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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.7平行线的性质与判定大题专项提升训练
（填空型问题，重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期末）如图，EF∥AD，∠1=∠2，
∠BAC=70°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2= （ ）．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（ ）．
∴AB∥ （ ）．
∴∠BAC+ =180°（ ）．
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD= ．
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线
平行，同旁内角互补；110°
【分析】根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质
求出∠BAC+∠DGA=180°即可．
【详解】解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等．）
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直
线平行，同旁内角互补；110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题
的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，
同旁内角互补，反之亦然．
2．（2022·辽宁·沈阳市和平区南昌中学沈北分校七年级期中）已知AG平分∠BAD，∠BAG=∠BGA，
点E、F分别在在射线AD、BC上运动，满足∠AEF=∠B，连接EG
(1)如图1，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF
证明：∵AG平分∠BAD
∴∠BAG=∠DAG（ ① ）
∵∠BAG=∠BGA
∴ ② = ③ （等量代换）
∴ ④ ∥ ⑤ （ ⑥ ）
∴∠B+∠BAD=180°（ ⑦ ）
∵∠AEF=∠B
∴∠AEF+∠BAD=180°（ ⑧ ）
∴AB∥EF
(2)如图2，当点F在点G右侧时，设∠BAG=α，∠GEF=β，请直接用含α，β的代数式表示∠AGE的
度数____________．
(3)在射线BC下方有一点H，连接AH、EH，满足∠BAH=2∠HAG，EH平分∠FEG，若
∠FEG=20°，∠BAG=60°，请直接写出∠AGE+∠H的度数____________．【答案】(1)角平分线的定义；∠BGA；∠DAG；AD；BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，
同旁内角互补；等量代换
(2)α+β
(3)70°或130°
【分析】（1）利用角平分线的定义可证明∠BGA=∠DAG，根据平行线的判定得到AD∥BC，再证明
∠AEF+∠BAD=180°，即可证明AB∥EF；
（2）利用三角形内角和定理求得∠B=180°−2α，得到∠GEA=180°−2α−β，再利用三角形内角定
理即可求解；
（3）先求得∠BAG=∠BGA=∠DAG=∠B=60°，∠HAG=20°，∠EFH=∠GFH=10°，再分点
F在点G左侧时，和点F在点G右侧时，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG（角平分线的定义），
∵∠BAG=∠BGA，
∴∠BGA=∠DAG（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠AEF=∠B，
∴∠AEF+∠BAD=180°（等量代换），
∴AB∥EF；
故答案为：角平分线的定义；∠BGA；∠DAG；AD；BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同
旁内角互补；等量代换；
（2）解：∵AB∥EF，∠BAG=∠BGA，∠BAG=α，
∴∠EAG=∠BAG=α，∠B=180°−2α，
∵∠AEF=∠B=180°−2α，∠GEF=β，
∴∠GEA=180°−2α−β，
∴∠EGA=180°−α−(180°−2α−β)=α+β，
故答案为：α+β；
（3）解：∵AG平分∠BAD，∠BAG=∠BGA，∠BAG=60°，
∴∠BAG=∠BGA=∠DAG=∠B=60°，
∵∠AEF=∠B，∠BAH=2∠HAG，∴∠AEF=∠B=60°，∠HAG=20°，
∵EH平分∠FEG，∠FEG=20°，
∴∠EFH=∠GFH=10°，
当点F在点G左侧时，如图，
在△HAE中，∠H=180°−20°−60°−60°−10°=30°，
在△GAE中，∠AGE=180°−60°−60°−20°=40°，
∴∠AGE+∠H=70°；
当点F在点G右侧时，如图，
在△HAE中，∠H=180°−20°−60°−(60°−10°)=50°，
在△GAE中，∠AGE=180°−60°−(60°−20°)=80°，
∴∠AGE+∠H=130°；
故答案为：70°或130°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理及角的和与差，注意分类讨
论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题．
3．（2022·福建·明溪县教师进修学校七年级期中）填空，将本题补充完整．
如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝ （等量代换）
∴AB∥GD（ ）
∴∠BAC+ ＝180°（ ）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝ °
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内
角互补；115°
【分析】由EF∥AD，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，从而得到DG∥BA，根据平行线的性质可
得∠BAC＋∠AGD＝180°，即可求解．
【详解】解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴AB∥GD（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝115°．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相
等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用．
4．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴______∥______（________________________）．
