2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)参考答案(定稿)_2024年5月_01按日期_21号_2024届广东省广州普通高中毕业班高三冲刺训练题_2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题-数学

2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)参考答案 1. 【答案】D 1 【解析】2x- x  6 的展开式的通项公式为T r+1 =C 6 r 2x  1 6-r- x  r =-1  r26-rCrx6-2r， 6 令6-2r=0，得r=3，故常数项为-1  323C3=-160.故选：D 6 2.【答案】A 1 【解析】a⋅b=λa2=1,所以4λ=1,即λ= 4 3.【答案】A 【解析】设等差数列a n  的公差为d，则a =1+d，a =1+2d，a =1+5d， 2 3 6 由题意可知，1+2d  2=1+d  1+5d  ，即d2=-2d， 解得：d=-2或d=0(舍)， 则数列a n  5×4 的前5项和S =5a + d=5-20=-15.故选：A 5 1 2 4.【答案】B 【解析】对于A,可以取a=2,b=1,c=-1，所以A错误. 对于B：∵c>d，∴-d>-c，因为a>b，所以a-d>b-c，故B正确； 对于C：取a=-2，b=-1时，则a2=4，ab=2，b2=1，则a2>ab>b2，故C错误； 1 1 1 1 1 对于D：当a=1,b=-1时， = ， =1，则 < ，故D错误； a-b 2 a a-b a 故选：B. 5.【答案】A 【解析】若fx+α  π = 2x+ +2α 4  π π sin 是偶函数，则2α+ = +kπk∈Z 4 2  π kπ ,即α= + 8 2 若fx-α  π = 2x+ -2α 4  π sin 是奇函数，则 -2α=nπn∈Z 4  π kπ ，即α= + 8 2 π 所以“α= +kπk∈Z 8  ”是“fx+α  是偶函数，且fx-α  是奇函数”的充分不必要条件. 6.【答案】C 【解析】设球的半径为R，截面圆的半径为r，两个截面圆间的距离为2d， 因为截面圆的周长为4π，可得2πr=4π，解得r=2， 又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱为8的正方体的六个面所截后剩余的部分， 所以两截面圆之间的距离为2d=8，解得d=4， 根据球的截面的性质，可得R2=r2+d2=22+42=20， 4π 160 5π 所以球的体积为V= R3= .故选：C. 3 3 7.【答案】C b b 【解析】由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为y= x，y=- x， a a c 由PF=PO得：P ,a 2  ，且c= 5a c 5a 点P在直线y=2x上a=k× =k× ， 2 2 2 5 解得：k= , 5 故选：C 8.【答案】A 【解】设直线y=kx+t与曲线切于点 x 0 , x 0 +2   ln  1 切线方程为y= x +2 x+ x 0 +2 0  x ln - 0 ， x +2 0 ·数学冲刺卷（二）参考答案 第1页（共7页）·1 所以有k= x +2 ，t= x 0 +2 0  x b t ln - x + 0 2 ,所以 k > k =x 0 +2 0  x 0 +2  ln -(x +2)+2 0 设gx  =xlnx-x+2，易求得gx  ≥g1  b =1,所以 >1. k 故选：A． 9.【答案】ACD 【解析】假设α⎳β，因为m⊥平面α,n⊥平面β，则m⎳n， 这与直线m,n为异面直线矛盾，故A错误； 假设l⊥β，因为n⊥平面β，所以n⎳l，这与l⊥n矛盾，故C错误； 设α∩β=a，作b⎳m，使得b与n相交，记b与n构成平面γ，如图， 因为m⊥平面α，a⊂α，则m⊥a，又b⎳m，故b⊥a， 同理：n⊥a，而b与n构成平面γ，所以a⊥γ； 因为l⊥m，又b⎳m，故l⊥b，又l⊥n，b与n构成平面γ，所以l⊥γ， 故而l⎳a，即α与β的交线平行于l，故B正确，D错误； 故选：ACD 10.【答案】ABD 【解】点F 关于∠FMF 平分线的对称点N在直线MF 上， 1 1 2 2 又点F 关于∠FMF 平分线的对称点N也在椭圆E上， 1 1 2 所以点N为直线MF 与椭圆E的交点，故△FMN的周长为4a，故A正确； 2 1 π 设∠FMF 的平分线交FN于点D，设∠NMD=α,α∈0, 1 2 1 2  ， 7 8 2 2 则cos2α=2cos2α-1= ⇒cos2α= ⇒cosα= ， 9 9 3 1 1 ND 所以sinα= 1-cos2α= ，而sinα= = 3 3  NM  1 2 NF 1 =  NM  ⇒ NF 1  NM  2 = ， 3 设NF 1  =2m,则NM  =3m=MF 1  ，于是NF 1  +NM  +MF 1  =8m=4a， a 所以m= 2 ，NF 1  =a，NM  3 = 2 a，NF 2  =a，MF 2  a = ， 2 所以 MF 2  NF 2  1 = ，故B正确； 2 在△F 1 MF 2 ，由余弦定理可得：F 1 F 2  2=MF 1  2+MF 2  2-2MF 1  MF 2  cos2α， 9 1 3 1 7 3 则4c2= a2+ a2-2⋅ a⋅ a⋅ ，则a2=3c2，所以e= ，故D正确； 4 4 2 2 9 3 显然MN的斜率为± 2，C错误.