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期末测试压轴题模拟训练（三）
一、单选题
1．若关于 的不等式组 有且仅有有4个整数解，且使得关于 的分式方程 有整
数解，则满足条件的所有整数 的和为（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．9
【答案】C
【详解】解：
解不等式①得： ，解不等式②得： ，∴该不等式组的解集为：
∵该不等式组有且仅有4个整数解，∴ ，解得： ，
解分式方程 ，得 ，
∵分式方程 有整数解即： 是整数且 ，∴ 的值是：-3，1，∴它们的和为-2；
故选：C．
2．如图，点 ， ， 在一条直线上， ， 均为等边三角形，连接 和 ， 分别交 、
于点 、 ， 交 于点 ，连接 ， ．下列结论：① ；② ；③
为等边三角形；④ 平分 ．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，
∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中， ，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；
在△ABP和△DBQ中， ，∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；
∵△ABE≌△DBC∴AE=CD，S =S ，∴点B到AE、CD的距离相等，∴B点在∠AMC的平分线上，
△ABE △DBC
即MB平分∠AMC；∴④正确； 故选：D．
3．如图， 平分 交 于点E， ， ，M，N分别是 延长线上
的点， 和 的平分线交于点F．下列结论：① ；② ；③ 平分
；④ 为定值．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF= ×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若
△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3
【答案】B
【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A（0，2），∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中， ，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，∴2＜m＜3，
故选：B．
5．若关于x的不等式组 恰有3个整数解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：解不等式 得： ，解不等式 得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
该不等式组恰有3个整数解， 该不等式组的整数解为：2，3，4，则 ，解得： ，
∴整数a的值为0，1，2，3，4，解分式方程 得： 且 ，
该分式方程有非负整数解，∴将整数a的值0，1，2，3，4分别代入，得：
当 时， （不是整数，不符合题意，舍去），
当 时， （是整数，符合题意），
当 时， （不是整数，不符合题意，舍去），
当 时， （是整数，但与 矛盾，故不符合题意，舍去），
当 时， （不是整数，不符合题意，舍去），
综上所述，符合条件的整数a的值为1，∴符合条件的所有整数 的和是1．
故选：A．
二、填空题
6．如图，在 中， ， 、 分别为 和 的角平分线， 的周长为
20， ，则 的长为________________．
【答案】8
【详解】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE= ∠ABC，∵∠ABC=2∠C，∴∠CBE=∠C，∴BE=CE，∴BE+AE=CE+AE=AC…①，
过点D作DF//BE交CE于点F,如图所示：
则∠CDF=∠CBE，∠AFD=∠AEB，
∴∠CDF=∠CBE=∠C∴DF=CF
∵∠AEB=∠C+∠CBE=2∠C，∴∠AFD=2∠C，∴∠ABC=∠AFD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD与△AFD中, ，∴△ABD≌△AFD(AAS)，∴AB=AF，BD=DF，∴DF=BD=CF
∴AB+BD=AF+DF=AF+CF=AC…②，由①②可得，BE+AE=AB+BD；
∵△ABE的周长为20，BD=4，∴AB+BE+AE=AB+BD+AB=20，∴AB=8；
故答案为：8.