∴∠A=∠BED（_____________________________）．
∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴______∥______（__________________________）．
∴∠B=∠C（______________________________）．
【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线
平行；两直线平行，内错角相等
【分析】先通过已知条件证明DE∥AF，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD，再根据两
直线平行，内错角相等得出∠B=∠C．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），
∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直
线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
5．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知DE⊥AC，∠6=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判定BF
与AC 的位置关系，并说明理由．
解：BF⊥AC．
理由：∵DE⊥AC（已知）
∴∠CED=90°
∵∠6=∠ABC（已知）
∴______∥ BC （同位角相等，两直线平行）∴∠1=______（______）
∵∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2+______=180° （等量代换）
∴DE∥BF（______）
∴∠BFC=∠CED=90°（______）
∴BF⊥AC（垂直的定义）
(1)请补全上面说理过程；
(2)若∠4=30°，求出∠5的度数，并说明理由；
(3)直接写出∠4和∠5的关系______．
【答案】(1)FG ；∠3 ；两直线平行，内错角相等；∠3；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同
位角相等
(2)∠5=60° ，理由见解析
(3)∠4+∠5=90°
【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可求出答案；
（2）利用平行线的性质即可求解；
（3）在平行线的性质基础上，利用角的和差关系即可求解．
（1）
解：根据题意，利用平行线的性质和判断得，
∵DE⊥AC（已知）
∴∠CED=90°
∵∠6=∠ABC（已知）
∴FG∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）
∴DE∥BF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BFC=∠CED=90°（两直线平行，同位角相等）
∴BF⊥AC（垂直的定义）
故答案是：FG ；∠3 ；两直线平行，内错角相等；∠3；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同
位角相等．（2）
解：有（1）的结论得，
∵DE∥BF，BC∥GF ，∠4=30° ，
∴∠1=∠3=∠4=30° ，
∵BF⊥AC
∴∠BFA=∠1+∠5=90°，
∴∠5=60° ．
故答案是：∠5=60°．
（3）
解：∵DE∥BF ，∠CED=90° ，
∴∠4=∠3 ，∠BFC=∠BFA=∠5+∠1=90° ，
又∵BC∥FG ，
∴∠3=∠1 ，
∴∠1=∠3=∠4 ，
∴∠4+∠5=90°，
故答案是：∠4+∠5=90°．
【点睛】本题主要考查利用平行线的性质和判定来确定线与角的关系，理解和掌握平行线的判定方法，以
及平行线的性质是解题的关键．
6．（2022·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)请将下列说明BF∥DE的过程补充完整：
∵∠AGF=∠ABC（已知）
∴______∥______（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=______（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1+∠2=180°（已知）
∴∠______+∠2=180°（等量代换）∴BF∥DE（_______________________________）
(2)如果DE⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．
【答案】(1)FG、BC、∠CBF、CBF、同旁内角互补，两直线平行
(2)60°
【分析】（1）根据平行的性质和判定填空即可；
（2）由∠1+∠2=180°，∠2=150°可知∠1=30°，由DE⊥AC，BF∥DE可知∠AFB=90°，最后
利用∠AFG=∠AFB−∠1求解即可．
（1）
解：∵∠AGF=∠ABC（已知）
∴FG∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1= ∠CBF（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1+∠2=180°（已知）
∴∠CBF +∠2=180°（等量代换）
∴BF∥DE（同旁内角互补，两直线平行）
（2）
∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=180°−∠2=30°．
又∵DE⊥AC即∠ADE=90°，BF∥DE，
∴∠AFB=∠ADE=90°，
∴∠AFG=∠AFB−∠1=60°．
【点睛】本题考查平行的性质与判定，掌握平行的性质定理与判定定理是解题的关键．
7．（2022·江西育华学校七年级阶段练习）如图，在△ABC中点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，
∠1=∠2，若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．解：∵DE∥AC（已知）
∴∠1＝∠ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠C＝∠2（ ）
∴AF∥ （ ）
∴∠B+∠BAF＝180°（ ）
∵∠B＝50°（已知）
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝130°（角的运算）
∵AC平分∠BAF（已知）
1
∴∠2＝ ∠BAF＝65° （ ）
2
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝65°（ ）
【答案】C，两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内
角互补；角平分线的定义；等量代换．