故选：ABD 【答案】CD 【解析】因为fx  =gx+1  ，所以fx  +a=gx+1  +ba,b∈R  ． 又因为f3-x  +2=gx  ，所以fx  +2=g3-x  ． 于是可得g3-x  -2+a=gx+1  +b，令x=1， 则g3-1  -2+a=g1+1  +b，所以a-2=b． 所以f(x)=gx+1  -2,所以f4-x  =g5-x  -2,因为gx-1  -f4-x  =2 所以gx-1  =g(5-x)，即gx  =g4-x  ① 因为gx+1  是奇函数，所以g-x+1  =-gx+1  ⇒g2-x  +gx  =0②， g1  =0，f0  =g1  -2=-2，所以A错误. 由①②得gx+4  =gx  ,所以函数gx  是周期为4的周期函数． 因为f(x)=gx+1  -2,因此函数fx  也是周期为4的函数． 又gx  的图像关于点1,0  对称，所以fx  的图像关于点0,-2  对称，所以B选项不正确． ·数学冲刺卷（二）参考答案 第2页（共7页）·因为g2-x  +gx  =0，令x=1，得g1  +g1  =0，即g1  =0，所以g1  =g3  =0； 令x=0，得g2  +g0  =0，所以g2  +g4  =0，所以g1  +g2  +g3  +g4  =0， 2024 所以 gn n=1   =0，所以C选项正确． 因为fx  =g3-x  -2，所以f0  =g3  -2=-2，f2  =g1  -2=-2，f1  =g2  -2， f3  =g0  -2，f4  =f0  =-2， 则有f1  +f2  +f3  +f4  =g2  -2+-2  +g0  -2+-2  =-8， 2024 可得 fn n=1   =-4048，所以D选项正确．故选：CD． 12.【答案】-32 【解】已知1+i  4i 4i1-i z=4i，则z= = 1+i  1+i  1-i   =2+2i，z=2-2i， z为实系数方程x2+mx+n=0的一个根， 方法1：将z代入方程有2+2i  2+m2+2i  +n=0， 化简得2m+n+8+2m  2m+n=0 i=0，所以  ，解得m=-4,n=8，所以m∙n=-32 8+2m=0   方法2：因为z,z都是方程的根，由韦达定理有m=-z+z   =-4，n=z⋅z=8，所以m⋅n=-32. 3 3 43 13.【答案】 , 4 3 【解析】由正弦定理由a=3c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，代入数据得c=1,a=3, 1 3 3 所以S= acsinB= 2 4       1 2 1 2 方法1：BD= BA+ BC，所以BD2=BD2= BA+ BC 3 3 3 3  2 43 ，化简可得BD= 3 b2+c2-a2 7 2 2 7 方法2：因为cosA= =- ，然后AD= AC= ，在△ABD中，由余弦定理有 2bc 14 3 3 43 43 BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA= ,所以BD= 9 3 2 14.【答案】 5 【解】设事件A=“有且仅有一次经过-1”，事件B=“共经过两次位置1”.按到-1位置需要1步，3步，5 步分类讨论.记L=向左,R=向右 ①若1步到位为事件A ，则满足要求的是LRRLR，LRRR(第5步无关)，LLLRL(，LLLL(第5步无关)， 1 所以PA 1  =2 PLRRLR  +PLRRR    3 = 16 ②若3步到位为事件A ，则满足要求的是RLLRR,RLLLL 2 所以PA 2  =2PRLLRR  1 = 16 ③若5步到位为事件A ，则满足要求的是RRLLL，RLRLL 3 所以PA 3  1 1 1 = + = 32 32 16 所以PA  =PA 1  +PA 2  +PA 3  5 = 16 满足AB的情况有:LRRLR,LRRRL，RLLRR,RLRLL,所以PAB  1 = 8 所以PB|A  PAB =  PA  2 = . 5 15.【解析】(1)过G作GH⎳BC交弧AB上一点，连结GB 则G为弧AB的中点，则GH⎳BC且GH=BC 所以四边形HBCG为平行四边形，所以HB⎳CG ·数学冲刺卷（二）参考答案 第3页（共7页）·π 由题意可知，FB⊥BC,RtΔABF为等腰直角三角形，则∠ABF= ; 4 π 因为G为弧AB的中点，则RtΔABH为等腰直角三角形，则∠ABH= 4 π 所以∠FBH= ，则FB⊥BH 2 因为HB⎳GC，则FB⊥CG 又因为BC、CG⊂面BCG，BC∩CG=C 所以BF⊥平面BCG,因为BF⊂面BDF 所以平面BDF⊥平面BCG. