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专题 01 正数、负数和有理数
【思维导图】
◎题型1：正数和负数的概念
负数：比0小的数，例如：-1，-2.5，- 等数。
正数：比0大的数，例如：+1，+2.5，+ ， 0 既不是正数，也不是负数。
备注：
①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表
示 0 时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误
的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）。
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
③具有相反意义的量：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8℃表示为：+8℃；零下 8℃表示为：-8℃。
例．（2022·四川达州·七年级阶段练习）在 ， ， ， ， ， ， 中正数的个数为
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方、绝对值的性质、相反数的定义对各数化简求值即可作出判断．
【详解】
解：在-2，-|-6|，-（-5），-32，（-2）2，21，（-1）0中，
其中-|-6|=-6，-（-5）=5，-32=-9，（-2）2=4，21=2，（-1）0=1，
所以正数有-（-5），（-2）2，21，（-1）0共4个，
故选：C．
【点睛】
此题考查了正数的识别、有理数的乘方、绝对值的性质、相反数的定义、零指数幂等实数基本概念，要熟
悉这些概念，并能灵活运用．
变式1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所二模）2022年5月1日上午7时，丽江市主城区的气温为零上
8℃，记作＋8℃．此时玉龙雪山海拔最高点的气温为零下3℃，可记作（ ）
A．＋3℃ B．＋5℃ C．－3℃ D．－5℃
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温就记为正，则气温零下记为负，直接得出结论即可．
【详解】
解：∵零上8℃，记作＋8℃，
∴零下3℃，记作-3℃，
故选：C．
【点睛】
本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则
和它意义相反的就为负．
变式2．（2021·全国·七年级单元测试）如果某商场盈利 万元，记作 万元，那么亏损 万元，应记作（ ）
A． B． 万元 C． 万元 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
盈利、亏损表示两个具有相反意义量，把盈利记作“ ”，则亏损记作“ ”，进而得出答案．
【详解】
解： 盈利、亏损表示两个具有相反意义量，
亏损 万元，应记作 万．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的
量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式3．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）某年，一些国家商品进出口总额的增长率如下：
意大
美国 德国 法国 中国 英国 日本
利
1.3% 7.5% 0.2% 2.4%
商品进出口总额的增长率最大的国家是（ ）
A．美国 B．英国 C．中国 D．日本
【答案】C
【解析】
【分析】
比较各国出口总额增长率得出结论．
【详解】
解：∵-6.4%＜-3.5%＜-2.4%＜0.2%＜1.3%＜2.4%＜7.5%
∴增长率最大的是中国．
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，会比较有理数的大小是解决问题的关键．
◎题型2：有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数
⑶整数和分数构成了有理数。
备注：
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
例．（2022·陕西·模拟预测）下列实数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的分类逐个判断即可求解．
【详解】
解：∵ ， ， 是无理数， 是有理数．
故选C．
【点睛】
本题考查了实数的分类，正确的区分无理数与有理数是解题的关键．
变式1．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）在1，﹣2， ， 这四个数中，最大的有理数是（
π
）
A．﹣2 B． C． D．1
π
【答案】C
【解析】
【分析】
先找出四个数中的有理数，然后根据正数大于零，零大于负数，进行比较大小即可．
【详解】
解：1，﹣2，π， 这四个数中有理数为1，﹣2， ，
∵ ，∴1，﹣2，π， 这四个数中最大的有理数是 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了有理数的概念、大小比较，先从这四个数中选出所有的有理数是解题的关键．
变式2．（2021·湖南衡阳·七年级期末）在 ， ， ，0四个数中，有理数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的定义进行判断即可．
【详解】
解： 在 ， ， ，0四个数中， ， ，0是有理数，
有理数的个数为3，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了有理数的识别，熟练掌握有理数的定义是解决本题的关键．
变式3．（2022·山东济南·八年级期末）在实数 中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的概念：正整数，0，负整数和分数的统称，是整数与分数的集合进行判断即可．
【详解】
解： 是分数，为有理数； 是整数，为有理数； 是无理数； 是无理数； 是有限
小数，为有理数，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了有理数的概念，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与无理数的概念．◎题型3：有理数的分类
（1）按定义分类： （2）按性质分类
备注： ①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0 统称为非正整数
③正数、0 统称为非负数
④负数、0 统称为非正数
例．（2021·上海市杨浦民办凯慧初级中学期末）下列说法中，错误的是（ ）．
A．有理数可以分为整数和分数两类 B．任何有理数都有倒数
C．非负整数就是自然数 D．正数的相反数一定小于它本身
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数分类可判断A，根据倒数的定义可判断B，根据非负数与自然数定义可判断C，根据相反数与
大小比较方法可判断D
【详解】
解：A选项：有理数可以分为整数和分数两类，本选项说法正确，故A不符合题意；
B选项：0是有理数，没有倒数，所以本选项说法错误，故B符合题意；
