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专题18.13 矩形（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·上海·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）有一个内角是直角的四边形 的边长
， ， ， ，那么下列结论错误的是（ ）
A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角相等
C．四边形的对角线互相垂直 D．四边形的对角线相等
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形 中，E、F为AC上一点， ，
，连接 、 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·八年级竞赛）在四边形 中， ， 分别平分 ，点
F为 的中点，连接 ，则下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．
， ．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O
重合．则点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
5．（2022上·山西忻州·九年级统考阶段练习）图1是某品牌畅销的冰箱，图2是它的侧面矩形示意图，
对角线 米，高 与宽 的长度比为 ，则冰箱的宽 的长度为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．0.7米 D．0.8米
6．（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在 中， ，点D为 中点．
， 绕点D旋转， 分别与 交于E，F两点．下列结论中错误的是
（ ）
A． B．
C． D． 始终为等腰直角三角形
7．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在矩形 中，对角线 、 相
交于点 ， ， 平分 交 于 ，以 为边向矩形内作等边三角形 ，连接 ．
的度数为（ ）A． B． C． D．
8．（2023上·广西桂林·八年级统考期末）如图，在 中， 的平分线
交 于点 ，点 分别是 上的动点，若 的最小值为3，则 的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
9．（2024上·云南昆明·九年级云南师范大学实验中学校考期末）如图，在 中， ，由图
中的尺规作图痕迹得到的射线 与 交于点E，点F为 的中点，连接 ，若 ，则
的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）三国时期，我国数学家赵爽
创造了一副“勾股图方图”，证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形和一个小正
方形，如图大正方形 的面积为5，小正方形 的面积为1，分别取 和 的中点M，N，连
接 ，则 的长为 （ ）A． B．2 C． D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）已知，矩形 ，点 在边 上，
点 在边 上，连接 、 交于点 ．若 ， ， ， ．则 ．
12．（2024·全国·九年级竞赛）如图 是一个矩形，在 上各取一点G、H，使得
，再取 的中点E、F．连接 ，已知 ， ，
则四边形 的面积为 ．
13．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中，对角线 相交于点
，垂足为 ，则 的值为 ．14．（2021上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，直线l⊥l，l⊥l，垂足分别为P、Q，一块含有45°
1 3 2 3
的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l、l、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于 ，
1 2
则OQ的长等于 ．
15．（2022上·浙江宁波·九年级统考期末）在芯片制作过程中，需要对 cm， cm的矩形
区域进行划区处理，划成如图所示的“ ”的形式，其中 为竖式矩形 ， 为横式矩
形 ，则芯片被利用区域的长AG的值为 cm．
16．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在矩形 中，点E在边 上， 沿 折
叠得到 ，且点B，F，E三点共线，连接 ，若 ， ，则 ， ．17．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，长方形 中， ，点E
为射线 上一动点（不与点D重合），将 沿 翻折得到 ，连接 ，若 为直角
三角形，则 的长为 ．
18．（2022·江苏南京·九年级统考自主招生）如图，在等腰直角三角形 中， ，内取一点
，且 ， ，则 ＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点E，F分别在 ，
上， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2） ， ， ，求 的长．20．（8分）（2020上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图所示，四边形 是长方形，点 在 边
上，以 为折痕，将 向上翻折，点 恰好落在 边上的点 处，已知长方形 的周长 .
若 长为 ，则 点坐标可表示为 ；
若 点坐标为 ， 求点 和点 的坐标.
21．（10分）（2024下·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，在平行四边形
中， ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ，求 的长．22．（10分）（2023上·江西九江·九年级统考期末）课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在 中， ， 是 边上的中线．
求证： ．
证明：如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在 中， 是 边上的高， 是 边上的中线， 是 的中点，连接 并
延长交 于点 ，连接 ．求证： ．
23．（10分）（2023下·浙江金华·八年级校联考期中）我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果
我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
【发现与证明】
在 中， ，将 沿 翻折至 ，连接 ．结论1： ；
结论2： 与 重叠部分的图形是等腰三角形．
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在 中， ，将 沿 翻折至 ，连接 ，已知 ，当 的长为
时， 是直角三角形．
24．（12分）（2023下·山西运城·八年级统考期末）综合与实践：
问题情景：如图，在 中， 为对角线 ， 的交点， ， ， ，
为 上一动点，连接 并延长交 于点 ．
独立思考：（1）当 时，求 的度数；
实践探究：（2）当四边形 为平行四边形时，求 的长；
问题解决：（3）当点 在 的垂直平分线上时，直接写出 的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据已知条件判断出平行四边形，再根据有一个角是直角判断矩形，最后根据矩形的性质判断正确选项即可．
解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵有一个内角是直角，
∴四边形 是矩形，
∴对角线互相平分，对角相等，对角线相等，故A，B，D正确，不合题意；
对角线不一定互相垂直，故C错误，符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件判断出该四边形是矩形．
2．B
【分析】先证明 ，即可得出 ，再根据矩形的性质得出 ，
最后根据等边对等角即可求解．
解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握矩形对边平行且相等，
等腰三角形“等边对等角”．
3．D
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，两直线平行，同旁内角互补，全等三角形的判定与性质等
知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，作辅助线，在 上截取 ，连接
，由题意可得出 ，故 ，根据题意判定 与
，进一步推论出 即可．解：在 上截取 ，连接 ．
∵ ， 分别平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵点F为 的中点，
∴ ，
由题意可知，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
4．C
【分析】设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．
解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=（8-x）2，
∴x=3，
∴D ，
故选C．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
5．B