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 （2）如图所示建立空间直角坐标系，设AD=a，则 A(0,0,0),F(4,0,0),B(0,4,0),D(0,0,a),G(-2,2,a),      则BD=(0,-4,a),BF=(4,-4,0),AB=(0,4,0),AG=(-2,2,a),BG=(-2,-2,a),  设平面BDF的一个法向量为n =(x,y,z)，则 1 1 1 1   则   n n 1 ⋅ ⋅ B B  D F  = = 0 0 即   - 4x 4y - 1 + 4y az = 1 = 0 0 令y 1 =1，n  1 =1,1, a 4 1 1 1   设平面ABG的一个法向量为n =(x ,y ,z )， 2 2 2 2   则   n n 2 ⋅ ⋅ A A  B G  = = 0 0 即   4 - y 2 2 x = + 0 2y +az =0 令x 2 =1，n  2 =1,0, a 2 2 2 2 2  设平面BDF与平面ABG的夹角为θ cosθ    =cos    = n 1 ⋅n 2   n 1   n 2  8 1+ a2 =  15 = ，解得a=4 16 4 5 1+1+ ⋅ +1 a2 a2   所以G(-2,2,4),B(0,4,0),E(4,0,4)，则BG=(-2,-2,4),BE=(4,-4,4)    BE⋅BG d= BE2-  2  BG  4 21 = 2 3 4 21 所以点E到直线BG的距离为 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 3  25 25 16.【解析】(1)总样本的均值为x= ×100+ ×90=95. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 50 50 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大，这个样本的分布与总体 的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 1 n  (2)(i)证明：s2= x-z m+n i i=1  m   2+ y-z i i=1      2   1 n    = x-x+x-z m+n i i=1  m     2+ y-y+y-z i i=1      2   1 n  = x-x m+n i i=1     2+(x-z)2+2x-x i     (x-z)  m   + y-y i i=1     2+(y-z)2+2y-y i     (y-z)      n  ∵ 2x-x i i=1     (x-z)    n   =2(x-z) x-x i i=1      =2(x-z)x +x +x +⋯+x -nx 1 2 3 n  =0， n  同理 2y-y i i=1     (y-z)   =0． 1   所以s2= ns2+(x-z)2 m+n x    +ms2+(y-z)2 y     . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分  (ii)因为是按比例分配分层随机抽样，记总样本的均值为z，方差为s2，  1 则z= 30×100+20×90 50  =96， 1 所以s2= 30256+(100-96)2 50  +20361+(90-96)2    =322 ·数学冲刺卷（二）参考答案 第4页（共7页）·又 322≈18，所以s≈18． 总样本的均值为96分，标准差约为18分． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 (3)由(2)知μ=96,σ=18，所以X服从正态分布N96,182  ， 所以P96-18≤X≤96+18  ≈0.68,PX≥96  =0.5． P(78≤X<96)=P(96≤X<114)≈0.34,PX≥114  =P(X<78)≈0.16． 故可将X≥114定为A等级，96≤X<114定为B等级， 78≤X<96定为C等级，X<78定为D等级． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 17.【解析】(1)f(x)=eax(1+ax)(x>0)(a>0) 1 令f(x)=0,则x=- a 1 当01时，-1<- <1，则当x∈ -1,- a  a  1 时，f(x)<0，f(x)在区间 -1,-  a  上单调递减；当x∈ 1 - ，1 a  1 时，f(x)>0，f(x)在区间- ，1 a  上单调递增， 1 所以f(x) =f- min a  1 =- ， ae 而f(-1)=-e-a<0，f(1)=ea>0，所以f(x) =f(1)=ea max 综上所述,当01时,所以f(x) =- ，f(x) =ea. