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专题 01 正数、负数和有理数
【思维导图】
◎题型1：正数和负数的概念
负数：比0小的数，例如：-1，-2.5，- 等数。
正数：比0大的数，例如：+1，+2.5，+ ， 0 既不是正数，也不是负数。
备注：
①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表
示 0 时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误
的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）。
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
③具有相反意义的量：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8℃表示为：+8℃；零下 8℃表示为：-8℃。
例．（2022·四川达州·七年级阶段练习）在 ， ， ， ， ， ， 中正数的个数为
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所二模）2022年5月1日上午7时，丽江市主城区的气温为零上
8℃，记作＋8℃．此时玉龙雪山海拔最高点的气温为零下3℃，可记作（ ）
A．＋3℃ B．＋5℃ C．－3℃ D．－5℃
变式2．（2021·全国·七年级单元测试）如果某商场盈利 万元，记作 万元，那么亏损 万元，应记作
（ ）
A． B． 万元 C． 万元 D．
变式3．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）某年，一些国家商品进出口总额的增长率如下：
意大
美国 德国 法国 中国 英国 日本
利
1.3% 7.5% 0.2% 2.4%
商品进出口总额的增长率最大的国家是（ ）
A．美国 B．英国 C．中国 D．日本
◎题型2：有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶整数和分数构成了有理数。
备注：
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
例．（2022·陕西·模拟预测）下列实数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）在1，﹣2， ， 这四个数中，最大的有理数是（
π
）A．﹣2 B． C． D．1
π
变式2．（2021·湖南衡阳·七年级期末）在 ， ， ，0四个数中，有理数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式3．（2022·山东济南·八年级期末）在实数 中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◎题型3：有理数的分类
（1）按定义分类： （2）按性质分类
备注： ①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0 统称为非正整数
③正数、0 统称为非负数
④负数、0 统称为非正数
例．（2021·上海市杨浦民办凯慧初级中学期末）下列说法中，错误的是（ ）．
A．有理数可以分为整数和分数两类 B．任何有理数都有倒数
C．非负整数就是自然数 D．正数的相反数一定小于它本身
变式1．（2022·广西贺州·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D．在有理数中，零的意义表示没有
变式2．（2022·湖北·鄂州市第一中学七年级期末）下面有5个判断：
①若 是有理数，则 是负数
②互为相反数的两个数的绝对值相等
③如果有理数x的绝对值为x，那么x一定为正数
④一个有理数不是整数就是分数
⑤几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积一定为负数
其中判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4变式3．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）下列结论正确的有（ ）
①有理数包括正数和分数 ②a的相反数是
③一个不是0的有理数的倒数和它同号 ④绝对值等于4的数是4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◎题型4：0的意义
例．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学七年级阶段练习）下列关于“0”的叙述，正确的有（ ）
①0是正数与负数的分界； ②0是整数；③0只是表示没有；④0常用来表示某些量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2021·海南省东方市琼西中学七年级阶段练习）有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分
界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0
m表示没有海拔．其中正确的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式2．（2022·全国·七年级）下列说法错误的是（ ）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C． 是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
变式3．（2016·山西大同·七年级期末）关于数“0”有下面几种说法：
①是整数，也是有理数；
②不是正数，也不是负数；
③不是整数，是有理数；
④是整数，不是自然数，
其中正确的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
◎题型5：数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
数轴画法的常见错误举例：
错例 原因
2 3 无原点
没有正方向
0 1 22 3 4 单位长度不统一
0 没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都代表有理数，如 .