C选项：非负整数就是自然数，本选项说法正确，故C不符合题意；
D选项：正数的相反数一定小于它本身，本选项说法正确，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查有理数的相关基础知识有理数分类，倒数，非负数，自然数，相反数，有理数的大小比较，掌握
有理数的基础知识是解题关键．
变式1．（2022·广西贺州·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D．在有理数中，零的意义表示没有
【答案】B【解析】
【分析】
根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可．
【详解】
解：A．有理数分为正有理数、0、负有理数，故此选项不符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，故此选项符合题意；
C．0.5就是十分之五，是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
D．0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，在标准条件下，冰与水的混合物的冰与水的混合物
的温度为 ，故此项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查有理数0的意义和性质，掌握0的意义和性质是正确判断的前提．
变式2．（2022·湖北·鄂州市第一中学七年级期末）下面有5个判断：
①若 是有理数，则 是负数
②互为相反数的两个数的绝对值相等
③如果有理数x的绝对值为x，那么x一定为正数
④一个有理数不是整数就是分数
⑤几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积一定为负数
其中判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，绝对值的意义，相反数的定义，有理数乘法进行逐一判断即可．
【详解】
解：①若 是有理数，则 可能是正数，负数或者是0，说法错误；
②互为相反数的两个数的绝对值相等，说法正确；
③如果有理数x的绝对值为x，那么x可能是整数或者为0，说法错误；
④一个有理数不是整数就是分数，说法正确；
⑤几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积不一定为负数，例如当这几个有理数中有0时，最后的
结果为0，说法错误；
故选B【点睛】
本题主要考查了有理数的分类，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的乘法，熟知相关知识是解题的关
键．
变式3．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）下列结论正确的有（ ）
①有理数包括正数和分数 ②a的相反数是
③一个不是0的有理数的倒数和它同号 ④绝对值等于4的数是4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义逐一判断即可．
【详解】
解：①有理数包括整数和分数，说法错误；
②a的相反数是 ，说法正确；
③一个不是0的有理数的倒数和它同号，说法正确，；
④绝对值等于4的数是±4，说法错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了有理数的分类，相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，熟知相关知识是解题的关键．
◎题型4：0的意义
例．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学七年级阶段练习）下列关于“0”的叙述，正确的有（ ）
①0是正数与负数的分界； ②0是整数；③0只是表示没有；④0常用来表示某些量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据0不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可
【详解】
①0是正数与负数的分界，正确，
②0是整数，正确，③在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数
的分界等，故错误，
④0还常用来表示某种量的基准，正确，
正确的有3个
故选C
【点睛】
本题考查了0的意义；掌握0的相关知识点是解决本题的关键．
变式1．（2021·海南省东方市琼西中学七年级阶段练习）有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分
界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0
m表示没有海拔．其中正确的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据0的意义逐个判断即可．
【详解】
解：①0是正数和负数的分界，故①正确；
②0不只表示“什么也没有”，故②错误；
③0可以表示特定的意义，故③正确；
④0既不是正数，也不是负数，故④错误；
⑤0是非负数，故⑤正确；
⑥某地海拔为0 m表示其高度是0m，故⑥错误，
∴说法正确的有①③⑤，共3个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了0的意义，熟记0的意义是解题关键．
变式2．（2022·全国·七年级）下列说法错误的是（ ）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C． 是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
【答案】D
【解析】【分析】
根据有理数0的特殊性质解答．
【详解】
解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意，
B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；
C、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意，
D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是最小的自然数；④是正数
和负数分界．
变式3．（2016·山西大同·七年级期末）关于数“0”有下面几种说法：
①是整数，也是有理数；
②不是正数，也不是负数；
③不是整数，是有理数；
④是整数，不是自然数，
其中正确的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据实数的分类方法可知，0是整数，也是有理数，故①正确；0既不是正数，也不是负数，故
②正确；③不正确；0是整数，也是自然数，故④不正确．其中正确的有①和②两个．
故选C．
考点：实数的分类．
◎题型5：数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
数轴画法的常见错误举例：
错例 原因
2 3 无原点没有正方向
0 1 2
2 3 4 单位长度不统一
0 没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都代表有理数，如 .
