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专题 01 正数、负数和有理数
【思维导图】
◎题型1：正数和负数的概念
负数：比0小的数，例如：-1，-2.5，- 等数。
正数：比0大的数，例如：+1，+2.5，+ ， 0 既不是正数，也不是负数。
备注：
①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表
示 0 时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误
的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）。
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
③具有相反意义的量：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8℃表示为：+8℃；零下 8℃表示为：-8℃。
例．（2022·四川达州·七年级阶段练习）在 ， ， ， ， ， ， 中正数的个数为
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方、绝对值的性质、相反数的定义对各数化简求值即可作出判断．
【详解】
解：在-2，-|-6|，-（-5），-32，（-2）2，21，（-1）0中，
其中-|-6|=-6，-（-5）=5，-32=-9，（-2）2=4，21=2，（-1）0=1，
所以正数有-（-5），（-2）2，21，（-1）0共4个，
故选：C．
【点睛】
此题考查了正数的识别、有理数的乘方、绝对值的性质、相反数的定义、零指数幂等实数基本概念，要熟
悉这些概念，并能灵活运用．
变式1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所二模）2022年5月1日上午7时，丽江市主城区的气温为零上
8℃，记作＋8℃．此时玉龙雪山海拔最高点的气温为零下3℃，可记作（ ）
A．＋3℃ B．＋5℃ C．－3℃ D．－5℃
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温就记为正，则气温零下记为负，直接得出结论即可．
【详解】
解：∵零上8℃，记作＋8℃，
∴零下3℃，记作-3℃，
故选：C．
【点睛】
本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则
和它意义相反的就为负．
变式2．（2021·全国·七年级单元测试）如果某商场盈利 万元，记作 万元，那么亏损 万元，应记作（ ）
A． B． 万元 C． 万元 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
盈利、亏损表示两个具有相反意义量，把盈利记作“ ”，则亏损记作“ ”，进而得出答案．
【详解】
解： 盈利、亏损表示两个具有相反意义量，
亏损 万元，应记作 万．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的
量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式3．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）某年，一些国家商品进出口总额的增长率如下：
意大
美国 德国 法国 中国 英国 日本
利
1.3% 7.5% 0.2% 2.4%
商品进出口总额的增长率最大的国家是（ ）
A．美国 B．英国 C．中国 D．日本
【答案】C
【解析】
【分析】
比较各国出口总额增长率得出结论．
【详解】
解：∵-6.4%＜-3.5%＜-2.4%＜0.2%＜1.3%＜2.4%＜7.5%
∴增长率最大的是中国．
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，会比较有理数的大小是解决问题的关键．
◎题型2：有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数
⑶整数和分数构成了有理数。
备注：
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
例．（2022·陕西·模拟预测）下列实数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的分类逐个判断即可求解．
【详解】
解：∵ ， ， 是无理数， 是有理数．
故选C．
【点睛】
本题考查了实数的分类，正确的区分无理数与有理数是解题的关键．
变式1．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）在1，﹣2， ， 这四个数中，最大的有理数是（
π
）
A．﹣2 B． C． D．1
π
【答案】C
【解析】
【分析】
先找出四个数中的有理数，然后根据正数大于零，零大于负数，进行比较大小即可．
【详解】
解：1，﹣2，π， 这四个数中有理数为1，﹣2， ，
∵ ，∴1，﹣2，π， 这四个数中最大的有理数是 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了有理数的概念、大小比较，先从这四个数中选出所有的有理数是解题的关键．
变式2．（2021·湖南衡阳·七年级期末）在 ， ， ，0四个数中，有理数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的定义进行判断即可．
【详解】
解： 在 ， ， ，0四个数中， ， ，0是有理数，
有理数的个数为3，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了有理数的识别，熟练掌握有理数的定义是解决本题的关键．
变式3．（2022·山东济南·八年级期末）在实数 中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的概念：正整数，0，负整数和分数的统称，是整数与分数的集合进行判断即可．
【详解】
解： 是分数，为有理数； 是整数，为有理数； 是无理数； 是无理数； 是有限
小数，为有理数，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了有理数的概念，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与无理数的概念．◎题型3：有理数的分类
（1）按定义分类： （2）按性质分类
备注： ①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0 统称为非正整数
③正数、0 统称为非负数
④负数、0 统称为非正数
例．（2021·上海市杨浦民办凯慧初级中学期末）下列说法中，错误的是（ ）．
A．有理数可以分为整数和分数两类 B．任何有理数都有倒数
C．非负整数就是自然数 D．正数的相反数一定小于它本身
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数分类可判断A，根据倒数的定义可判断B，根据非负数与自然数定义可判断C，根据相反数与
大小比较方法可判断D
【详解】
解：A选项：有理数可以分为整数和分数两类，本选项说法正确，故A不符合题意；
B选项：0是有理数，没有倒数，所以本选项说法错误，故B符合题意；