【分析】根据题意设 米，则 米，然后利用勾股定理构建方程求出a的值即可．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
设 米，则 米，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （负值已舍去），
∴ （米），
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接 ；A：证 即可判断；B：由题
意可推出 ， ，据此即可判断；C：根据 即可判断；D：根据
即可判断；
解：连接 ，
∵ 是等腰直角三角形，且D为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴ ．
故A选项中的结论正确．
∵ ，
∴ ，
即 ．
∴ ，
又∵ ，
而 与 不一定相等，
∴ 不一定等于 ．
故B选项中的结论错误．
在 中，
∴ ．
故C选项中的结论正确．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形．
故D选项中的结论正确．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形．过 作
于 ，推出 是等边三角形，令 ，则 ，得到 ，由勾股定理求出
，由 和 是等腰直角三角形，据此求解即可．
解：过 作 于 ，四边形 是矩形，
， ， ， ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
令 ，则 ，
，
，
平分 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：C．8．D
【分析】本题考查了轴对称图形的性质、直角三角形的特征、全等三角形的判定及性质，作点P关于
直线 的对称点 ，连接 交 于点Q，根据轴对称图形的性质及全等三角形的性质得点 在边
上，结合 的最小值为3和直角三角形的特征即可求解．
解：作点P关于直线 的对称点 ，连接 交 于点Q，如图：
则 ，
∵根据对称的性质知 ，
∴ ，
又∵ 是 的平分线，点P在 边上，点Q在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴点 在边 上．
∵当 时，线段 最短．
∵ 的最小值为3，即 最短
∵在 中，
∴
故选D
9．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识．
由题意得 是 的平分线，再由等腰三角形的性质得 ， ，由勾股定理
得 ，然后由直角三角形斜边上的中线性质得 ，据此求解即可．解：由图中的尺规作图得： 是 的平分线，
∵ ，
∴ 是等腰三角形
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵点F为 的中点，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选：D．
10．C
【分析】设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，根据勾股定理解 求出x的值，作
交 的延长线于点K，易证四边形 是矩形，再用勾股定理解 即可．
解： 大正方形 的面积为5，小正方形 的面积为1，
， ，
设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，即 ，
则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
，
M，N分别是 和 的中点，
， ．
如图，作 交 的延长线于点K，则 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理中的弦图问题，涉及矩形的判定与性质，解题的关键是求出全等直角三角
形中较短的直角边长．
11．6
【分析】过点 作 ，垂足为 ，交 于点H，证明 ，得出 是等腰直
角三角形，进而得出四边形 是平行四边形，即可求解．
解：如图所示，过点 作 ，垂足为 ，交 于点H，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ,∴
∴ , ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确的添加
辅助线是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得 、
为等边三角形，结合E、F为 的中点可推出四边形 为矩形，据此即可求解．
解：∵ ， ，
∴
∵
∴ 、 为等边三角形，
∴ ，
∵E、F为 的中点，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ， ，
∴
∴四边形 为矩形，
又 ，
∴
∴ ， ，
∴四边形 的面积为： 。故答案为：
13．
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线
段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到 为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质
和勾股定理进行求解即可．
解：∵矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．
【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得
AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
解：如图，连接PO，并延长交l 于点H，
2∵l⊥l，l⊥l，
1 3 2 3
∴l∥l，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，
1 3
∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，
∴∠PAC＝∠BCQ，
在△ACP和△CBQ中，
，
∴△ACP≌△CBQ（AAS），
∴AP＝CQ，PC＝BQ，
∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝ ，
∵AP∥BQ，
∴∠OAP＝∠OBH，
∵点O是斜边AB的中点，
∴AO＝BO，
在△APO和△BHO中，
，
∴△APO≌△BHO（AAS），
∴AP＝BH，OP＝OH，
∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝ ，
∵∠PQH＝90°，
∴PH＝ PQ＝12，
∵OP＝OH，∠PQH＝90°，
∴OQ＝ PH＝6．
故答案为：6
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等
三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．
15．
【分析】根据已知条件 cm， ，求得 cm，由图知 （cm），
，于是得到 cm，即可得到结论．
解：∵ cm， ，
∴ cm，
∵ （cm）， ，
∴ cm，
∴ （cm），
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16．
【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．设 交于H， ， ，根据勾股定理得到 ， ，解得
， ，然后根据三角形的面积求出 解题即可．
解：设 交 于H，如图：
设 ， ，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ①，
在 中， ，
∴ ②，
①②联立解得， 或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ；
，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ， ．
17．8或
【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论．分为两
种情况，一种是点 在线段 上，另一种是点 在 的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
解：∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ， ，
①如图1，当点 在线段 上时，
，
， ， 三点共线，
，
，
，
；
②如图2，当点 在 的延长线上时，， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得 ，
，
综上， 的值为8或 ．
故答案为：8或 ．
18．
【分析】过点 作 与点 ，作 于点 ，可得四边形 是矩形，有 ，
，进而求得 ， ，在 中，根据勾股定理得出
，从而得出含有 、 的式子，得出 ，即可求得 ．
解：如图：过点 作 与点 ，作 于点 ，可得矩形 ，有 ，
，
， ，
，
， 中， ， ，，
．
，
中， ，
，
，
，
．
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，用 、 表示
、 、 是本题的关键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出 ，证明四边形 是平行四边形，然后根据对
角线相等的平行四边形是矩形得出结论；
（2）证明 是等腰直角三角形，根据勾股定理可得 ，然后再求出 即可．解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：由（1）知四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关判定
定理和性质定理是解题的关键．
20． ; ， .