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 min ae max (2)方法一：隐零点法 因为x>0,a≥1，所以xeax≥xex，欲证xeax≥lnx+x+1，只需证明xex≥lnx+x+1 1 设g(x)=xex-lnx-x-1，(x>0)，g(x)=(x+1)ex- x  1 令ϕ(x)=ex- ，易知ϕ(x)在(0,+∞)上单调递增， x 1 而ϕ 2  = e-2<0，ϕ(1)=e-1>0 1 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的x ∈ ,1 0 2  1 使得ϕ(x )=0，即ex0- =0， 0 x 0 1 因此ex0= ，x =-lnx x 0 0 0 当x∈(0,x )时，ϕ(x)<0，g(x)<0，g(x)在(0,x )上单调递减； 0 0 当x∈(x ，+∞)时，ϕ(x)>0g(x)>0，g(x)在(x ，+∞)上单调递增； 0 0 1 所以g(x) =g(x )=ex0x -lnx -x -1= x --lnx -x -1=0 min 0 0 0 0 x 0 0 0 0 所以g(x)≥0，因此f(x)≥lnx+x+1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 方法二：(同构) 因为x>0,a≥1，所以xeax≥xex，欲证xeax≥lnx+x+1，只需证明xex≥lnx+x+1 只需证明xex=elnxex=elnx+x≥lnx+x+1 因此构造函数h(x)=ex-x-1(x∈R) h(x)=ex-1 当x∈(-∞,0)时，h(x)<0，h(x)在(-∞,0)上单调递减； 当x∈(0，+∞)时，h(x)>0，h(x)在(0，+∞)上单调递增； 所以h(x)≥h(0)=0,所以ex≥x+1 所以xex≥lnx+x+1 因此f(x)≥lnx+x+1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 ·数学冲刺卷（二）参考答案 第5页（共7页）·18.解：由题意可知直线AB不会与抛物线对称轴平行，设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ， (1)(i)因为AB过F(1，0)，设直线AB为x=my+1， 与C方差联立可得：y2-4my-4=0， y +y =4m 所以有Δ=16m2+16>0，   1 2 ， yy =-4 1 2 1 (i)点O到直线AB的距离为d= ， 1+m2 又因为：AB  = (x -x )2+(y -y )2= 1+m2⋅ (y +y )2-4yy =4(1+m2)， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 所以S = dAB ΔOAB 2  1 1 = ⋅ ⋅4(1+m2)=2 1+m2≥2， 2 1+m2 当m=0,△AOB的面积取得最小值2，此时直线AB方程为x=1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 (ii)设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，Px 3 ,y 3  ，若AB垂直于x轴，此时AB  =4， 所以由AB  =8可知AB斜率存在， 因为弦AB过抛物线的焦点F(1，0)，所以AB  =AF  +BF  =8， 由抛物线定义可知AF  =x 1 +1,BF  =x +1,所以x +x =6,即y2+y2=24, 2 1 2 1 2 因为y +y =4m,yy =-4，所以24=(y +y )2-2yy =16m2+8,解得m2=1. 1 2 1 2 1 2 1 2 因为P、O、A、B四点共圆Γ 解法一：所以∠AOB和∠APB相等或互补，记AP、BP、AO、BO的倾斜角分别为θ 、θ 、θ 、θ ，斜率分 1 2 3 4 别为k 、k 、k 、k 所以θ -θ =θ -θ ，所以tan(θ -θ)=tan(θ -θ )， 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 k -k k -k y -y 4(y -y ) 4 即 2 1 = 4 3 ，又因为k = 1 3 = 1 3 = ， 1+k k 1+k k 1 x -x y2-y2 y +y 2 1 3 4 1 3 1 3 1 3 4 4 4 同理有：k = 、k = 、k = 代入可得： 2 y +y 3 y 4 y 2 3 1 2 16yy +1=16(yy +(y +y )y +y2)+1，解得：y =-(y +y )，即y =-4m， 1 2 1 2 1 2 3 3 3 1 2 3 所以P(4m2,-4m)，结合m2=1可知P(4,±4)，所以OP  =4 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 解法二：圆Γ经过点O，所以可设圆Γ为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2，与抛物线联立可得： 1 a y4+1- 16 2  y2-2by=0，此方程有4个不同的解0、y 、y 、y ， 1 2 3 a 所以联立方程可化简为y3+161- 2  y-32b=0，又因为： a y3+161- 2  y-32b=(y-y)(y-y )(y-y )，所以y +y +y =0，后面同解法一. 