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第 08 章 二元一次方程组 章节测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．满足 的x，y的值分别为（ ）
A． ，1 B．1，1 C．1， D．无法确定
【答案】C
【分析】
本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质建立二元一次方程组，再求出 x、y的值即可．掌握非负
数的性质是解题的关键．
【详解】
解：∵ ， ， ，
，
解得： ，
故选：C．
2．把二元一次方程 变形为用含 的代数式表示 的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了解二元一次方程，根据等式的基本性质解答即可，掌握等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：移项得， ，
两边同时除以 得， ，
故选： ．
3．甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙
两水池原先各自的贮水量是（ ）
A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t
C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y
t，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可．
【详解】设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t．
根据题意，得 ，
解得 ；
所以甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t．
故选A．
4．用加减法解方程组 下列解法正确的是（ ）
A． ，消去x． B． ，消去y
C． ，消去x． D． ，消去y
【答案】D
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据等式的可加性直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，消去x，故A选项不符合题意，
，消去y，故B选项不符合题意，，消去x，故C选项不符合题意，
，消去y，故D选项符合题意，
故选：D．
5．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如下图案，已知 ，则点A的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点的坐标表示与长方形的综合运用，根据点的坐标及长方形的摆放位置求出长方形的长
和宽后再根据长方形的摆放位置求出新的点坐标 ．设长方形纸片的长为a，宽为b，由B点坐标可以得到
关于a、b的二元一次方程组，解方程组可以得到a和b，再根据纸片的摆放可以得到A点坐标．
【详解】解：设长方形纸片的长为a，宽为b，
由B点坐标可以得到：
，
解得： ，
∴点A的横坐标为： ，纵坐标为 ，
故选：B．
6．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲
太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有
钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为 ， ，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱
50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50，可以列出相应的方程组．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D．
7．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车 所用汽车 运输物资
皮数量/节 数量/辆 总量/吨
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（ ）
A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7
【答案】B
【分析】
本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资 x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据
表格列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨．
根据题意，得 ，解得： ；答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨．
故选B
8．已知方程组 与 有相同的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了方程组的解的定义，首先求出方程组的解是解决本题的关键．可以首先解方程组
，求得方程组的解，再代入方程组 ，即可求得a，b的值．
【详解】解：解方程组 ，得 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
故选：A．
9．甲、乙二人分别从相距 的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发 ，那么乙出发后 ，
他们相遇；如果他们同时出发，那么 后，两人相距 ，则甲由A地到B地需要（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，当同时出发 后，两人相距 时，需要分两种情况讨
论，一种是两人相遇前相距 ，另一种是两人相遇后相距 ，根据时间、速度、路程的关系分别列二
元一次方程组，解方程组求出两个人速度，路程除以速度即可求出所需时间．
【详解】解：设甲、乙二人的速度分别为 ， ，
分两种情况：当同时出发 后，两人相遇前相距 时，，
解得 ；
当同时出发 后，两人相遇后相距 时，
，
解得 ；
当甲的速度为 时，由A地到B地需要时间为： ，
当甲的速度为 时，由A地到B地需要时间为： ，
故选D．
10．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他在如图的 方格内填入了一些表示数的
代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则 的值为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．32
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组，有理数乘方运算的运用，根据题意列式 ，
再根据解二元一次方程组的方法求出 的值，代入 ，根据有理数乘方运算即可求解，掌握解二元一
次方程组，有理数乘方运算法则是解题的关键．【详解】解：根据题意，可得： ，
由①，可得： ，
由②，可得： ，
由③④，可得： ，
解得 ，
把 代入①，解得 ，
∴ ．
故选：C．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．若 ，则 的值是 ．
【答案】0
【分析】此题考查方程组的解法，注意把三元变为二元，把其中一个未知数看作已知数是解决问题的关键．
首先把 ， ，建立关于 、 的二元一次方程组，求出的解用 表示，进一步代入
求得结果即可．
【详解】解：由 ， 得，
，
解得 ，
代入 ．
故答案为：0
12．已知 ，用含 的代数式表示 可得 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．已知 中每个数只能取 ，0，2中的一个，且满足 ，