【分析】（1）由周长16，以及 长为 ，可得AB的长度，即可求出B的坐标；
（2）运用勾股定理得 ，可得 ，设 ，则 ，在 中，运用勾股定理
列出方程，求解方程即可.
解： ∵长方形 的周长 ， 长为
∴BC=OA=x，AB=8-x∴B
故答案为：
∵A（5，0）
∴OA=BC=5，
∴AB=OC=3
∴B（5,3）
由折叠可知：AE=OA=5，DE=OD
在 中， 由勾股定理得 ，
∴CE=1
故
设 ，则 ，在 中，
∴
解得 ，
故 .
【点拨】本题属于四边形综合题,主要考查了矩形的性质,折叠的性质,勾股定理，解答此题时注意坐标
与图形的性质的运用以及方程思想的运用.
21．（1）证明见分析；（2）
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌
握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
（1）根据四边形 是平行四边形，可得 ，再证 ，即可证明四边形 是平
行四边形，又 ，可证明四边形 是矩形；
（2）根据四边形 是矩形得出 ， ， ，证明 是等边三角形，
再根据勾股定理即可求出 的长．
解：（1）证明： ，，
，
，
四边形 是平行四边形，点E在 的延长线上，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形；
（2） 四边形 是矩形，四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
的长是 ．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中
线等于斜边的一半是解（2）的关键．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再证明四边形 是矩形即可；
（2）由直角三角形斜边中线的性质得 ，进而可证 ，然后证明 是线段 的垂
直平分线即可．
解：（1） 是 边上的中线，
．
，
四边形 是平行四边形．
，四边形 是矩形．
．
，
．
（2）如图，连接 ．
是 边上的高， 是 边上的中线，
， 是 的中点．
．
，
．
．
是 的中点，
．
是线段 的垂直平分线．
．
23．发现与证明：见分析；应用与探究：2或3或4或6
【分析】发现与证明：证明 ，得到 ，设 相交于点E，则
，即 是等腰三角形，即可证明结论2；再证明 ，根据平行线的判定即可得
到结论1；
应用与探究：分四种情况画出图形，讨论求解即可．
解：发现与证明：
结论2：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵将 沿 翻折至 ，∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 相交于点E，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
即 与 重叠部分的图形是等腰三角形．
结论1：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
应用与探究：
解：如图2，∵ ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是等腰梯形，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直角三角形，
当 ， 时，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 ， 时，如图3，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵将 沿 翻折至 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 时，如图4，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴G是 的中点，
在 中， ，
∴ ；
当 时，如图5，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵将 沿 翻折至 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，∴ ；
∴当 的长为2或3或4或6时， 是直角三角形．
故答案为：2或3或4或6
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、矩形的判
定和性质、含 角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用有关定理和性质来分析、判断、
推理或解答．
24．（1） ；（2）4；（3）2
【分析】（1）根据 ， ，推导出 ，再根据邻补角定义即可求解；
（2）根据 推导出 和 全等，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行四边形
的性质可知 ，进而得到点 为 中点，在 中，根据直角三角形 所对的直角边等于斜边
的一半，得到 的值，进而得到 值即可；
（3）如图，连接 ， ，过点 作垂线 ，证明四边形 为矩形，在 中，根据直角
三角形 所对的直角边等于斜边的一半，可得到 的值．
解：（1） ， ，
，
，
．
答： 的度数为 ．
（2） ，
， ，
，
、 为对角线，
，
，
，
，四边形 为平行四边形，
，
，
， ， ，
，
．
（3）如图，连接 ， ，过点 作垂线 ，
， ，
四边形 为平行四边形，
在线段 垂直平分线上，
，
，
四边形 为矩形，
，
，
， ，
．
【点拨】本题考查了四边形的综合应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的
性质，直角三角形的性质．
