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图3，过P作 ，过H作 ，过Q作 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，∴设 ，则 ， ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴
．
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的性质的判定与性质，解题的关键熟练掌握平行线的判定定理
与性质定理及如何作辅助线．
4．（2022春·四川广元·七年级统考期末）已知直线 ，直线 和 ， 分别交于 ，
两点，点 ， 分别在直线 ， 上，且位于直线 的右侧，动点 在直线 上，且不和点
， 重合．
(1)如图1，当动点 在线段 上运动时，求证： ．
(2)如图2，当动点 在点 上方运动时（ ， ， 不在同一直线上），请写出 ，
， 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当动点 在点 下方运动时（ ， ， 不在同一直线上），直接写出 ，， 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2) ，理由见解析；(3)
【分析】（1）过点 作 ，即可得 ，即有 ， ，
结合 ，即可证明；
（2）过点 作 ，即可得 ，即有 ， ，结合
，即可证明；
（3）过点 作 ，即可得 ，即有 ， ，结合
，即可证明 .
【解析】（1）证明：过点 作 ，如图1，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ；
（2）
，理由如下：
过点 作 ，如图2，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ．
∵ ，
∴ ；
（3）
，理由如下：
过点 作 ，如图3，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，添加合理的辅助线并掌握两直线平行内错角相等
是解答本题的关键．
5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图1， ， 的平分线交 于点
G， ．
(1)试说明： ；
(2)如图2，点F在 的反向延长线上，连接 交 于点E，若 ，求
证： 平分 ；(3)如图3，线段 上有点P，满足 ，过点C作 .若在直线 上
取一点M，使 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)5或
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得
，然后根据等量代换即可得证；
（2）过点 作 于 ，先根据平行线的性质可得 ，
从而可得 ，则 ，再根据角平分线的定义即可
得证；
（3）设 ，则 ， ，先根据平行线的性质可得
，从而可得 ，再根据平行线的性质可得
，从而可得 ，然后分①点 在 的下方和
②点 在 的上方两种情况，根据角的和差可得 和 的值，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图，过点 作 于 ，
，
由（1）已证： ，
，即 ，
又 ，
，，
又∵ ，
∴ 平分 ．
（3）解：设 ，
∵ ，
∴ ， ，
，
，
由（1）已得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点 在 的下方时，
∴ ，
，
∴ ；
②如图，当点 在 的上方时，
∴ ，
，∴ ；
综上， 的值是5或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，较难的是题（3），正确分
两种情况讨论是解题关键．
6．（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动
点，满足 ， ，DG平分 ．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明： ；
②试说明 ；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；
（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分 ，交BC于点M，
DN平分 ，交EF于点N，连接NG，若 ， ，求
的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由见解析；
(3)
【分析】（1）①根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝
∠DGB，则 ，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明
；②过点G作GH DB交DA于点H，根据平行线的性质求解即可；（2）过点G作 交AD于K，则 ，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝
∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）设 ，则 ，
，由角平分线的定义可得 ，然后分
别求出 ， ， 进行求解即可．
【解析】（1）证明：①∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB，
∴ ，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG，
∴ ；
②过点G作GH DB交DA于点H，
由①得 ，
∴GH DB EF，
∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，
∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，
∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；
（2）
解：过点G作 交AD于K，同理可证 ，
∴ ，
∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，
∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）
解：设 ，则 ，
， ，
∵DN平分∠PDM，
∴ ，
∴ ，
，
∵DG⊥NG，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计
算，解题的关键是能够熟知平行线的性质与判定条件．
7．（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）如图1，已知， ，点 在 上，点 ，
在 上，点 在 ， 之间，连接 ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2， 平分 交 于 ， ， 平分 ，
，
①若 ， 时，求 的度数；
②如图3， 平分 ， ， 交于点 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析；
(2)① ；② ．
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，结合题意即可得出
，从而证明 ；
（2）①如图，过点H作 ，即得出 ．由
，可设 ，则 ．再根据平行线的性质和
角平分线的定义即可得出方程 ，解出x，从而可求出答案；
②如图，过点M作 ．由题意可设 ，则 ．再根据平行线的
性质和角平分线的定义即可得出方程组 ，解出 ，最后作比求值
即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；（2）①解：如图，过点H作 ．
∴ ．
由题意可知： ，
故可设 ，则 ．
∵ ，
∴ ， ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ．
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②解：如图，过点M作 ．
由题意可设 ，则 ．
∵ ， 平分
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ．