则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设 中有 个 ， 个0， 个2，
根据题意列方程组 ，即可求解．
【详解】解：设 中有 个 ， 个0， 个2，
则： ，
解得：
∴
故答案为：
14．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根
露出水面的长度是它的 ，两根铁棒长度之和为 厘米，此时木桶中水的深度是 厘米（用含a的
代数式表示）．【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．设一
根铁棒的长度为x厘米，另一根铁棒的长度为y厘米，根据题中的等量关系列出方程组，解方程组即可求
得答案．
【详解】解：设一根铁棒的长度为x厘米，另一根铁棒的长度为y厘米，
由题意得 ，
解得 ，
∴木桶中水的深度为： （厘米），
故答案为： ．
15．写出一个以 为解的二元一次方程组 ．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，是开放题，根据方程组的解的定义， 应满足所写方程组
的每一个方程．选取两组适当的m和n值求出 的值，即可建立这样的方程组．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴这个方程组可以是故答案为： (答案不唯一)．
16．哥哥与弟弟现在的年龄和是24岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是24
岁”．如果现在弟弟的年龄是 岁，哥哥的年龄是 岁，所列方程组为 ．
【答案】
【分析】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．由弟弟的年龄是 岁，
哥哥的年龄是 岁，根据“哥哥与弟弟的年龄和是24岁，”，哥哥与弟弟的年龄差不变得出 ，
列出方程组即可．
【详解】解：设现在弟弟的年龄是 岁，哥哥的年龄是 岁，由题意得
．
故答案为： ．
17．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经
39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁．
【答案】 26 13
【解析】略
18．在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活
动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖
列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学
的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为 ．
【答案】9【分析】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和
相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．
设九宫格中最中间的数为x，由于第3列中间数与第2行的最右边的数重合，建立方程 ，求得
x，设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，由第1列与其中一条对角线的数之和相等得：
，再由最后一列和另一条对角线的数之和相等得： ，最后解方程组，然后再
计算m值．
【详解】解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第3列中间数与第2行的最右边的数重合，
∴
解得： ．
设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，
则由题意得： ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：9．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．已知关于x、y的二元一次方程组 的解为
(1)求a、b的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)2027
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，掌握二元一次
方程组的解的定义成为解题的关键．
（1）将 代入 得到关于a、b的二元一次方程组，然后再运用加减消元法求解即可；（2）将a、b的代入 计算即可．
【详解】（1）解：因为方程组 的解为 ，
所以 ，即 ，
由①+②得： ，解得： ，
将 代入①得： ，解得 ，
， ．
（2）解：由（1）得： ， ，则 ．
所以 的值为2027．
20．已知方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②
中的b，得到方程组的解为 ，试求出a，b的值及原方程的解．
【答案】 ，
【分析】本题考查解二元一次方程组错题复原问题．分别把求得的解代入到没有看错系数的方程中，求出
所含字母系数的值，再把求出的字母系数的值代回到原方程组中求解即可．
【详解】解：由题意得，甲所得的解满足方程②，乙所得的解满足方程①，
∴ ，
∴ ，
∴原方程组为
得： ，解得 ，
把 代入①得： ，解得 ，∴方程组的解为
21．已知关于x，y的方程组 ．
(1)请直接写出方程 的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足 ，求m的值；
(3) 时，方程 总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？
【答案】(1) ， ； ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一
次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键．
（1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可．
（2）由题意得： ，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入 ，从而可得答案．
（3）方程变形后，确定出公共解即可．
【详解】（1）解：方程 ，
解得： ，
当 时， ； ， ．
（2）联立得： ，解得： ，
代入得： ，
解得： ．
（3）∵ ，即 总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴ ， ，
解得： ， ．
则方程的公共解为 ．
22．甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按 的利
润率标价出售，乙玩具按 的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折
出售，这样，商店共获利114元．
(1)若甲玩具的成本为 元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本
是 元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含 的式子填空）
(2)在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元；
(3)在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1
个，那么可以怎样安排进货？
【答案】(1)
(2)甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元
(3)共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方
案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）
