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期末考试二元一次方程组压轴题考点训练（二）
1．数学方法：
解方程组： ，若设 ， ，则原方程组可化为
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式
子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于
m、n的二元一次方程组 的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
求关于x，y的方程组 的解．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）设 ， ，即可得 ，解方程组即可求解；
（2）设 ， ，则原方程组可化为 ，解方程组即可求解；
（3）设 ， ，则原方程组可化为， ，根据 的解为
，可得 ，即有 ，则问题得解．
【详解】（1）设 ， ，则原方程组可化为 ，
∵ 的解为 ，∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）设 ， ，则原方程组可化为 ，
解得 ，
即有 ，
解得 ，
即：方程组的解为 ；
（3）设 ， ，则原方程组可化为 ，
化简，得 ，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，即有 ，
解得： ，
故方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理
换元是解答本题的关键．
2．阅读材料：已知关于x，y的二元一次方程 有一组整数解 ，则方程 的全部
整数解可表示为 （t为整数）．问题：求方程 的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （t为整数）．
因为 ，解得
因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为 和 ．
通过你所知晓的知识，请解决以下问题：
(1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为： （t为整数），则 ______；
(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
(3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组 有几组正整数解？并写出其解．
【答案】(1)-1
(2) ， ， ．
(3)该方程组有3组正整数解，分别为： ， ， ．
【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；
（2）参考小明的解题方法求解即可；
（3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，
进而得到方程组的所有解．
【详解】（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11，
解得y=-1，
∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为： （t为整数），则θ=-1，
故答案为-1；
（2）解：方程2x+3y=24一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （t为整数）．
因为 ，解得-1＜t＜3．
因为t为整数，
所以t=0，1，2．
所以方程2x+3y=24的全部正整数解为： ， ， ．
（3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24
∵a、b均为正整数
∴
∴该方程组有3组正整数解，分别为： ， ， ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、
正常列出方程组和不等式是解答本题的关键．
3．商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类
型．如下表：
A型 B型 C型
满368减100 满168减68 满50减20
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A
型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．
(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠
券”各几张？
(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，
C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方
案？（请写出具体解题过程）
【答案】(1)5
(2)他使用了A型2张，B型3张．
(3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．
【分析】（1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求
解即可；
（2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B
型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可；
（3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的
优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案．
【详解】（1）解∶根据题意，得 (张)，
故答案为∶5；
（2）解：设他使用了A型x张，B型y张．
根据题意可得 解得
答：他使用了A型2张，B型3张．
（3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张．
根据题意可得三种情形：
①若小温使用了A，B型优惠券，则有
化简为：
∵a，b都为整数，且 ，
∴ ，
②若小温使用了B，C型优惠券，则有
化简为：
∵b，c都为整数，且 ，
∴ ，
③若小温使用了A，C型优惠券，则有
化简为：
∵a，c都为整数，且 ，
∴本小题无解．
综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．
【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二
元一次方程组是解题的关键．
4．某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原
料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
(1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为
1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计
算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：甲： 乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y， ， 表示的意义，然后在
等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙： 表示 ， 表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要
再购买 c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总
重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
【答案】(1)①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，
97200，；②1887800
(2)8吨
【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出 ， 的值并补全方程组即可；