例．（2021·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）下列图形是数轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴的定义来判定：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
【详解】
解：A、没有原点，单位长度，所以它不是数轴，所以选项A不正确；
B、没有原点，所以它不是数轴，所以选项B不正确；
C、原点左边数值错误，它不是数轴，所以选项C不正确；
D、有原点、正方形、单位长度，它是数轴，所以选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴的定义，判断一条直线是否为数轴要具备以下几点：①有数轴的三要素：原点，单位长度，
正方向，②单位长度是否一致，③必须向右为正方向；缺一不同．
变式1．（2021·全国·七年级课时练习）如图，数轴的单位长度为1，如果 表示的数互为相反数，那么
图中的4个点中，哪一个点表示的数的平方值最大（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由于点 表示的数是互为相反数，数轴的单位长度为1，根据相反数的定义确定出 的中点O为原点，
易得点 表示的数为 ， 点表示的数为1，则点 表示的数为4， 点表示的数为5，然后求出各数的平
方即可确定正确答案．
【详解】
解：如图，
解：∵点 ， 表示的数是互为相反数，数轴的单位长度为1，
∴线段 的中点O为原点，
∴点 表示的数为 ， 点表示的数为1，
∴点 表示的数为4， 点表示的数为5，
∵ ， ， ， ，
∴表示的数的平方值最大的点是 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴：数轴的三要素（原点、单位长度和正方向）；数轴上左边的点表示的数比右边点表示的
数大，也考查了有理数的乘方与相反数，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了
数形结合的优点．
变式2．（2022·吉林吉林·一模）如图，数轴上的整数 被“冰墩墩”遮挡，则 的相反数是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】B
【解析】
【分析】
先确定被“冰墩墩”遮挡的数，然后根据相反数定义求解即可．
【详解】
解：∵被“冰墩墩”遮挡数轴上的整数 =2，
∴ 的相反数是-2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了用数轴上的点表示数，相反数定义，掌握数轴上的点表示数，相反数定义是解题关键．
变式3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，数轴上的点B表示实数b，若实数a满足不
等式 ，则a可能为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的几何意义和点B在数轴上的位置得出a的取值范围即可求解.
【详解】
解：由数轴上点B的位置，可判断 ，则 ，
故选A．
【点睛】
本题考查数轴、相反数，正确得出a的取值范围是解答的关键.
◎题型6：利用数轴表示有理数的大小
比较两个数的大小常用的方法：
（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；
（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.。
例．（2021·江苏·常州实验初中七年级期中）如图，数轴上A，B两点分别对应数a，b，则下列结论正确
的是（ ）A．|a|＞|b| B．a＞b C．b＞﹣a D．ab＞0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A、B与原点的位置、距离即可判断．
【详解】
解：由图可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，故A选项正确，符合题意；
故B选项错误，不符合题意；
b＜﹣a，故C选项错误，不符合题意；
ab＜0，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上两点的位置．
变式1．（2022·江苏南京·二模）数m在数轴上的位置如图所示，则m、－m、 这三个数的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据坐标可知 ，据此即可作答．
【详解】
根据坐标可知 ，
则有 ， ，
即有： ，
故选：D．【点睛】
本题主要考查了有理数大小的比较，通过数轴确定m的取值范围，进而求出-m、 的范围是解答本题的关
键．
变式2．（2022·福建泉州·模拟预测）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，已知 ，则
四个数中绝对值最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 可确定出原点在点a与c的中点，再根据b与原点的距离的大小确定结论．
【详解】
解：∵ ，∴原点在点a与c的中点上，
∴由图可知：b到原点的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是b．
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．
变式3．（2022·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数c满足 ，
则c的值可以是（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 结合数轴判断，即可得c的值．
【详解】解：由数轴-3<b<-1, 2<a<3及 知，
观察-3,-2,2,3四个数，只有2符合．
故选：C．
【点睛】
本题考查了在数轴比较大小，牢记数轴上左边的的点表示的数小于右边的点表示的数是解题关键．
◎题型7：数轴上两点间的距离
用两个点代表的数相减即可，一般用右边的数减去左边的数。或者用绝对值表示
。
例．（2022·贵州贵阳·三模）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，