7．在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边
长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多
彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：
（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______；
（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形，得到图（2），
此图形的周长为_________；（3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____．
【答案】 2
【详解】（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为 ；
（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形，得到图（2），
原图形的周长为4a，
观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故此时图形的周长为 ；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又
减少一个相同的小正方形，即面积不变．
∴经过n次分形得到的图形周长是4a×2n= ，面积是 ．故答案为 ； ；2； ； ．
8．如图，△ABC中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ 6，BC ＝ 8，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终
点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动
速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥ 于E，当点
P运动 _________ 秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
【答案】1或 或12
【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，QC=8-3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC=∠QFC=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，∴PC=CQ，即6-t=8-3t，∴t=1；②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=t-6，QC=3t-8，
∵由①知：PC=CQ，∴t-6=3t-8，∴t=1；∴t-6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，CP=6-t=3t-8，∴t= ；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，t-6=6，∴t=12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或 或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或 或12．
三、解答题
9．综合与实践
（1）观察理解：如图1， 中， ， ，直线 过点 ，点 、 在直线 同侧，
， ，垂足分别为 、 ，由此可得： ，所以 ，又
因为 ，所以 ；所以 ，又因为 ，所以
（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2， 且 ， 且 ，利用（1）中结论，请按照图中所标
注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ______；
（3）类比探究：如图3， 中， ， ，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至 ，
连接 ，求 的面积
（４）拓展提升：如图4，点B，C在 的边AM，AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、
∠2分别是 、 的外角，已知 ， ，求证：
（5）拓展应用：如图5，在 中， ， ，点D在边BC上， ，点E、F在线段AD上， ，若 的面积为15，则 与 的面积之和为______．
【答案】（1）AAS；（2）50；（3）8；（4）见解析；（5）5
【详解】解：（1）如图1中，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，故答案为：AAS．
（2）如图2中，
∵ ， ， ， ，由（1）得： ， ，
∴ ， ， ， ，
∴
故答案为50.
（3）如图3，过点 作 于E，
由旋转得： ，∵ ，
由（1）可知 ，
∴ ，∴ ．
（4）如图4中，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ， ，
∴ ．
（5）如图5中，∵ 的面积为15， ，∴ 的面积是： ，
由图4中证出 ，∴ 与 的面积之和等于 与 的面积之和，
即 等于的面积是5.
10．阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿
的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点
与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角．
探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰
三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿
的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点
重合．
（1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______．
（2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设
）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则
与 （不妨设 ）之间的等量关系为______．（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ， ， ，发现 和 的两个角都是此三角形
的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个
三角形需要经过______次折叠．
（4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角
形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果；
【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）7次，4次；（4）16°，160°
或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
【详解】解：（1）∵折叠后，B，C重合，∴∠B=∠C；∠B=2∠C，
小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB 折叠，∴∠B=∠AA B ；
1 1 1
又∵将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，此时点B 与点C重合，∴∠A B C=∠C；
1 1 1 2 1 1 1
∵∠AA B =∠C+∠A B C（外角定理），∴∠B=2∠C．故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．
1 1 1 1
（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分；
1
将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，剪掉重复部分，
1 1 1 2
将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，点B 与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
2 2 2 3 2
∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA B ，∠C=∠A B C，∠A B C=∠A A B ，
1 1 2 2 1 1 1 2 2
∴根据三角形的外角定理知，∠A A B =∠C+∠A B C=2∠C；
1 2 2 2 2
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA B -∠A B C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
1 1 1 1
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．
故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．
（3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，
当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．故答案为：7，4．
（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∵最小角是4°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整
数）．由题意，得4m+4mn+4=180，∴m（n+1）=44，∵m，n都是正整数，∴m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；
当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°；当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°；
当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°；当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°；
当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°；
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
11．（1）如图1，在三角形 中， 平分 ，点 在边 上， ，试说明 与 的位
置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，若 ， 的平分线交 于点 ，连接 ．求证：
；
（3）如图3，在前面的条件下，若 的平分线与 、 分别交于 、 两点，且 ，
求 的度数．
【答案】（1）DE∥BC，证明见解析；（2）证明见解析；（3）72°
【详解】解：（1）结论：DE∥BC．理由：如图1中，
∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠2=∠BCD，∴DE∥BC．
（2）证明：如图2中，∵DE∥BC，∴∠EDB+∠DBC=180°，∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，
∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，∴2∠FDC+2∠CDB=180°，∴∠FDC+∠CDB=90°，
∴FD⊥BD，∴∠DBF+DFB=90°．
（3）如图3中，
∵∠BGC=54°，FD⊥BD，∴∠DHG=36°，∴∠FDC+∠HCD=36°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=72°，∴∠DEC=180°-（∠EDC+∠ACD）=180°-72°=108°，
∵DE∥BC，∴∠ACB+∠DEC=180°，∴∠ACB=72°．