即 ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线
并利用数形结合的思想是解题的关键．
8．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知， 平分 交射线 于点 ，
．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 是射线 上一点，过点 作 交射线 于点 ，点 是 上一
点，连接 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，点 为 延长线上一点， 平分 交于点 ，若 平分 ， ， ，求 的度数．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)
【分析】（1）根据平行线的定义得出 ，等量代换得出 ，根
据平行线的判定定理即可得证；
（2）过点E作 交DA于点H，则 ， ，根据平行线的性
质得出 ，根据 ， ，等量代换即可
求解；
（3）由 平分 ，得出 ，设 ，则
，则 ，根据平行线的性质得出
，根据垂直的定义得出 ，则
，根据 平分 ，得出
，最后根据 建立方程，解方
程得出 ，进而即可求解．
【详解】（1）∵DE是 的平分线，
∴
∵ ，
∴
∴
（2）过点E作 交DA于点H，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（3）解：∵ 平分 ，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
， ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，一元一次方程的
应用，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021春·湖北宜昌·七年级统考期末）已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且
AB∥CD．
（1） 说明：∠1=∠2；
（2） 如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，
①求：∠AEM+∠CFN的度数；
②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；
（3） 如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一
点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．【答案】（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．
【分析】（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；
（2）①过拐点作AB的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；
②过点P作AB的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；
（3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．
【详解】（1）
，
；
（2）①分别过点M，N作直线GH，IJ与AB平行，则 ，如图：
， ， ，
；
②过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可得： ， ，
∵EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，
∴ ，
即 ；
（3）分四种情况进行讨论：
由已知条件可得 ，
①如图：
，
②如图：， ；
③如图：
， ；
④如图：
， ；
综上所述，∠GQH的度数为38°、74°、86°、122°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．
10．（2021春·重庆江北·七年级统考期末）如图1， // ，点 、 分别在 、
上，点 在直线 、 之间，且 ．
（1）求 的值；
（2）如图2，直线 分别交 、 的角平分线于点 、 ，直接写出
的值；
（3）如图3， 在 内， ； 在 内， ，
直线 分别交 、 分别于点 、 ，且 ，直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2） 的值为40°；（3） ．
【分析】（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，
∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的
性质及 ，可得 ，结合
，可得
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】证明：过点O作OG∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴
∴
即
∵∠EOF=100°，
∴∠ ；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∵
∴
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴
∴
=x-y=40°，
故 的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴ 即
∵ FK在∠DFO内，
∴ ，
∵
∴ ∴
即 ∴ 解得 ．经检验，符合题意，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的
关键．
11．（2021春·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，点 在直线 、 之间，且
．
（1）求证： ；
（2）若点 是直线 上的一点，且 ， 平分 交直线 于点 ，若 ，求 的度数；
（3）如图3，点 是直线 、 外一点，且满足 ，
， 与 交于点 ．已知 ，且 ，则
的度数为______（请直接写出答案，用含 的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2）10°；（3）
【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出
结合已知条件 ，得出
即可证明；
（2）过点E作HE∥CD，设 由（1）得AB∥CD，则
AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出 再由 平分 ，
得出 则 ，则可列
出关于x和y的方程，即可求得x，即 的度数；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根
据 和 ，得出 根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出
即 根据NP∥AB，得出
再由 ，得出 由AB∥QM,得出
因为 ，代入 的式子即可求出 ．
【详解】（1）过点E作EF∥CD，如图，
∵EF∥CD,
∴
∴
∵ ,∴
∴EF∥AB，
∴CD∥AB；
（2）过点E作HE∥CD，如图，
设
由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，
∴
∴
又∵ 平分 ，
∴
∴
即
解得： 即 ；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，
由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，
∵NP∥CD，CD∥QM，
∴ ,
又∵ ，
∴
∵ ,
∴
∴
又∵PN∥AB，
∴∵ ,
∴
又∵AB∥QM，
∴
∴
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等
的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
12．（2021春·江苏·七年级统考期末）如图，直线 ，一副直角三角板
中， ．
（1）若 如图1摆放，当 平分 时，证明： 平分 ．
（2）若 如图2摆放时，则
（3）若图2中 固定，将 沿着 方向平移，边 与直线 相交于点 ，作