若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，可知A，B两点到原点的距离相等，进而可求出B
点表示的数，进而可求出A点表示的数．
【详解】
解：因为AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，
所以A，B两点到原点的距离相等，
则B点表示的数为：8÷2=4，
则A点表示的数为：﹣4，
故选：A．
【点睛】
本题考查相反数的几何意义，数轴上两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
变式1．（2022·山东济南·三模）如图，将一刻度尺放在数轴上，（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上
0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上5.5cm对应数轴上的数为（ ）A．6 B．﹣6 C．﹣2.3 D．﹣2.5
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数轴上两点间的距离的表示方法，列式计算即可．
【详解】
解：刻度尺上“5.5cm“对应数轴上的数为3-5.5=-2.5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴的概念，在数轴上，右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离．
变式2．（2022·河南三门峡·九年级期末）数轴上到原点的距离为1的负数是（ ）
A． B．1 C． 或 D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据数轴的性质列出运算式子，再计算有理数的减法即可得．
【详解】
解：数轴上到原点的距离为1的负数是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了数轴、有理数的减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
变式3．（2021·黑龙江·肇源县第五中学期中）在数轴上，到原点的距离等于6的点表示的数是（ ）
A．5 B．－7 C．5或－7 D．6或-6
【答案】D
【解析】
【分析】
从原点向左数6个单位长度得 ，向右数6个单位长度得6，也就是绝对值为6的数是 ．
【详解】
解：与原点距离为6的点为： ，这个数为6或 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴，解题的关键是通过数轴找这样的数，有助于对绝对值意义的理解．
◎题型8：数轴上的动点问题
例．（2022·河北·模拟预测）在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点M向左平移2
个单位长度，得到点P，若OP＝2ON，则a的值为（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的规律得到点P表示的数为a-2，根据OP=2ON得到 ，根据a＜0，求出a．
【详解】
点M向左平移2个单位长度，即点P表示的数字为a-2，
∵OP=2ON，
∴ ，
又∵a＜0，
∴a-2=-6，解得a=-4，
故选D．
【点睛】
此题考查了数轴上点的平移规律，数轴上两点之间的距离，正确理解数轴上点的平移规律是解题的关键．
变式1．（2022·河北保定·一模）如图，直线l上有三点A，B，C， ， ，点P，Q分别从点
A，B同时出发，向点C移动，点P的速度是m个单位长/秒，点Q的速度是n个单位长/秒， ，那
么（ ）
A．点P先到 B．点Q先到
C．点P，Q同时到 D．无法确定哪点先到【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意表示出P运动所需的时间为 ，Q运动所需的时间为 ，再根据 ，并
利用不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】
由题意得，P运动所需的时间为 ，Q运动所需的时间为 ，
，
，
，
即Q运动所需的时间短，
所以，点Q先到，
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质和数轴，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式2．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）在数轴上，点A表示－4，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度
到达点B ，则点B表示的数是（ ）
A．－8 B．－4 C．0 D．－8或0
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当点A往左移动4个单位得到点B，当点A往右移动4个单位得到点B，从而可得答案.
【详解】
解：点A表示－4，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B ，
当点A往左移动4个单位得到点B，此时点B为：
当点A往右移动4个单位得到点B，此时点B为：
故选D【点睛】
本题考查的是数轴上的动点问题，掌握数轴上的点的左右移动后对应的点的所表示的数的表示方法是解本
题的关键.
变式3．（2022·山东济南·期末）数轴上点A表示的数是-2，将点A在数轴上移动6个单位长度得到点B，
则点B表示的数是（ ）
A．4 B．-4或8 C．-8 D．4或-8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴上点的移动：左减右加，从而可以解答本题．
【详解】
解： 数轴上的点A表示的数是一2，
当向右移动6个单位长度时，点B表示的数是： ；
当向左移动6个单位长度时，点B表示的数是： ；
故选：D．
【点睛】
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴上点的移动规律．
◎题型9：相反数
相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.
