文档内容
广东省广州市 2026年普通高中毕业班综合测试(一)数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相
应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1. 若z(2+i)=5, 则 z̅=
A. - 2+i B. 2-i C. 2+i D. - 2-i
公众号：高考试卷君
2.集合 A={x∈Z∣x2−2x≤0}的子集个数为
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
( )
log x−1, ， x＞1
3
3.已知函数f（x）={ 则f(f(log₃2))=
3 x ， x≤1，
A. - 1 B. 0 C. log₃2 D. 2
π π
4.函数 f(x)=sin(x+ )sin( −x)的最小正周期是
6 3
3π π
A. 2π B. C. π D.
2 2
5. 已知向量a=(2,3), b=(0,1), 向量c满足c·(a-b)=1, 则|c|的取值范围是
√2 , ,√2 1, ,1
A. [ +∞ ) B. ( 0 ] C. [ +∞ ) D. (0 ]
4 4 8 8
6. 函数f(x)= sinx-xcosx在区间(-3π,3π)上的极值点个数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.已知抛物线 C:y2=2px（p＞0）的焦点为 F，圆. M:(x+1)2+y2=16与 C交于 A, B两点，若直线 AM 与直线
BM 的斜率之积为-3，则|AF|=
7
A. 3 B. C. 4 D. 5
28.在正三棱柱 ABC−A B C 中， AB=2,AA =1, 点 D 是平面ABC上的动点，则 A D+
√2
CD的最小值是
1 1 1 1 1
2
5√2 3√2 5√3 3√3
A. B. C. D.
4 2 4 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量 X (单位：g)服从正态分布 N(μ,σ²),且
1 7
P(X＜14)= ,P(X≤18)= .从该流水线上随机抽取 4 件产品，这 4 件产品中质量 X 在区间[14，18]上的件
8 8
数记为ξ，则
3
A. μ=16 B. P(14≤X≤18)=
4
27
C. P(ξ=1)= D. E(ξ)=3
64
10.已知x≠y，则下列命题正确的是
A. ∃x,y∈(0
,π
),sinx+siny＜sin(x+y)
2
公众号：高考试卷君
B. ∀x,y∈(0
,π
),sinx+siny＜2sin
x+y
2 2
C. ∃x,y∈(0
,π
),sinx−siny＜sin(x−y)
2
D. ∀x,y∈(0
,π
),sinx−siny＜2sin
x−y
2 2
11. 已知曲线 C 的方程为 F(x,y)=0, 集合 T={(x , y)∣F(x , y)=0}, 若对任意的 (x , y )∈T,都存在 (x , y )∈T,使得
1 1 2 2
x (y −2)=x y 成立，则称曲线C为α曲线.下列方程所表示的曲线为α曲线的是
1 2 2 1
A. x2+y2=5 B. x-y-1=0 C. y= lnx D. y=e−x−2
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆
x2
+
y2
=1（m＞0）的离心率为
√5
, 则m= .
m+1 m 5
13. 已知函数 f(x+1)为奇函数, 当 x＜1 时, f(x)=ax2−x(a≠0),若 f(x)在 ( 1 ,3 ]上单调递增，则 a 的取值范围
2
是 .
14.某公园里有一块边长分别为 30米，40米，50米的三角形草坪(记为△ABC)，点 D，E在△ABC的边上，
线段DE 把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 米.四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列{a }的首项a =
2
, 且满足
1
=
an+1
.
n 1
3 an+1 2an
1
(1)证明：数列 { −1 }为等比数列；
an
1
(2)若数列 { +n }的前n项和 Sn小于120，求n的最大值.
an
16.(15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠ABC=60∘,
PA⊥平面ABCD, 点E 是棱 PB的中点.
(1) 求证: AB⊥CE;
3
(2)若点B 到平面PCD公的距离众为 号 ，求：平面高PAB与考平面试PCD卷夹角君的余弦值.
2
17.(15分)
甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标
者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为α(0＜α＜1),乙每次射击命中目标的概率均为 β(0＜β＜1)，
各次射击结果互不影响.
(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p(用α，β表示)；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求β的最小值.
参考公式: 若0＜q＜1, 则 ∑∞ q'=1+q+q2+q3+⋯= 1 .
l=0 1−q18. (17分)
已知函数f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1.
(1) 若a=1, 求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有且仅有1个零点，求a的值；
(3) 若存在a, 使得f(x)≤a+b 对任意x＞0恒成立, 证明: a-b＜4.
19.(17分)
已知双曲线 C： x 2 － y 2 =1（a＞b＞0）的焦点到其渐近线的距离为. √2 , 点 (√2 , √2)
a 2 b2
在C上.
(1) 求C的方程;
公众号：高考试卷君
(2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且 ∣AB∣=2√2,线段AB的中点为M.
(i)设 E(0 , √3),F(0 , −√3),求|ME|·|MF|的最大值;
(ii) 设P(-t,0), Q(t,0)(t＞1),点M 不在x轴上，若 ∠MQP=2∠MPQ,
∣MP∣
求 的取值范围.
∣MQ∣
参考答案
1-8.