C选项：非负整数就是自然数，本选项说法正确，故C不符合题意；
D选项：正数的相反数一定小于它本身，本选项说法正确，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查有理数的相关基础知识有理数分类，倒数，非负数，自然数，相反数，有理数的大小比较，掌握
有理数的基础知识是解题关键．
变式1．（2022·广西贺州·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D．在有理数中，零的意义表示没有
【答案】B【解析】
【分析】
根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可．
【详解】
解：A．有理数分为正有理数、0、负有理数，故此选项不符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，故此选项符合题意；
C．0.5就是十分之五，是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
D．0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，在标准条件下，冰与水的混合物的冰与水的混合物
的温度为 ，故此项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查有理数0的意义和性质，掌握0的意义和性质是正确判断的前提．
变式2．（2022·湖北·鄂州市第一中学七年级期末）下面有5个判断：
①若 是有理数，则 是负数
②互为相反数的两个数的绝对值相等
③如果有理数x的绝对值为x，那么x一定为正数
④一个有理数不是整数就是分数
⑤几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积一定为负数
其中判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，绝对值的意义，相反数的定义，有理数乘法进行逐一判断即可．
【详解】
解：①若 是有理数，则 可能是正数，负数或者是0，说法错误；
②互为相反数的两个数的绝对值相等，说法正确；
③如果有理数x的绝对值为x，那么x可能是整数或者为0，说法错误；
④一个有理数不是整数就是分数，说法正确；
⑤几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积不一定为负数，例如当这几个有理数中有0时，最后的
结果为0，说法错误；
故选B【点睛】
本题主要考查了有理数的分类，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的乘法，熟知相关知识是解题的关
键．
变式3．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）下列结论正确的有（ ）
①有理数包括正数和分数 ②a的相反数是
③一个不是0的有理数的倒数和它同号 ④绝对值等于4的数是4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义逐一判断即可．
【详解】
解：①有理数包括整数和分数，说法错误；
②a的相反数是 ，说法正确；
③一个不是0的有理数的倒数和它同号，说法正确，；
④绝对值等于4的数是±4，说法错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了有理数的分类，相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，熟知相关知识是解题的关键．
◎题型4：0的意义
例．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学七年级阶段练习）下列关于“0”的叙述，正确的有（ ）
①0是正数与负数的分界； ②0是整数；③0只是表示没有；④0常用来表示某些量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据0不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可
【详解】
①0是正数与负数的分界，正确，
②0是整数，正确，③在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数
的分界等，故错误，
④0还常用来表示某种量的基准，正确，
正确的有3个
故选C
【点睛】
本题考查了0的意义；掌握0的相关知识点是解决本题的关键．
变式1．（2021·海南省东方市琼西中学七年级阶段练习）有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分
界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0
m表示没有海拔．其中正确的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据0的意义逐个判断即可．
【详解】
解：①0是正数和负数的分界，故①正确；
②0不只表示“什么也没有”，故②错误；
③0可以表示特定的意义，故③正确；
④0既不是正数，也不是负数，故④错误；
⑤0是非负数，故⑤正确；
⑥某地海拔为0 m表示其高度是0m，故⑥错误，
∴说法正确的有①③⑤，共3个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了0的意义，熟记0的意义是解题关键．
变式2．（2022·全国·七年级）下列说法错误的是（ ）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C． 是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
【答案】D
【解析】【分析】
根据有理数0的特殊性质解答．
【详解】
解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意，
B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；
C、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意，
D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是最小的自然数；④是正数
和负数分界．
变式3．（2016·山西大同·七年级期末）关于数“0”有下面几种说法：
①是整数，也是有理数；
②不是正数，也不是负数；
③不是整数，是有理数；
④是整数，不是自然数，
其中正确的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据实数的分类方法可知，0是整数，也是有理数，故①正确；0既不是正数，也不是负数，故
②正确；③不正确；0是整数，也是自然数，故④不正确．其中正确的有①和②两个．
故选C．
考点：实数的分类．
◎题型5：数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
数轴画法的常见错误举例：
错例 原因
2 3 无原点没有正方向
0 1 2
2 3 4 单位长度不统一
0 没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都代表有理数，如 .
