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专题05 根据平行线的性质探求角的关系综合题
【例题讲解】
已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于
D．（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？
（2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是
否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？
【详解】（1）如图1，过C作CP∥EF．∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．∵EF∥MN，
∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．∵BD平分
∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，
∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．
∵CP∥MN，
∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－
60°=30°．∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°．
（2）∠GHB为定值50°．理由如下：∵∠CBN是△CBG的外角，
∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，
∴∠HGB ∠AGB，∠DBN ∠CBN．∵∠DBN是△HGB的外角，
∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB ∠CBN ∠AGB （∠CBN﹣∠AGB） ∠BCG （180°－
80°）=50°，故∠GHB是定值50°．【综合演练】
1．直线 与直线 、 分别相交于点 、 ， 与 互补
(1)如图 ，试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
(2)如图 ， 与 的平分线交于点 ， 的延长线与 交于点 ， 是 上一点，
且 ，求证：PF GH．
(3)如图 ，在（2）的条件下，连接 ， 是 上一点，使 ，作 平分 ，
求证： 的大小是定值．
2．解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若 ， ．过点P作 ，求
的度数；
(2)（问题迁移）如图2， ，点P在 的上方，点E，F分别在 ， 上，连接 ，
，过P点作 ，问 之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知 的平分线和 的平分
线交于点G，过点G作 ，用含有 的式子表示 的度数．3．已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点， ， 与 的角
平分线交于点 ．
(1)如图1，试说明 ；
(2)延长 交 于点 ，过点 作 交直线 于点 ．
①如图2，若 ，求 的度数；
②如图3，延长 交 于点 ，作 的角平分线 交 的延长线于点 ，请判断 与
的数量关系，并说明理由．
4．如图1，已知 ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分
∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的
关系；
(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作
∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表
示）5．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．
(1)求证：AB CD；
(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则
∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左
侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N
之间的数量．
6．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射
线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG
＝ 度．7．已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MN PQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线
CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度
数．（直接写出答案）
8．已知：如图，AB CD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．
(1)求证：∠BGF＝90°；
(2)点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，
写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ；
(3)在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．
9．如图1，已知直线 ，点 在直线 上，点 、 在直线 上，连接 、 ，
， ， 平分 ， 平分 ， 与 相交于 ．（1）求 的度数；
（2）若将图1中的线段 沿 向右平移到 如图2所示位置，此时 平分 ， 平
分 ， 与 相交于 ， ， ，求 的度数．
（3）若将图1中的线段 沿 向左平移到 如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此
时 的度数．
10．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的
垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交
直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明
理由．
11．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求证：AB CD；
(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由．
(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，
画出图形，并说明理由．