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】B
9.【答案】ABD10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】[1,+∞)
14.【答案】20
15. (1)
1
=
an+1
=
1
×a +
1
,
n
an+1 2an 2 2
1 1 1
两边同时-1，有 −1= ( −1),
an+1 2 an
1
−1
所以 an+1 = 1 (常数),
1 −1 2
an
1 1 1
所以 { −1}是首项为 ,，公比为 的等比数列.
an 2 2
公众号：高考试卷君
1
(2)设数列 { }的前 n 项和为 Tn,
an
1 n 1 n
所以 T −n=1−( ) ,所以 T =n+1−( ) ,
n n
2 2
1 n (1+n)n (n+1)(n+2) 1 n
所以 S =T +(1+2+⋯+n)=n+1−( ) + = −( )
n n
2 2 2 2
16.(1)取 AB 中点 F ,连接 AC,FC,EF
因为平行四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC=60∘,所以 △ABC是等边三角形
又因为 F 是 AB 中点，所以 CF⟂AB
又因为 E,F 分别是 PB,AB 中点,所以. EF‖AP
又因为 AP⊥底面 ABCD,AB⊂底面 ABCD ,所以 AP⊥AB所以 EF⊥AB
又因为 FC⊥AB,EF,FC⊂平面 EFC,EF∩FC=F
所以 AB⟂平面EFC
又因为 EC⊂∓面EFC,所以 AB⊥CE
(2)连接 AC,BD 交于点 O ,以 O 为原点张云帆讲数学
分别以 OB，OC 平行于 AP 的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系
B(√3 , 0 , 0),C(0 , 1 , 0),D(−√3 , 0 , 0)
设 AP=a ,所以 P(0,-1,a)
设平面 PCD 的法向量为 n⃗ =(x , y , z )
1 1 1 1
C⃗⃗⃗⃗⃗D⃗ =(−√3 , −1 , 0),C⃗⃗⃗⃗P⃗ =(0 , −2 , a)
→ →
CD·n =0 −√3x −y =0
{ 1 ⇒{ 1 1
→ → −2y +az =0
CP·n 1 =0 1 1
令 z =6,则 y =3a,x =−√3a,所以 n⃗⃗⃗ =(−√3a , 3a , 6)
1 1 1 1
公众号：高考试卷君
又因为 D⃗⃗⃗⃗B⃗ =(2√3 , 0 , 0),
所以点 B 到面 PCD 的距离 d=
∣⃗D⃗⃗⃗⃗B ⋅⃗n⃗⃗1 ∣
=
∣−6a∣
=
3
∣⃗n⃗⃗ 1∣ √3a2+9a2+36 2
所以 a=3 ,所以平面 PCD 的法向量 n⃗⃗⃗ =(−3√3 , 9 , 6),P(0 , −1 , 3)
1
又因为 A(0,-1,0),所以 A⃗⃗⃗⃗P⃗ =(0 , 0 , 3),A⃗⃗⃗⃗B⃗ =(√3 , 1 , 0)
设平面 PAB 的法向量 n⃗ =(x , y , z )
2 2 2 2
{ A → F·n → 2 =0 ⇒{ 3z 2 =0
→ → √3x +y =0
AB·n =0 2 2
2
令 x =1,则 y =−√3,z =0,所以 n⃗ =(1 , −√3 , 0)
2 2 2 2
设平面 PAB 与平面 PCD 夹角为θ,
所以 cosθ=
∣⃗n 1⋅⃗n 2∣
=
√3
.
∣⃗n 1∣⃗n 2∣ 4
17.(1)甲先射，甲第2 次射且胜的概率为 p
第1次甲不中,1-α,
第1次乙不中,1-β,第2次甲中，α，
所以 p=(1-α)(1-β)α.
(2)乙先,乙胜为 pz,甲胜为 p甲,
乙胜：第1次乙中，β，
第1次乙不中，第1次甲不中，第2次乙中， (1−β)2(1−α)2β,
第1，2均未命中，第3次乙中， (1−β)2(1−α)2β,
因为构成等比，首项 q =β,公比q=(1-α)(1-β),
1
故 p =∑∞ β[(1−α(1−β)]k= β .
乙 k=0 1−(1−α)(1−β)
(1−β)α
同理，甲胜： p = ,
甲 1−(1−α)(1−β)
α
因为 p ＞p ,所以 β＞α(1−β)⇒β＞ ,
乙 甲 1+α
1
又α∈(0,1),所以 β = .
min 2
18.f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1 公众号：高考试卷君
f'(x)=−2lnx+ 1−2x +a
x
(1)当a=1时, f'(x)=−2lnx+ 1−x ,f''(x)= −2 − 1 ＜0,
x x x2
所以 f'(x)单调递减, 又 f'(1)=0 ,所以 f'(x)在(0,1) 为正,( (1 , +∞)为负
所以f(x)在(0,1)为↗ ,(1,+∞)为\.