例．（2021·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）下列图形是数轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴的定义来判定：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
【详解】
解：A、没有原点，单位长度，所以它不是数轴，所以选项A不正确；
B、没有原点，所以它不是数轴，所以选项B不正确；
C、原点左边数值错误，它不是数轴，所以选项C不正确；
D、有原点、正方形、单位长度，它是数轴，所以选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴的定义，判断一条直线是否为数轴要具备以下几点：①有数轴的三要素：原点，单位长度，
正方向，②单位长度是否一致，③必须向右为正方向；缺一不同．
变式1．（2021·全国·七年级课时练习）如图，数轴的单位长度为1，如果 表示的数互为相反数，那么
图中的4个点中，哪一个点表示的数的平方值最大（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由于点 表示的数是互为相反数，数轴的单位长度为1，根据相反数的定义确定出 的中点O为原点，
易得点 表示的数为 ， 点表示的数为1，则点 表示的数为4， 点表示的数为5，然后求出各数的平
方即可确定正确答案．
【详解】
解：如图，
解：∵点 ， 表示的数是互为相反数，数轴的单位长度为1，
∴线段 的中点O为原点，
∴点 表示的数为 ， 点表示的数为1，
∴点 表示的数为4， 点表示的数为5，
∵ ， ， ， ，
∴表示的数的平方值最大的点是 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴：数轴的三要素（原点、单位长度和正方向）；数轴上左边的点表示的数比右边点表示的
数大，也考查了有理数的乘方与相反数，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了
数形结合的优点．
变式2．（2022·吉林吉林·一模）如图，数轴上的整数 被“冰墩墩”遮挡，则 的相反数是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】B
【解析】
【分析】
先确定被“冰墩墩”遮挡的数，然后根据相反数定义求解即可．
【详解】
解：∵被“冰墩墩”遮挡数轴上的整数 =2，
∴ 的相反数是-2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了用数轴上的点表示数，相反数定义，掌握数轴上的点表示数，相反数定义是解题关键．
变式3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，数轴上的点B表示实数b，若实数a满足不
等式 ，则a可能为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的几何意义和点B在数轴上的位置得出a的取值范围即可求解.
【详解】
解：由数轴上点B的位置，可判断 ，则 ，
故选A．
【点睛】
本题考查数轴、相反数，正确得出a的取值范围是解答的关键.
◎题型6：利用数轴表示有理数的大小
比较两个数的大小常用的方法：
（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；
（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.。
例．（2021·江苏·常州实验初中七年级期中）如图，数轴上A，B两点分别对应数a，b，则下列结论正确
的是（ ）A．|a|＞|b| B．a＞b C．b＞﹣a D．ab＞0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A、B与原点的位置、距离即可判断．
【详解】
解：由图可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，故A选项正确，符合题意；
故B选项错误，不符合题意；
b＜﹣a，故C选项错误，不符合题意；
ab＜0，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上两点的位置．
变式1．（2022·江苏南京·二模）数m在数轴上的位置如图所示，则m、－m、 这三个数的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据坐标可知 ，据此即可作答．
【详解】
根据坐标可知 ，
则有 ， ，
即有： ，
故选：D．【点睛】
本题主要考查了有理数大小的比较，通过数轴确定m的取值范围，进而求出-m、 的范围是解答本题的关
键．
变式2．（2022·福建泉州·模拟预测）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，已知 ，则
四个数中绝对值最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 可确定出原点在点a与c的中点，再根据b与原点的距离的大小确定结论．
【详解】
解：∵ ，∴原点在点a与c的中点上，
∴由图可知：b到原点的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是b．
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．
变式3．（2022·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数c满足 ，
则c的值可以是（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 结合数轴判断，即可得c的值．
【详解】解：由数轴-3