【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠C，求出∠C＝∠2，根据平行线的性质得出∠B＋∠BAF＝180°，
1
求出∠BAF＝130°，根据角平分线的定义求出∠2＝ ∠BAF＝65°即可．
2
【详解】解：∵DE∥AC（已知），
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠C＝∠2（等量代换），
∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＋∠BAF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝50°（已知），
∴∠BAF＝180°−∠B＝130°（角的运算），
∵AC平分∠BAF（已知），1
∴∠2＝ ∠BAF＝65° （角平分线的定义），
2
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝65°（等量代换），
故答案为：C，两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁
内角互补；角平分线的定义；等量代换．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定
理进行推理是解此题的关键．
8．（2022·重庆·忠县花桥镇初级中学校七年级期中）完成下面推理过程：
如图，AB∥CD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数．
解：∵∠PNB=60°，∠NDC=60°，（已知）
∴∠PNB=∠NDC，（等量代换）
∴PN // CD，（ ）
∴∠CPN+∠_________=180°，（ ）
∵∠CPN=150°，（已知）
∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°
∵AB//CD，（已知）
∴∠ABC= ∠____________，（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC=50°，（已知）
∴∠BCD=__________，（等量代换）
∴ ∠BCP=∠BCD－∠PCD=____________°－30°=_________°．
【答案】同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；
50；20．
【分析】根据平行线的判定推出PN∥CD，可得∠CPN＋∠PCD＝180°，求出∠PCD＝30°，根据平行线的
性质得出∠ABC＝∠BCD，求出∠BCD＝50°，代入∠BCP＝∠BCD−∠PCD计算即可．
【详解】解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知）
∴∠PNB＝∠NDC，（等量代换）∴PN∥CD，（同位角相等，两直线平行）
∴∠CPN＋∠PCD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠CPN＝150°，（已知）
∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°，
∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC＝50°，（已知）
∴∠BCD＝50°，（等量代换）
∴∠BCP＝∠BCD−∠PCD＝50°−30°＝20°，
故答案为：同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相
等；50；20．
【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，也考查了学生的推理能力，灵活运用各性质定理是解题的
关键．
9．（2022·江苏·如皋初级中学七年级阶段练习）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC∥ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
1 1
∴∠1＝ ∠AED，∠2＝ ∠ABC（ ）
2 2
∵BC∥ED，
∴∠AED＝ （ ）．
1 1
∴ ∠AED ＝ ∠ABC （ ）
2 2
∴∠1＝∠2（ ）
∴BD∥EF（ ）
【答案】角平分线的定义；∠ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行．
1 1
【分析】根据角平分线的定义得出∠1= ∠AED，∠2= ∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED＝
2 2
∠ABC，求出∠1＝∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
1 1
∴∠1= ∠AED，∠2= ∠ABC（角平分线的定义），
2 2
∵BC∥ED，
∴∠AED＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
1 1
∴ ∠AED= ∠ABC（等量代换），
2 2
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：角平分线的定义；∠ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两
直线平行．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理
和判定定理是解此题的关键．
10．（2022·甘肃·平凉市第四中学八年级期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC
求证：AB=AC
证明：∵AD∥BC
∴∠1=∠B（__________），∠2=∠C（__________），
∵AD平分∠CAE，
∴∠1=∠2（__________），
∴∠B=_________，∴AB=AC（__________）．
【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠C；同一个三角形中，
等角对等边．
【分析】只需要利用平行线的性质和角平分线的定义证明∠B=∠C，即可证明AB=AC．
【详解】证明：∵AD∥BC
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠CAE，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（同一个三角形中，等角对等边）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠C；同一个三角形
中，等角对等边．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证明∠B=∠C是解题的
关键．
11．（2022·山东济南·七年级期末）完成下面的证明：
如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数?
