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难点特训（一）和平行线有关的压轴大题
1．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求证：AB CD；
(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究
的值；画出图形，并说明理由．
(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，
画出图形，并说明理由．
2．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于
O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
(1)将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ ；
(2)将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF
上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°
小于180°）： ．3．已知直线l l，直线l 交l 于点C，交l 于点D，P是直线CD上一点．
1 2 3 1 2
(1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，
请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论．
4．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且
∠NCD= ∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______．
5．如图，点E、F、分别在直线AB，CD上，P为AB，CD之间一点，连接PE，过点P作PG//
EF，交CD于点G，∠CGP＝∠BEF．
(1)如图1，求证：AB//CD；(2)如图2，EF平分∠PEB，H为线段GF上一点，连接PH．
①若∠FHP＋∠PEF＝200°，求∠HPG的度数：
②如图3，HQ平分∠CHP，交PG于点Q．若∠HPE＝α，直接写出∠HQP的度数为（结果用含α
的式子表示）．
6．已知： ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点F在 、 之间， 平分 交 于点G，若
，求 的大小；
(3)如图3，点P、Q分别在 、 上，点M在 下方，点N在两平行线之间．
，请探究 之间的关系．
7．如图1，直线 分别交直线 、 于点E、F（点F在点E左侧），动点M、N不在 ，
， 上．若 平分 ，连 ．
(1)求证： ；
(2)如图2所示，点M、N停在图2位置，且 ，求 度数；
(3)如图3，点M在 左侧，点N在 下方运动，请直接写出 、 、 三个角之间存
在的数量关系______________________．（M、F、N三点不共线）
8．已知：AB∥CD．(1)如图1，求证：∠A＝∠E+∠C；
(2)如图2，点F在AB、CD之间，∠BAF＝5∠E，AG平分∠BAF交CD于点G，若EH∥AG，∠E
＝30°，求∠EHG的大小；
(3)如图3，点P、Q分别在AB、CD上，点M在CD下方，点N在两平行线之间．∠APM＝
3∠APN，∠NQD＝3∠MQD，请探究∠M、∠N、∠MPN之间的关系．
9．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接
PE、PF．
(1)如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数：
(2)如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM
的反向延长线于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；
(3)若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM
所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．
10．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．(1)如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
①若∠BME=25°，∠END=75°，则∠H的度数为_______；
②探究∠MEN与∠MHN的数量关系，并给予证明；
(2)如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线
于点Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度数．
11．如图，直线 ，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的
定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现 之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当 时，作等边 ， 平分 ，交直线a于点M， 平分 ，
交直线b于点N，将 绕点B转动，且 始终在 的内部时， 的值是否发
生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得 ， 的平分线交直线a于点G，当点A在直线a
上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出 与 之间的数量关系．（本问中
的角均为小于180°的角）
12．如图1， ，直线 与 、 分别交于点A、D，点B在直线 上，过点B作
，垂足为点G．(1) __________；
(2)若点C在线段 上（不与A、D、G重合），连接 ， 和 的平分线交于点H，
请在图2中补全图形，猜想并证明 与 的数量关系__________；
(3)若直线 的位置如图3所示，点C在线段 上（不与A、D、G重合），连接 ，
和 的平分线交于点H，请直接写出 与 的数量关系__________．
13．（1）探究：如图1，AB CD EF，试说明 ．
（2）应用：如图2，AB CD，点 在 、 之间， 与 交于点 ， 与 交于点 ．
若 ， ，则 的大小是多少？
（3）拓展：如图3，直线 在直线 、 之间，且AB CD EF，点 、 分别在直线 、
上，点 是直线 上的一个动点，且不在直线 上，连接 、 ．若 ，则
度（请直接写出答案）．
14．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面
直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足 ．D为线段AC的中点．在平面直角
坐标系中以任意两点P(x ，y）、Q（x，y）为端点的线段中点坐标为 ， ．
1 1 2 2（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒
的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A
点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使
S ODP＝S ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
△ △
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝
∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，
的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．