②将 的值代入方程组即可得到结论．
（2）依据题意列出方程可求出 的值，进而可得出结论．
【详解】（1）解：甲： 表示产品的重量， 表示原料的重量，
乙： 表示产品销售额， 表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
则甲：
乙： ，
故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．
②将 代入原方程组解得 ，
产品销售额为 元，
原料费为 元，
运费为 元，
（元），
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
（2）解：设工厂原计划从 地购买的原料为 吨，则送往 地的产品为 吨，
原料总重量是产品总重量的2倍，．
解得： ．
则原料的总重量为： 吨，产品的总重量为： 吨．
产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，
．
解得： ．
．
答：需要再购买8吨的原料．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解．
5．一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、
丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 6 9 10
汽车运费（元/辆） 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各
几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为
16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆
(2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；
③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆
(3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元
【分析】（1）找准等量关系：甲运物资 乙运物资 ，甲运费 乙运费 ，列二
元一次方程组求解即可．
（2）找准等量关系：甲运物资 乙运物资 丙运物资 ，甲车数量 乙车数量 丙车
数量 辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙
丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．
（3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费．
【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆．根据题意可得： ，解得： ．
答：需要甲车8辆，乙车10辆．
（2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆．
根据题意得： ，
消去z可得： ，即： ．
由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得：
3，4，5．
解得： ， ， ．
所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6
辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆．
（3）三种方案的运费分别是：
① （元）；② （元）；③
（元）．
对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解
题的关键．
6．设 ， 都是正整数，则方程的正整数解有 __________．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】先把原方程可化为 ，后变形为 ，，根据x，y都是
正整数，可到 和 都是96的约数且 ；再别计算出 、2、3、4、时
的x的值和对应的y的值即可．
【详解】解：∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∵x，y都是正整数，
∴ 和 都是96的约数，且 ，
∴当 ，即 ，即 ；当 ，即 ，即 ；
当 ，即 ，即 ；
当 ，即 ，即 ；
当 ，即 ，即 ；
所以原方程有5组解，分别是 ， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查了二元二次方程的特殊解法、代数式的变形、正整数的性质等知识
点，掌握二元二次方程的特殊解法是解答本题的关键．
7．为推进乡村振兴工作，驻村服务队结合当地特点种植了甲、乙两种农作物，经过一段时
间，甲、乙两种农作物的种植面积之比为1:3，单位面积产值之比为5:3．为进一步提高经
济收入，服务队决定扩大两种农作物的种植面积，经统计，扩大种植面积后（单位面积的
产值不变），甲作物的总种植面积占两种作物总种植面积的 ，且两种作物的总产值提高
了 ，则甲、乙两种作物扩大种植的面积之比为______________．
【答案】
【分析】设甲作物扩大种植的面积为m，乙种作物扩大的种植面积为n，表示出扩大后甲
作物总种植面积，两种作物总种植面积，根据甲作物的总种植面积占两种作物总种植面积
，表示出 ，再令甲，乙单位面积产值分别为 ， ，列出式子
，求出甲、乙两种作物扩大种植的面积之比．
【详解】设甲作物扩大种植的面积为m，乙种作物扩大的种植面积为n
∵甲、乙两种农作物的种植面积之比为1∶3
∴令甲种农作物的种植面积为x，乙种农作物的种植面积为
∴扩大后甲作物总种植面积为 ，两种作物的总种植面积为
∵甲作物的总种植面积占两种作物总种植面积
∴
整理得，
∵单位面积产值之比为5:3
∴令甲，乙单位面积产值分别为 ，
∵两种作物的总产值提高了∴
整理得，
把 代入得，
∴
∴甲、乙两种作物扩大种植的面积之比为7:3
故答案为：7:3
【点睛】本题考查三元一次方程的应用，解题的关键是根据关系，列出方程进行求解．
8．重庆是山水之城，桥梁对跨越山水起着重要作用．重庆因桥梁数量多、规模大、技术水
平高、种类多样，而被称为“桥都”．近日，黄桷沱长江大桥正式开工建设，由于建设过
程需要大量钢材，建设单位计划租赁若干艘A、B、C三种类型货运轮船，其中三种货运轮
船每艘每天的运货量之比为 ．由于钢材生产效率不稳定，建设单位重新调整了三种
轮船的数量，其中A、C型轮船数量各减少一半，B型轮船数量增加一倍，每种类型的轮船
每艘每天运货量不变，三种轮船一天的运输总量增加了 ；若按照调整分配后的轮船的数
量，三种轮船完成钢材运输计划需要t天，但实际三种轮船一起运输一段时间后，A、C轮
船临时有其他任务被调走了，剩下的钢材由B型轮船运完，完成的总时间比调整分配后的
时间多了3天，若B型轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，则B型轮船的运
输时间为______天．
【答案】
【分析】设A、B、C三种类型货运轮船的每天的运货量分别为 ，调整前的数量
为 ,则调整后的数量为 ，根据每种类型的轮船每艘每天运货量不变，三种轮
船一天的运输总量增加了 ，三种轮船完成钢材运输计划需要t天，完成的总时间比调整
分配后的时间多了3天，B型轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，列出方程
组，解方程组即可求解．
【详解】设A、B、C三种类型货运轮船的每天的运货量分别为 ，调整前的数量
为 ,则调整后的数量为 ，依题意得，
整理得： ①
∵三种轮船完成钢材运输计划需要t天，完成的总时间比调整分配后的时间多了3天，B型
轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，∴
整理得： ②
联立①②得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
9．小王带了1千元现金，去商场购买单价67元的A种商品a件和单价为59元的B种商品
b件 ，找回了几张10元和几张1元的钞票（都不超过9张，超过就补大面额的了）.