相反数的性质：
（1）一般地，数 的相反数是 ；这里以 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个
代数式．注意 不一定是负数．
（2）当 时， ；当 时， ；当 时， .
（3）互为相反数的两个数的和为零，即若 与 互为相反数，则 ，
反之，若 ，则 与 互为相反数．
（4）多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”
是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.
例．（2022·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（
）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上点的特点，进行判断即可．
【详解】
ABC.根据数轴上点a、b的位置可知， ， ，
∴ ，故AB错误，C正确；
根据数轴上点a、b的位置可知， ，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．
变式1．（2022·北京·七年级期末）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．＋（﹣2）与﹣（+2） B．﹣（﹣3）与|﹣3|
C．﹣32与（﹣3）2 D．﹣23与（﹣2）3
【答案】C
【解析】
【分析】
先去括号、化简绝对值、计算乘方，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐项判断
即可得．
【详解】
解：A、 ， ，则这对数不互为相反数，此项不符题意；
B、 ， ，则这对数不互为相反数，此项不符题意；
C、 ， ，则这对数互为相反数，此项符合题意；
D、 ， ，则这对数不互为相反数，此项不符题意；
故选：C．【点睛】
本题考查了去括号、绝对值、乘方、相反数，熟练掌握各运算法则和定义是解题关键．
变式2．（2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习）若式子1－3x和x＋7的值互为相反数，则x的值为
（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互为相反数的两个数相加为0计算即可；
【详解】
∵式子1－3x和x＋7的值互为相反数，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的求解，相反数的性质，准确计算是解题的关键．
变式3．（2021·河南三门峡·七年级期中）若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义计算即可．
【详解】
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它相反数，零的绝对值是零．◎题型10：绝对值的意义
【绝对值的几何意义】一个数 的绝对值就是数轴上表示数 的点与原点的距离.数 的绝对值记作 .
（距离具有非负性）。
【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符
号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 .
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 符号是负号，绝对值是 .
例．（2020·江西景德镇·七年级期中）下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0的绝对值最小；③0是最小的整数；④0的绝对值、相反数、倒数都是它
本身．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，绝对值，相反数，倒数的定义逐一判断即可．
【详解】
解：①0既不是正数也不是负数，说法正确，符合题意；
②0的绝对值最小，说法正确，符合题意；
③0不是最小的整数，说法错误，不符合题意；
④0的绝对值、相反数都是它本身，0没有倒数，说法错误，不符合题意；
∴说法正确的一共有2个，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了有理数的分类，绝对值，相反数和倒数，熟知相关定义是解题的关键．
变式1．（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）如图，某数轴的单位长度为 ，如果点 ， 表示的数
的绝对值相等，那么点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
根据A，B表示的数的绝对值相等，得到AB的中点为原点，即可确定出A表示的数．
【详解】
解：∵点A，B表示的数的绝对值相等，
∴线段AB中点为原点，
则点A到原点为3个单位长度，
∵数轴的单位长度为1.5，
∴点A表示的数为-3×1.5=-4.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．注意：该数轴的单位长度为
1.5．
变式2．（2022·吉林长春·九年级开学考试）﹣4的绝对值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的代数意义解答即可．
【详解】
的绝对值是4．
故答案为A
【点睛】
本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握负数的绝对值是它的相反数是解答本题的关键．
变式3．（2022·河南·三模）下列各数中绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出各数的绝对值，再比较大小即可解答．
【详解】解： ， ， ， ，
∵ ，
∴绝对值最大的数是-4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较以及绝对值的概念，解题的关键是求出各数的绝对值．
◎题型11：化简绝对值
【求字母 的绝对值】
② ③
①
例．（2021·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）如图所示，试化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴_上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的意义化简，去括号后合并即可得
到结果．
【详解】
解：根据数轴上点的位置可得： ，且 ，
∴ ， ， ，
∴
．故选：D．
【点睛】
本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．绝对值的意义：一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的
绝对值等于它的相反数，零的绝对值等于零．熟练掌握运算法则和绝对值的意义是解答本题的关键．
变式1．（2021·四川德阳·七年级期末）表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式
的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
判断 ， 是负数， 是正数，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0
的绝对值是0，进行化简；
【详解】
解：原式= ，
，
= ．
【点睛】