解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=_________（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=_________（ ）
∴AD//BC（ ）
∴∠C+________=180°（ ）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=__________．
【答案】∠EBC；角平分线的性质；∠EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，
同旁内角互补；70°
【分析】根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC，利用平行线的性质可求得∠D的度数．【详解】解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=∠EBC（ 角平分线的性质 ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠EBC（ 等量代换 ）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠C+∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=70°
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质，熟知对应的判定方法以及性质是解决本
题的关键．
12．（2022·北京石景山·七年级期末）如图，已知∠AOB=120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至
C．
（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数_______°．
（2）完成下列证明过程：
证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，
1
∴∠AOP= ∠_______．（_______）
2
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=_______°．
∵∠BOC=_______°．
∴∠AOP=∠BOC．（_________）
【答案】（1）画图见解析，60；（2）AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换
【分析】（1）根据题意画出图形即可，利用平角的定义以及角的和差即可求得∠BOC的度数；
（2）利用角平分线的定义求得∠AOP=60°，即可证明∠AOP=∠BOC．
【详解】解：（1）画出图形如图所示，∵∠AOB=120°，且∠AOC=180°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
故答案为：60；
（2）证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，
1
∴∠AOP= ∠AOB．（角平分线的定义）
2
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=60°．
∵∠BOC=60°．
∴∠AOP=∠BOC．（等量代换）
故答案为：AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握角平分线的定义、根据图形正确计算是解题的关键．
13．（2021·山东日照·七年级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证
∠1+∠2=90°．
证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠2= （ ），
同理∠1= ，
1
∴∠1+∠2= ，
2
又∵AB∥CD（已知）∴∠ABC+∠BCD= （ ），
∴∠1+∠2=90°．
1 1
【答案】 ∠ABC；角平分线的定义； ∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补
2 2
【分析】由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°，再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°，可得出
结论，据此填空即可．
【详解】证明：∵BE平分∠ABC（已知），
1
∴∠2= ∠ABC（角平分线的定义），
2
1
同理∠1= ∠BCD，
2
1
∴∠1+∠2= (∠ABC+∠BCD)，
2
又∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），
∴∠1+∠2=90°．
1 1
故答案为： ∠ABC；角平分线的定义； ∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补．
2 2
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
14．（2022·广东·北大附中深圳南山分校七年级期中）已知：如图，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，点E
在BC上，EF交AB于点G．求证：∠AGF＝∠F
请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由．
证明：∵ （已知）
∴∠BAD＝∠CAD（ ）
∵EF∥AD（已知）
∴∠ ＝∠BAD（ ）
∠ ＝∠CAD（ ）
∴∠AGF＝∠F（ ）．【答案】AD是∠BAC的平分；角平分线的定义；AGF；两直线平行，内错角相等；F；两直线平行，同
位角相等；等量代换
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质补充推理过程以及补充理由．
【详解】证明：∵ AD 是 ∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）
∵EF∥AD（已知）
∴∠AGF＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∠F＝∠CAD（两直线平行，同位角相等）
∴∠AGF＝∠F（等量代换）．
故答案为：AD是∠BAC的平分；角平分线的定义；AGF；两直线平行，内错角相等；F；两直线平行，
同位角相等；等量代换
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与
∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB//DC．
证明：∵∠ABC=∠ADC，
1 1
∴ ∠ABC= ∠ADC．（ ）
2 2
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC．（ ）
2 2
∵∠______＝∠______．（ ）
∵∠1=∠3，（ ）
∴∠2＝______．（等量代换）
∴______//______．（ ）
【答案】等式的性质；角平分线的定义；1；2；等量代换；已知；3；AB ；DC ；内错角相等，两直线
平行