(2)f''(x)= −2 − 1 ＜0
x x2
所以f'(x)单减,f'(1)=a-1
①由(1)知, a=1时, f(1)=0, (0,1)↗, (1,+∞)\, 此时仅有1个零点1, 此时(a=1符合；
②当a＞1时, f'(1)=a−1＞0,∃x ＞1,使 f(x )=0,f(x)在 (0 , x )↑,(x , +∞),
0 0 0 0
f'(x )=0⇒−2lnx + 1−2x0+a=0⇒a=2lnx + 2x0−1 ,
0 0 0
x0 x0
f(x) =f(x )=(1−2x )lnx +ax −1
max 0 0 0 0
=(1−2x )lnx +2x lnx +2x −1−1
0 0 0 0 0
=lnx +2x −2,
0 0设h(x)= lnx+2x-2∴h(1)=0 ,所以 h(x)＞0
所以 f(x) =lnx +2x −2＞0,又x→0,f(x)→-∞,
max 0 0
所以 f(x)有两个零点，舍.
③当a＜1时, f'(1)=a−1＜0,∃x ∈(0 , 1),使 f'(x )=0,f(x)在( (0 , x )/,(x , +∞)＞
0 0 0 0
f(x) =f(x )=lnx +2x −2,由②知 f(x )＜0,所以f(x)＜0无零点，舍
max 0 0 0 0
综上,a=1
(3) f(x)≤a+b 即( (1−2x)lnx+ax−1≤a+b,即 b≥(1−2x)lnx+a(x−1)−1=g(x)
若对 ∀x＞0 恒成立,即 b≥g(x) ,
max
又 g'(x)=−2lnx+ 1−2x +a=−2lnx+ 1 +a−1
x x
g''(x)= −2 − 1 ＜0,g''(x)＜0⇒g'(x)
x x2
且x→0 时, g'(x)→+∞,x→+∞时， g'(x)→−∞
故 ∃x ＞0,使 g'(x )=0即 −2lnx + 1 +a−2=0,即 a=2lnx − 1 +2
0 0 0 0
公x0 众号：高x0 考试卷君
此时 g(x) =g(x )=(1−2x )lnx +a(x −1)−1
max 0 0 0 0
1
=(1−2x )lnx +(2lnx − +2)(x −1)−1
0 0 0 0
x0
1
=−lnx +2x + −4
0 0
x0
欲证 a-b≤4,此时 b≥g(x )⇒−b≤−g(x )
0 0
1 1
所以 a−b≤a−g(x )=2lnx − +2+lnx −2x − +4
0 0 0 0
x0 x0
2
=3lnx −2x − +6
0 0
x0
设 p(x)=3lnx−2x− 2 +6⇒p'(x)= −2x2+3x+2 = −(2x+1)(x−2)
x x2 x2
p(x) max=p(2)=3ln2-4-1+6=3ln2+1=3×0.7+1=3.1＜4
所以a-b≤4,证毕.
19. (1)b=√2,所以 x2 − y2 =1,所以 2 − 2 =1,所以 a2=1
a2 2 a2 2
所以 x2−
y2
=1所求
2
(2)渐近线: y=±√2x,设 A(x , √2x ),B(x , −√2x ),μ(x , y)
1 1 2 22
因为 ∣AB∣=2√2,所以 √(x −x )2+[√2(x +x )] =2√2
1 2 1 2
所以 (x −x )2+2(x +x )2=8
1 2 1 2
所以 (√2y)
2
=2×4x2=8即 x2+
y2
=1
4
所以 E，F是点μ 的轨迹的焦点，
所以 ∣μE∣+∣μF∣=4
所以 |μEμF|≤
当且仅当 ∣μE∣=∣μF∣=2时，成立
(3)P(-t,0),Q(t,0),(t＞1)点μ 不在 x 上,∠MQP=2∠μPQ
μP μQ
在 △μQP 中，由正弦定理 = 及 ∠μQP=2∠μPQ
sin∠μQP sin∠μPQ
公众号：高考试卷君
所以 s sin∠μQP=sin2∠μPQ=2sin∠μPQ⋅cos∠μPQ
μP
所以 =2cos∠μPQ
μQ
设 ∠μPQ=θ ,则 ∠μQP=2θ,θ∈(0
,π
),cos∈(
1,
1)
3 2
故 μP ∈(1 , 2),令 y＞0
μQ
又μ在 x2+ y2 =1,μ(x , y),所以 tanθ= y ,tan2θ= y
4 x=t t−x
又 tan2θ= 2tanθ ⇒ 2y(x+t) = y ⇒y2=3x2+2tx−t2=4(1−x2)
1−tanθ (x+t)2−y2 t−x
所以 7x2+2tx−(t2+4)=0
−t±2√2t2+7
所以 x=
7又 x∈(−1 ,t ),所以 ∣μP∣ =√ (x+t)2+y2 ,代入 y2=4(1−x2)
3 ∣μQ∣ (x−t)2+y2
即
μP =√−3x2=2tx+t2+4
μQ 3x2−2tx+t2+4
因为 x∈(−1
,t
),所以 (
μP
) =
2√15
,
3 μQ 5
min
综上，
μP
∈(
2√15,
2).
μQ 5
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