小王算了一下，发现找得钱数不对.销售员再仔细算了一遍，发现问题是把两种商品的单价
弄反了，重新计算后，找回的10元和1元的钞票张数也恰好相反.问小王购买了______件B
种商品.
【答案】12
【分析】设买A种商品a个，B种商品b个，找回10元的m张，1元的n张，根据已知条
件列出方程组，再根据等式讨论它们的取值情况即可求解．
【详解】解：设第一次找回了10元的m张， 1元的n张， ， 且m、n为
整数，
根据题意得
由 得： ，
，
，
， ，
，
，
，
， ， ，
代入①得：
，
解得 ，
故小王购买了12件B种商品，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了多元一次方程组的应用，解本题的关键是根据已知写出其中的等量关
系，再根据取值范围求解．10．电影票有 元、 元、 元三种票价，于班长恰好用 元钱买了 张电影票，则
票价为 元的电影票比票价为 元的电影票多___________张．
【答案】
【分析】设三种票分别买了x、y、z张，则根据题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，
然后求出 的值即可．
【详解】解：设 元、 元、 元三种票分别买了x、y、z张，
依题意得： ，
由 得 ，即： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用；根据题意消去y是解题的关键．
11．为庆祝五一劳动节，某电商推出适合不同人群的甲，乙两种袋装混合坚果．其中，甲
种坚果每袋装有4千克 坚果，1千克 坚果，1千克 坚果；乙种坚果每袋装有1千克
坚果，2千克 坚果，2千克 坚果．甲，乙两种袋装坚果每袋成本价分别为袋中的 ， ，
三种坚果的成本价之和．已知 坚果每千克成本价为5元，甲种坚果每袋售价为59.8元，
利润率为30%，乙种坚果的利润率为20%．若这两种袋装坚果的销售利润率达到24%，则
该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是________．
【答案】 /
【分析】首先求出甲种坚果中每袋成本价，再求出1千克 坚果的成本价 1千克 坚果的
成本价，进而得出乙种坚果每袋售价，然后设该电商销售甲种袋装坚果 袋，乙种袋装坚
果 袋，再根据题意，列出方程求出比例关系即可．
【详解】解：∵甲种坚果每袋售价为 元，利润率为 ，
∴甲种坚果中每袋成本价为 元，
∵甲种坚果每袋装有4千克 坚果，1千克 坚果，1千克 坚果，
∴1千克 坚果的成本价 1千克 坚果的成本价 （元），
∵乙种坚果每袋装有1千克 坚果，2千克 坚果，2千克 坚果，
∴乙种坚果每袋成本价为 （元），
∴乙种坚果每袋售价为 （元），
设该电商销售甲种袋装坚果 袋，乙种袋装坚果 袋，
根据题意，可得： ，
整理，可得： ，∴ ，
∴该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用、比例的应用，理解题意，得出等量关系是解题
的关键．
12．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成
三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主
动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将A区 的面积划分给了
B区，而原B区 的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B
两区面积和的比例达到了 ．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的
分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后， 三个区域的面积比变
为 ，那么爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为_____．
【答案】 /
【分析】设爸爸计划 三个区域的面积分别为 ，然后根据小红以及爸爸的
划分方法列出方程得出 、 ，设将C区面积的 分成两部分划分给现在的A
区为m，则B区为 ．由三个区域的面积比变为 可列方程得出 ，进而
得出答案．
【详解】解：设爸爸计划 三个区域的面积分别为 ．
则由小红将A区 的面积划分给了B区，而原B区 的面积错划分给了A区，
造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了 ，
可列方程： ，
解得： ，
则此时，A区： ，
B区： ，
C区：z，
由爸爸只好将C区面积的 分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、