【分析】由∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，可得∠1＝∠2，又由∠1=∠3，得
到∠2=∠3，从而得到AB//DC．【详解】证明：∵∠ABC=∠ADC，
1 1
∴ ∠ABC= ∠ADC，（ 等式的性质 ）
2 2
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC，（角平分线的定义 ）
2 2
∵∠1＝∠2，（ 等量代换 ）
∵∠1=∠3，（ 已知 ）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴AB//DC ．（内错角相等，两直线平行 ）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
16．（2021·河南周口·七年级期中）将下列推理过程依据补充完整．
如图，已知CD平分∠ACB，AC//DE，CD//EF
求证：EF平分∠DEB
证明：∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠DCA=∠DCE（角平分线的定义）
∵AC//DE（已知）
∴∠DCA=∠CDE（________________________________）
∴∠DCE=∠CDE（等量代换）
∵CD//EF（已知）
∴________________=∠CDE（________________________________）
∴∠DCE=∠BEF（________________________________）
∴∠≝=________________（等量代换）
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）
【答案】两直线平行，内错角相等；∠≝¿；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；
∠BEF．
【分析】根据角平分线的定义可得∠DCA=∠DCE，再由AC//DE可得∠DCA=∠CDE，从而∠DCE=∠CDE，又由CD//EF，得到∠≝¿ =∠CDE，∠DCE=∠BEF，即可求证．
【详解】证明：∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠DCA=∠DCE（角平分线的定义）
∵AC//DE（已知）
∴∠DCA=∠CDE（两直线平行，内错角相等）
∴∠DCE=∠CDE（等量代换）
∵CD//EF（已知）
∴∠≝¿ =∠CDE（两直线平行，内错角相等）
∴∠DCE=∠BEF（两直线平行，同位角相等）
∴∠≝= ∠BEF（等量代换）
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17．（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期中）如图，∠A+∠D＝180°，则∠DCE＝∠B．完成下面的说理
过程．
解：已知∠A+∠D＝180°，
根据（ ），
得 ∥ ，
又根据（ ），
得∠DCE＝∠B．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；AB；CD；两直线平行，同位角相等
【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，同位角相等得出结论．
【详解】解：已知∠A+∠D＝180°，
根据（同旁内角互补，两直线平行），得AB∥CD，
又根据（两直线平行，同位角相等），
得∠DCE＝∠B．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；AB；CD；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等是
解题的关键．
18．（2022·四川广安·七年级期末）已知: 如图，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求: ∠AGD的度数
解: 因为 EF//AD （已知）
所以 ∠2=__ __ ( 两条直线平行，同位角相等 )
又因为 ∠1=∠2 （已知）
所以 ∠1=∠3 ( 等量代换 )
所以 //__ ___ ( 内错角相等，两直线平行 )
所以 ∠BAC+___ ___=180°(_________ ____ ______________)
因为 ∠BAC=70° （已知）
所以 ∠AGD=110°
【答案】∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行,同旁内角互补
【分析】根据平行线性质推出∠2=∠3，根据平行线判定推出AB//DG，根据平行线判定推出
∠BAC+∠AGD=180°，求出即可．
【详解】解：因为EF//AD(已知)，
所以 ∠2 =∠3(两直线平行，同位角相等)，
又因为 ∠1 = ∠2(已知)，
所以 ∠1 = ∠3(等量代换)，所以AB//DG(内错角相等，两直线平行)，
所以∠BAC + ∠AGD = 180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又因为∠BAC = 70°(已知)，
所以∠AGD =110°，
故答案为：∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．
19．（2022·重庆江津·七年级期末）如图，直线PQ分别与直线AB、CD交于点E、点F，∠1=∠2，射线
EM、EN分别与直线CD交于点M、N，且EM⊥EN，则∠3与∠4有何数量关系，并给出证明．
请你将以下证明过程补充完整．
解：∵∠1=∠2，
∴______（同位角相等，两直线平行）
∴∠4=______（两直线平行，内错角相等）．
∵EM⊥EN，
∴______=90°．
∵∠MEB=∠3+______，
∴______．
【答案】AB∥CD；∠BEM；∠MEN；∠MEN；∠4−∠3=90°
【分析】利用平行线的判定及性质解答即可．
【详解】解：∠4与∠3的数量关系为∠4−∠3=90°，理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠4=∠BEM（两直线平行，内错角相等）．
∵EM⊥EN（已知），
∴∠MEN=90°（垂直的定义）．
∵∠BEM−∠3=∠MEN，
∴∠4−∠3=90°．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，垂直，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质．
20．（2022·河南信阳·七年级期中）完成下面的求解过程．
如图，FG∥CD，∠1=∠3，∠B=50°，求∠BDE的度数．
解：因为FG∥CD（ ），
所以∠2= （ ）
又因为∠1=∠3，
所以∠3=∠2（ ），
所以BC∥ （ ），
所以∠B+ =180°（ ）．
又因为∠B=50°，
所以∠BDE= ．
【答案】见解析
【分析】分别利用平行线的性质和判定即可求解．
【详解】解：∵FG∥CD（已知）
∴∠2＝∠1（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2（等量代换）
∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）∴∠B＋∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠B＝50°