根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）利用标价=成本价×（1+利润率）及售价=标价×折扣率，即可用含x，y的代数式表示出甲、乙玩具的标价及售价；
（2）根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，两个玩具打折销售后共获利114元”，即可得出关于x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合
m，n均为正整数，即可得出各进货方案．
【详解】（1）解：∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按 的利润率标价出售，乙玩
具按 的利润率标价出售，
∴甲玩具的标价为 (元)，乙玩具的标价为 (元)．
又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，
∴甲玩具的售价为 (元)，乙玩具的售价为 (元)．
（2）解：依题意，得
解得
答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元．
（3）解：设购进m个甲玩具，n个乙玩具，
依题意，得 ，化简得 ．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 或
∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方
案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具．
23．对于有理数 ，定义新运算： ， ，其中 是常数．已知 ，
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值；(3)若关于 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值；
(4)若关于 的方程组 的解为 ，直接写出关于 的方程组
的解
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方
程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）由 ，得到 ， ，代入 ，求解即可；
（3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可；
（4）把所求方程组写成 ，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答
即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得： ；（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
（3）解：依题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
（4）解：由题意得： 的解为 ，
由方程组 得： ，
∴ ，即 ，
解得： ．
24．把 （其中 ， 是常数， ， 是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当
时，“雅系二元一次方程 ”中 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当
时，“雅系二元一次方程” 化为 ，其“完美值”为 ．
(1)求“雅系二元一次方程” 的“完美值”；(2) 是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求 的值；
(3)是否存在 ，使得“雅系二元一次方程” 与 （ 是常数）的“完美值”相同？
若存在，请求出 的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次
方程求解是解题的关键．
（1）根据定义，得到 ，解方程即可；
（2）根据定义，得到 ，再把 代入，解方程即可；
（3）根据定义，得到 ， ，假设存在 ，则 ，方程无解，进而可判断
结果；
【详解】（1）根据定义，得到 ，
解得 ，
“雅系二元一次方程” 的“完美值”为6．
（2）根据定义，得到 ，
是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，
，
解得 ；
（3）不存在，理由如下：
根据定义，得到 ， ，
解得 ，假设存在 ，使得“雅系二元一次方程” 与 （ 是常数）的“完美值”相同，
则 ，无解，
不存在 ，使得“雅系二元一次方程” 与 （ 是常数）的“完美值”相同；
25．某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？
(2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？
(3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案
最省钱？
【答案】(1)甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种
货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．
(3)方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车，所需费用最少，最少费用是 元．
【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关
键．
（1）根据题意，设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意，设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程，根据m，n均为非负整数，解出
m，n，即可得到租车的方案；
（3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意有： ，
解得： ，
答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意有： ，
∴ ．
∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．
（3）方案1所需费用： （元）；
方案2所需费用： （元）；
方案3所需费用： （元）．
∵ ，
∴方案3所需费用最少，最少费用是 元．
26．如图，在长方形 中， 厘米， 厘米， 为 的中点，动点 从点 开始，按
的路径运动，速度为2厘米/秒，设点 的运动时间为 秒.
(1)当点 在 边上运动时，请用含 ， 的代数式表示 的长；
(2)若 ， ，则 为何值时，直线 把长方形 的周长分成2:3两部分；
(3)连结 ， ， ，若 时，三角形 的面积恰好为长方形 面积的五分之一，试探求 ，
需要满足的条件.
【答案】(1)
(2)2秒或4秒
(3) 或 或
【分析】（1）根据 即可求出 ；（2）分两种情况讨论：当点 在 边上运动时和当点 在 边上运动时，根据“直线 把长方形
的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解；
（3）分点 在 边上、点 在 边上、点 在 边上、点 在 边上四种情况分类讨论，列出关系
式即可求解．
【详解】（1）解： 当点 在 边上运动时， ， ，
；
（2）解：当点 在 边上运动时， ，
即 ，
；
当点 在 边上运动时， ，
即 ，
；
秒或4秒时，直线 把长方形 的周长分成 两部分．
（3）解：当点 在 边上时，
，
整理得 ，
，故不成立；
当点 在 边上时，
由 ，
得 ；
当点 在 边上时，
由 ，
得 ；
当点 在 边上时，
由 ，得 ；
综上， ， 之间的关系式为 或 或 ．
【点睛】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，
注意分类讨论是解题关键．