和 的角平分线 相交于点 （如图3），求 的度数．（4）若图2中 的周长 ，现将 固定，将 沿着 方向平
移至点 与 重合，平移后的得到 ，点 的对应点分别是 ，请直接写
出四边形 的周长．
（5）若图2中 固定，（如图4）将 绕点 顺时针旋转， 分钟转半圈，旋转至
与直线 首次重合的过程中，当线段 与 的一条边平行时，请直接写出旋转
的时间．
【答案】（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s
【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可
得出答案；
（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，
可得出答案；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①
当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【详解】（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°，
故答案为：15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝ ∠FGQ，∠HFA＝ ∠GFA，
∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝ ∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝ ∠FGQ＝ （180°−105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；
（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，
∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，
∵DE＋EF＋DF＝35cm，
∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），
即四边形DEAD′的周长为45cm；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴3t＝30，
解得：t＝10；
BC∥EF时，如图6，∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴3t＝120，
解得：t＝40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一
条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，
利用平行线性质是解题关键．
13．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地
带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯 射出的光
束自 顺时针旋转至 便立即回转，灯 射出的光束自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 射出的光束转动的速度是 /秒，灯 射出的光束转动
的速度是 /秒，且 、 满足 ．假定这一带水域两岸河堤是平行的，
即 ，且 ．
（1）求 、 的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯 射出的光束到达 之前，若两灯射出的光束交于点
，过 作 交 于点 ，若 ，求 的度数；
（3）若灯 射线先转动30秒，灯 射出的光束才开始转动，在灯 射出的光束到达 之
前， 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
【答案】（1） ， ；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】（1）解出式子 即可；
（2）根据 ，用含t的式子表示出 ，根据（2）中给出的条件得出方程式
，求出 t的值，进而求出
的度数；
（3）根据灯B的要求，t<150，在这个时间段内A可以转3次，分情况讨论．
【详解】解：（1） ．
又 ， ．
， ；
（2）设 灯转动时间为 秒，
如图，作 ，而
， ，
，
，，
，
（3）设 灯转动 秒，两灯的光束互相平行．依题意得
①当 时，
两河岸平行，所以
两光线平行，所以 ，所以， ，即： ，解得 ；
②当 时，
两光束平行，所以 ，两河岸平行，所以 ，
所以， ，解得 ；
③当 时，图大概如①所示： ，解得 （不合题意）
综上所述，当 秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】这道题考查的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对
应角列出方程是解题的关键．
14．（2021春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝
∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于
点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．
（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点 作 ，当点 在点 的左侧时，根据 ，
，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求 的度数；
②如图3，过点 作 ，当点 在点 的右侧时， ， ，根据平
行线的性质及角平分线的定义即可求出 的度数．
【详解】解：（1）如图1，过点 作 ，
则有 ，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点 作 ，
有 ．
，
．
．
．
即 ，平分 ， 平分 ，
， ，
．
答： 的度数为 ；
②如图3，过点 作 ，
有 ．
，
， ． ．
．
即 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
．
答： 的度数为 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性
质．
15．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图1，直线 与直线 、 分别交于点
E、F， 与 互补．
(1)试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2， 与 的角平分线交于点P， 与 交于点G，点H是 上一点，且 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，K是 上一点使 ，作 平分
，问 的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．
【答案】(1) ；见解析
(2)见解析
(3) 的大小不会发生变化，其值为 ，见解析
【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知 ，进而可证
；
（2）利用（1）中平行线的性质推知 ，然后根据角平分线的定义、三
角形内角和定理证得 ，结合 ，可证 ；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得 ；
再由邻补角的定义、角平分线的定义推得 ，然后由图形中
角与角的和差关系求得 即可．
【详解】（1）如图1，∵ 与 互补，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，由（1）知， ，
∴ ．
又∵ 与 的角平分线交于点P，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ；
（3） 的大小不会发生变化，其值为 理，由如下：
∵
∴
∵
∴
∴
∵ 平分∴
∴
∴ 的大小不会发生变化，其值为 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的
性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关
系来寻找角的数量关系．