1 2 3 1 2 3 解法三：利用m2=1算得直线为ABx=±y+1，与抛物线联立解得A、B坐标， 9 1 计算OB的中垂线与AB中垂线的交点即为圆心T ，± 2 2  ， 81 进而求得半径r= ，表示出圆的方程 2 9 x- 2  2 1 +y± 2  2 41 = ，联立抛物线方程求得点P(4,±4)，进而计算出OP 2  =4 2. (2)设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,Qx 3 ,y 3  x +x y +y ，所以M 1 2, 1 2 2 2  x y ,N 3, 3 2 2  ， x +x +x y +y +y MN中点为T 1 2 3, 1 2 3 4 4  ,类比第二问解法二，可知y +y +y =0， 1 2 3 1 1 x +x +x = (y2+y2+y2)= (y +y +y )2-2(yy +y y +y y) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 2 3 3 1  ， a 由第二问解法二可知y3+161- 2  y-32b=(y-y)(y-y )(y-y )，所以： 1 2 3 a yy +y y +y y =161- 1 2 2 3 3 1 2  7 =161- 2  5 =-16⋅ ，所以： 2 x +x +x 1 1 1 2 3 = (y2+y2+y2)= (y +y +y )2-2(yy +y y +y y) 4 16 1 2 3 16 1 2 3 1 2 2 3 3 1  =5， ·数学冲刺卷（二）参考答案 第6页（共7页）·所以T5,0  ，即线段MN被定点T5,0  平分. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分 n a +3, ∉N*  n 3 19.【解析】(1)由题意有d=1，q=1，t=3，a =1，则a = ， 1 n+1 n 0, ∈N* 3 a =1,a =2,a =3,a =3,a =4,a =5,a =5,a =6,a =7,a =7,⋯ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一般有a =2k-1,a =2k,a =2k+1 3k-2 3k-1 3k 所以a =a =2×675=1350. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 2024 3×675-1 (2)数列b n  是首项为1的等比数列，设其公比为m，又b n  为M(t)数列，t∈N*,t≥2， 当t=2时，b =1+d,b =qb ,b =b +d，有d=b -b =b -b ，又b =m,b =m2,b =m3， 2 3 2 4 3 2 1 4 3 2 3 4 于是得m-1=m3-m2，解得m=±1，有b =1或b =(-1)n-1， n n n b , ∉N*  n 2 当b =1时，d=0,q=1，b = ，b n n+1 n n b , ∈N* n 2  为M(2)数列， n b -2, ∉N*  n 2 当b =(-1)n-1时，d=-2,q=-1，b = ，b n n+1 n n -b , ∈N* n 2  为M(2)数列， 当t≥3时，则b,b ,b 构成以d为公差的等差数列，即b +b =2b ，有1+m2=2m，解得m=1， 1 2 3 1 3 2 n b , ∉N*  n t 于是得b =1，d=0,q=1，b = ，b n n+1 n n b , ∈N* n t  为M(t)数列，所以 ①当d=0,q=1,t是大于1的任意正整数，则b =1，S =n； n n 1+(-1)n-1 ②当d=-2,q=-1，k=2，则b =(-1)n-1，S = . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 n n 2 (3)依题意，d=1,q=2,c =1，数列c 1 n  为“M(5)数列”， 则c =1,c =2,c =3,c =4,c =5,c =2c =10,c =11,c =12,c =13,c =14，c =2c =28,⋯ 1 2 3 4 5 6 5 7 8 9 10 11 10 c ,c ,c ,c ,c 是公差为1的等差数列，且c =2×(c +4)=2c +8 5k-4 5k-3 5k-2 5k-1 5k 5k+1 5k-4 5k-4 所以c +8=2×(c +8)且c +8=9 5k+1 5k-4 1 所以数列c +8 5k-4  是以首项为9，公比为2的等比数列，所以c +8=9×2k-1 5k-4 即c =9×2k-1-8 5k-4 即A =c +c +c +c +c =45×2k-1-30 k 5k-4 5k-3 5k-2 5k-1 5k n 2n-1 所以T =A =45× -30n=45×2n-30n 5n k 2-1 k=1 所以T =5n×c -10n，即45×2n-30n=5n∙(9∙2n-1-4)， 5n 5n n 化简得 -1 2  2n+1=0，代入n=1，等式成立. n 因为当n≥2时， -1 2  2n+1>0，所以当n≥2，方程无解. 综上所述，满足T =5n×c -10n成立的n值为1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分 5n 5n ·数学冲刺卷（二）参考答案 第7页（共7页）·