∴∠BDE＝130°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，性质有两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直
线平行同旁内角互补，判定有同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
21．（2022·浙江湖州·七年级阶段练习）阅读并填空：如图，已知DE∥BC，如果∠ADE=∠AED，那
么∠B与∠C相等吗？为什么？
解：因为DE∥BC（已知），
所以∠ADE= ．
∠AED=∠C（ ）．
因为∠ADE=∠AED（ ），
所以∠B=∠C（等量代换）．
【答案】∠B；两直线平行，同位角相等；已知
【分析】先根据平行线的性质得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再由∠ADE＝∠AED即可得出结论．
【详解】解：因为DE∥BC（已知），
所以∠ADE=∠B．
∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
因为∠ADE=∠AED（已知），
所以∠B=∠C（等量代换）．
故答案为：∠B；两直线平行，同位角相等；已知．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
22．（2022·江苏·丰县初中七年级阶段练习）如图．己知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点
F，∠1+∠2=180°．请填写∠CGD=∠CAB的理由．
∵AB⊥BC,EF⊥BC∴∠ADC=90°,∠EFC=90°（____________________）
∴∠ADC=∠EFC
∴AD∥EF（________________________________）
∴∠3+∠2=180°（________________________________）
∵∠1+∠2=180°（已知）
∴ ∠_________= ∠_________（____________________）
∴DG∥_________（________________________________）
∴∠CGD=∠CAB．
【答案】见解析
【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2= 180°，求出
∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可．
【详解】解：∵AD⊥BC,EF⊥BC
∴∠ADC=90°,∠EFC=90°（垂直的定义）
∴∠ADC=∠EFC
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1+∠2=180°（已知）
∴ ∠1= ∠3（同角的补角相等）
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠CGD=∠CAB．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
∠3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此
题的关键，注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平
行，同旁内角互补；反之亦然．
23．（2022·广东汕尾·七年级期末）如图，∠1+∠2=180°，∠C=∠D．求证：AD∥BC．
证明：∵∠1+∠2=180°（ ），∠2+∠AED=180°（ ），
∴∠1=∠AED（ ），∴DE∥AC（ ），
∴∠D=∠DAF（ ），
∵∠C=∠D（ ），
∴∠DAF=∠C（ ），∴AD∥BC（ ）．
【答案】已知；平角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已
知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定和性质定理证明即可．
【详解】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），
∠2+∠AED=180°（平角的定义），
∴∠1=∠AED（同角的补角相等），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠DAF（两直线平行，内错角相等），
∵∠C=∠D（已知），
∴∠DAF=∠C（等量代换），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；平角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
24．（2022·湖北武汉·七年级期末）完成下面的证明：已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边
BC ，CA，AB上的点，且DE∥BA，DF∥CA．
求证：∠FDE=∠A．证明：∵DE∥BA
∴_______=_______（ ）
∵DF∥CA
∴_______=________（ ）
∴∠FDE=∠A
【答案】∠DEC，∠A（两直线平行，同位角相等）；∠FDE，∠DEC（两直线平行，内错角相等）
【分析】根据平行线的性质得出∠DEC＝∠A，∠FDE＝∠DEC，推出即可；
【详解】证明：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A（两直线平行，同位角相等），
∵DF∥CA，
∴∠FDE＝∠DEC（两直线平行，内错角相等），
∴∠FDE＝∠A；
故答案为：∠DEC,∠A，两直线平行，同位角相等，∠FDE，∠DEC，两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线
平行，同旁内角互补，解题关键结合图形灵活应用平行线的性质．
25．（2022·重庆南川·七年级期中）如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴______∥______（______），
∴∠BAP＝______（______），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠FPA＝______．
∴______∥______（______），
∴∠E＝∠F（______）．
【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行； ∠APC；两直线平行,内错角相等；∠EAP；AE；PF；内
错角相等, 两直线平行； 两直线平行，内错角相等【分析】根据∠BAP+∠APD=180°可得AB//CD，从而可得∠BAP＝∠APC，结合∠1=∠2根据角的和差即可
得出∠FPA= ∠EAP，继而证明AE//FP后即可得出结论．
【详解】证明：∵∠BAP+∠APD=180°（已知）；
∴ AB ∥ CD （同旁内角互补，两直线平行）；
∴∠BAP= ∠APC （ 两直线平行 , 内错角相等 ）；
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠FPA= ∠EAP ，
∴ AE ∥ PF （ 内错角相等 , 两直线平行 ）；
∴∠E=∠F（ 两直线平行，内错角相等）.