例．（2021·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）下列图形是数轴的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2021·全国·七年级课时练习）如图，数轴的单位长度为1，如果 表示的数互为相反数，那么
图中的4个点中，哪一个点表示的数的平方值最大（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·吉林吉林·一模）如图，数轴上的整数 被“冰墩墩”遮挡，则 的相反数是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
变式3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，数轴上的点B表示实数b，若实数a满足不
等式 ，则a可能为（ ）
A． B． C．2 D．3◎题型6：利用数轴表示有理数的大小
比较两个数的大小常用的方法：
（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；
（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.。
例．（2021·江苏·常州实验初中七年级期中）如图，数轴上A，B两点分别对应数a，b，则下列结论正确
的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＞b C．b＞﹣a D．ab＞0
变式1．（2022·江苏南京·二模）数m在数轴上的位置如图所示，则m、－m、 这三个数的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·福建泉州·模拟预测）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，已知 ，则
四个数中绝对值最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．
变式3．（2022·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数c满足 ，
则c的值可以是（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
◎题型7：数轴上两点间的距离用两个点代表的数相减即可，一般用右边的数减去左边的数。或者用绝对值表示
。
例．（2022·贵州贵阳·三模）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，
若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．8
变式1．（2022·山东济南·三模）如图，将一刻度尺放在数轴上，（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上
0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上5.5cm对应数轴上的数为（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣2.3 D．﹣2.5
变式2．（2022·河南三门峡·九年级期末）数轴上到原点的距离为1的负数是（ ）
A． B．1 C． 或 D．0
变式3．（2021·黑龙江·肇源县第五中学期中）在数轴上，到原点的距离等于6的点表示的数是（ ）
A．5 B．－7 C．5或－7 D．6或-6
◎题型8：数轴上的动点问题
例．（2022·河北·模拟预测）在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点M向左平移2
个单位长度，得到点P，若OP＝2ON，则a的值为（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
变式1．（2022·河北保定·一模）如图，直线l上有三点A，B，C， ， ，点P，Q分别从点
A，B同时出发，向点C移动，点P的速度是m个单位长/秒，点Q的速度是n个单位长/秒， ，那
么（ ）
A．点P先到 B．点Q先到
C．点P，Q同时到 D．无法确定哪点先到变式2．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）在数轴上，点A表示－4，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度
到达点B ，则点B表示的数是（ ）
A．－8 B．－4 C．0 D．－8或0
变式3．（2022·山东济南·期末）数轴上点A表示的数是-2，将点A在数轴上移动6个单位长度得到点B，
则点B表示的数是（ ）
A．4 B．-4或8 C．-8 D．4或-8
◎题型9：相反数
相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.
相反数的性质：
（1）一般地，数 的相反数是 ；这里以 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个
代数式．注意 不一定是负数．
（2）当 时， ；当 时， ；当 时， .
（3）互为相反数的两个数的和为零，即若 与 互为相反数，则 ，
反之，若 ，则 与 互为相反数．
（4）多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”
是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.
例．（2022·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（
）
A． B． C． D．
变式1．（2022·北京·七年级期末）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．＋（﹣2）与﹣（+2） B．﹣（﹣3）与|﹣3|
C．﹣32与（﹣3）2 D．﹣23与（﹣2）3
变式2．（2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习）若式子1－3x和x＋7的值互为相反数，则x的值为
（ ）
A．4 B．2 C． D．
变式3．（2021·河南三门峡·七年级期中）若 ，则 （ ）A． B． C．0 D．
◎题型10：绝对值的意义
【绝对值的几何意义】一个数 的绝对值就是数轴上表示数 的点与原点的距离.数 的绝对值记作 .
（距离具有非负性）。
【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符
号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 .
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 符号是负号，绝对值是 .
例．（2020·江西景德镇·七年级期中）下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0的绝对值最小；③0是最小的整数；④0的绝对值、相反数、倒数都是它
本身．
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）如图，某数轴的单位长度为 ，如果点 ， 表示的数
的绝对值相等，那么点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·吉林长春·九年级开学考试）﹣4的绝对值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
变式3．（2022·河南·三模）下列各数中绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
◎题型11：化简绝对值
【求字母 的绝对值】
② ③
①
例．（2021·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）如图所示，试化简： （ ）A． B． C． D．
变式1．（2021·四川德阳·七年级期末）表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式
的值等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖南株洲·七年级期末）有理数 在数轴上的位置如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式
可化简为（ ）
A．3b B． C． D．－3b
◎题型12：绝对值的应用
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：|a|≥0 ，如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.例如：若
，则 ， ，
。
【绝对值的其它重要性质】
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 ，且 ；
（2）若 ，则 或 ；
（3） ； ；
（4） ；
（5）||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|
的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上，表示数 ． 对应数轴上两点间的距离．
例．（2022·北京·海淀实验中学八年级期中）如果 ，则 等于（ ）
A．2006 B． C．1 D．
变式1．（2022·四川·眉山市东坡区苏洵初级中学模拟预测）下列各式 、 、 、 、 中，值
一定是正数的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
变式2．（2022·四川·一模）如果 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·天津滨海新·七年级期末）如果 ，那么 的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
◎题型13：有理数的大小比较
例．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．－2
变式1．（2022·广东·模拟预测）在下列各数中，比 小的数是（ ）．
A．0 B．1 C． D．
变式2．（2021·广东深圳·七年级期中）2021年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是﹣
4℃、5℃、20℃、﹣18℃，当时这四个城市中，气温最低的是（ ）
A．北京 B．上海 C．深圳 D．长春
变式3．（2021·江苏宿迁·七年级期中）小明向同学们出示了四张身份证，分别是他爸爸、妈妈、姐姐和自
己的，则他姐姐的身份证号码是（ ）
A．321088197602043618 B．321088197808143627
C．321088200507183395 D．321088200310053626