本题考查绝对值的化简，解题关键熟记：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的
绝对值是0．
变式2．（2022·湖南株洲·七年级期末）有理数 在数轴上的位置如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜5，然后根据绝对值的性质去绝对值即可．
【详解】
解：∵a＜5，
∴|a−5|＝−（a−5）＝5−a．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴和绝对值的概念是解题关键，注意：若a＞0，则|a|＝a；若a＝
0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝−a．
变式3．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式
可化简为（ ）
A．3b B． C． D．－3b
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置，可得a与b的关系，根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答
案．
【详解】
由a、b在数轴上的位置，得
a＜0＜b．
|a+2b|-|a-b|=a+2b-（b-a）=2a+b，
故选：C．
【点睛】
考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置得出a与b的关系是解题关键，又利用了绝对值的性质，整式的
加减．
◎题型12：绝对值的应用
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：|a|≥0 ，如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.例如：若，则 ， ，
。
【绝对值的其它重要性质】
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 ，且 ；
（2）若 ，则 或 ；
（3） ； ；
（4） ；
（5）||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|
的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
的几何意义：在数轴上，表示数 ． 对应数轴上两点间的距离．
例．（2022·北京·海淀实验中学八年级期中）如果 ，则 等于（ ）
A．2006 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，x+ =0,y- =0,
解得，x=- ,y= ,
∴（xy）2006=(- )2006=(-1)2006=1,
故选C.
【点睛】
此题考查了非负数的性质及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式 、 、 、 、 中，值一定是正数的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．
【详解】
解： 不一定是正数；
是非负数，不一定是正数；
一定是正数；
一定是正数；
是非负数，不一定是正数；
所以值一定是正数的有 个．
故选：B
【点睛】
本题考查了实数，非负数，绝对值，掌握非负数的性质是解题的关键．
变式2．（2022·四川·一模）如果 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用非负数的性质求得 ， 的值，然后代入 求值即可．
【详解】
解：∵ ，且 ， ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
故选：D
【点睛】
本题考查了代数式的求值问题，利用非负数的性质求得 ， 的值是解题的关键．
变式3．（2022·天津滨海新·七年级期末）如果 ，那么 的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方的非负性，绝对值的非负性，计算m，n的值即可；
【详解】
解：由题意得：m+ =0，m=- ，
n-6=0，n=6，
∴mn=-2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了非负代数式的和：如果几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零．
◎题型13：有理数的大小比较
例．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．－2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴上的数，越往右的数越大，正数大于0，0大于负数，据此解答．
【详解】解：
最大的数是1，
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1．（2022·广东·模拟预测）在下列各数中，比 小的数是（ ）．
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
解：∵-2＜-1< ＜0＜1，
∴比 小的数是-2．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了有理数的大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数＞0＞负数，两个负数
绝对值大的反而小．
变式2．（2021·广东深圳·七年级期中）2021年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是﹣
4℃、5℃、20℃、﹣18℃，当时这四个城市中，气温最低的是（ ）
A．北京 B．上海 C．深圳 D．长春
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小，进行求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴
∴20＞5＞﹣4＞﹣18，
∴-18最小，∴最低气温是-18℃，即长春的温度最低，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的法则是解题的关键．
变式3．（2021·江苏宿迁·七年级期中）小明向同学们出示了四张身份证，分别是他爸爸、妈妈、姐姐和自
己的，则他姐姐的身份证号码是（ ）
A．321088197602043618 B．321088197808143627
C．321088200507183395 D．321088200310053626
【答案】D
【解析】
【分析】
身份证上第7～14位表示出生日期，分析各个选项中表示的出生日期，进而确定他姐姐的身份证号码即可．
【详解】
A、321088197602043618，第7～14位是19760204，即1976年2月4日出生 ，
B、321088197808143627，第7～14位是19780814，即1978年8月14日出生，
C、321088200507183395，第7～14位是20050718，即2005年7月18日出生，
D、321088200310053626，第7～14位是20031005，即2003年10月5日出生，
小明姐姐的年龄比爸爸，妈妈的小，比小明大，
对应的身份证号应为：321088200310053626，
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，解题时要了解身份证号码的常识．