B、C三个区域的面积比变为 ，
可列方程： ，
解得： ，
设将C区面积的 分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为 ．由三个区域的
面积比变为 可列方程：解得： ，
∴爸爸从C区划分给B区的面积为： ，
则爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多元方程的实际应用，读懂题意，理清数量关系列出方程是解本题的
关键．
13．某文具店九月初进行开学大酬宾活动，将A、B、C三种学习文具以甲、乙两种方式进
行搭配销售，两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，
B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支
C比每支A成本价低2元，甲种方式(含包装袋)每袋成本为30元，现甲，乙两种方式分别
在成本价基础上提高20%，40%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲，
乙两种方式的销售量之比为____．
【答案】16：15
【分析】根据甲、乙两种方式各种文具的个数配比以及已知条件“每支C比每支A成本价
低2元；甲种方式每袋成本为30元，可以得到乙种方式的成本为32元”，再设两种方式
销售量分别是未知数，列方程求解即可．
【详解】解：∵两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2
支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知
每支C比每支A成本价低2元，
∴乙种方式每袋成本价比甲种方式每袋成本高2元，
∵甲种方式(含包装袋)每袋成本为30元，
∴乙种方式(含包装袋)每袋成本为32元，
设甲、乙两种方式的销量分别为x袋、y袋．根据题意得，
30×0.2x+32×0.4y＝(30x+32y)×0.3，
化简整理得，16y＝15x，∴x：y＝16：15．故答案为：16：15．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，把销售问题转化成方程问题是解答本题的
关键．
14．已知关于x，y的方程组 的解是 ，则与方程组
有关的 的值为_____．
【答案】【分析】由整体换元思想可得 ，求出 ， ，然后代入求值即可．
【详解】∵关于x，y的方程组 的解是 ，
∴方程组 的解满足关系式 ，解得： ，
∴x′-2y′=8-2×12=8-24=-16．故答案为：-16．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组
的关系是解题的关键．
15．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满
足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，
n）．例如：1＜ ＜2，所以 的“雅区间”为（1，2）．
（1）无理数 的“雅区间”是________；
（2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜ ＜12，其中 是关
于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为________．
【答案】 （－3，－2） 1或37
【分析】（1）根据“雅区间”的定义，确定 在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅
区间”；（2）根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情
况即可求出c的值．
【详解】（1）∵-3＜ ＜-2，
∴ 的“雅区间”是（－3，－2），
故答案为：（－3，－2）．
（2）∵（m，n）是“雅区间”，
∴m和n是相邻的两个整数，
又∵0＜ ＜12，其中 是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数
解，
∴符合条件的m和n有①m=3，n=4；②m=8，n=9；
当m=3，n=4时，将x=3，y=2代入mx﹣ny＝c得，c=3×3-4×2=1；
当m=8，n=9时，将x=8，y=3代入mx﹣ny＝c得，c=8×8-9×3=37；∴c的值为1或37，
故答案为：1或37．
【点睛】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结
合相关知识正确分析题意是解题关键．