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，能正确识图，利用定理得出角度之间的关系是解题关键．
26．（2022·北京通州·七年级期末）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
已知：如图，∠B=∠BGD，∠BGC=∠F．
求证：∠B+∠F=180°．
证明：∵∠B=∠BGD（已知），
∴______//______(______)．
∵∠BGC=∠F（已知），
∴CD//EF(______)．
∴AB//______(______)．
∴∠B+∠F=180°(______)．
【答案】AB;CD；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；EF；平行于同一条直线的两直
线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得
∠B+∠F＝180°．
【详解】证明：∵∠B=∠BGD（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BGC=∠F（已知），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：AB;CD；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；EF；平行于同一条直线的两
直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
27．（2022·山东省青岛第五十一中学七年级期中）已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG，（__________________）
∴∠1＝∠2，（__________________）
∠______＝∠3，（__________________）
又∵∠E＝∠1（已知），
∴______＝______
∴AD平分∠BAC
【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；E；两直线平行，同位角相等；∠ 2；∠
3
【分析】由AD与EG都与BC垂直，得到AD与EG平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等得到
两对角相等，根据已知角相等，等量代换得到∠2＝∠3，即AD为角平分线，得证．
【详解】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E ＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
∵∠E＝∠1（已知），∴ ∠2 ＝ ∠ 3 ，
∴AD平分∠BAC．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； E；两直线平行，同位角相等；∠ 2；
∠ 3
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
28．（2022·全国·七年级期末）填写理由或步骤
如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E
因为AD∥BE ．
所以∠A+ ＝180° ．
因为∠A＝∠E（已知）
所以 + ＝180° ．
所以DE∥AC ．
所以∠1＝ ．
【答案】（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角
互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）
【分析】由已知的AD与BE平行，得到一对同旁内角互补，然后根据已知的两角相等，等量代换得到另一
对同旁内角互补，根据同旁内角互补，两直线平行推出DE与AC平行，然后再根据两直线平行，内错角相
等即可得证．
【详解】解：如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，
因为AD//BE（已知）
所以∠A+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠A＝∠E（已知）
所以∠ABE+∠E＝180°（等量代换）
所以DE//AC（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
故答案为：（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）。
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．解答此题
的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
29．（2022·上海静安·七年级期中）如图，已知∠ED B +∠B= 180°，∠1=∠2，GF⊥AB，请填写CD⊥AB
的理由
解：因为∠ED B +∠B= 180°（ ）
所以 ∥ （ ）
所以∠1=∠3 （ ）
因为 = （ 已 知 ）
所以∠2=∠3 （ 等量代换 ）
所以 ∥ （ ）
所以∠FGB=∠CDB （ ）
因为GF⊥AB（ 已 知 ）
所以∠FGB=90° （ ）
所以∠CDB =90°（ ）
所以CD⊥AB （ 垂直的意义 ）
【答案】已知；DE∥BC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1=∠2；FG∥CD；同
位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 垂直的意义； 等量代换
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】解：因为∠EDB +∠B= 180°（已知）
所以 DE ∥ BC （同旁内角互补，两直线平行）
所以∠1=∠3 （两直线平行，内错角相等）
因为 ∠1 = ∠2 （ 已 知 ）所以∠2=∠3 （ 等量代换 ）
所以 FG ∥ CD （ 同位角相等，两直线平行 ）
所以∠FGB=∠CDB （两直线平行，同位角相等）
因为GF⊥AB（ 已 知 ）
所以∠FGB=90° （垂直的意义）
所以∠CDB =90°（等量代换）
所以CD⊥AB （垂直的意义）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
30．（2022·重庆·字水中学七年级阶段练习）将下面的解答过程补充完整：如图，点E在DF上，点B在
AC上，∠1＝∠2，∠C＝∠D
试说明：AC∥DF．
解：∵∠1＝∠2（______）
∠1＝∠3（______）
∴∠2＝∠3（______）
∴______∥______（______）
∴∠C＝∠ABD（______）
∵∠C＝∠D（______）
∴∠D＝∠ABD（______）
∴AC∥DF（______）
【答案】已知；对顶角相等；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
已知；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】由条件结合对顶角相等可证明BD∥CE，可得到∠C=∠ABD，再结合条件可得到∠D=∠ABD，可证
明AC∥DF，据此填空即可．
【详解】∵∠1=∠2（ 已知），
∠1=∠3（ 对顶角相等），
∴∠2=∠3（ 等量代换），∴BD∥CE（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠ABD （ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠C=∠D（ 已知），
∴∠D=∠ABD（ 等量代换），
∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行），
故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相
等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等
两直线平行，②内错角相等 两直线平行，③同旁内角互补 两直线平行，④a∥b，b∥c a∥c． ⇔
⇔ ⇔ ⇒
