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专题 01 相交线与平行线中的四种几何模型
全攻略
类型一、猪脚模型
例．问题情境：如图①，直线 ，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若 ， ，试猜想 ______°；
(2)探究：在图①中探究 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若 ， ，求 的度数．
【变式训练1】已知直线 ，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在
直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图 ，当点 在线段 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【变式训练2】阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1， ，直线 分别交 ， 于点 ， ． 的平分线与
的平分线交于点 ．
(1)求证： ；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作 的平分线与 的平分线交于点 ，得到图2，则
的度数为 ．
②如图3， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．点 在直线 ， 之间，
且在直线 右侧， 的平分线与 的平分线交于点 ，则 与 满足
的数量关系为 ．
【变式训练3】如图：(1)如图1， ， ， ，直接写出 的度数．
(2)如图2， ，点 为直线 ， 间的一点， 平分 ， 平分 ，
写出 与 之间的关系并说明理由．
(3)如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点， 平分 ， 平分
，若 ， ，直接写出 的度数．
类型二、铅笔模型
例．问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求
∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重
合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．【变式训练1】已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则
∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC
的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写
出结论．
【变式训练2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的
度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC
的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的
相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC
的度数为 °；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动
时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重
合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
类型三、锄头模型P
3
A 1
B
2
C D
例．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的
大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【变式训练1】（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需
要说明理由．
【变式训练2】已知 ，点 为平面内一点， 于 ．（1）如图1，点 在两条平行线外，则 与 之间的数量关系为______；
（2）点 在两条平行线之间，过点 作 于点 ．
①如图2，说明 成立的理由；
②如图3， 平分 交 于点 平分 交 于点 ．若
，求 的度数．
类型四、齿距模型
例．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【变式训练1】如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度
数．
【变式训练2】如图1，点 、 分别在直线 、 上， ， .
（1）求证： ；（提示：可延长 交 于点 进行证明）
（2）如图2， 平分 ， 平分 ，若 ，求 与
之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3， 平分 ，点 在射线 上， ，
若 ，直接写出 的度数．
