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专题 01 相交线与平行线中的四种几何模型
全攻略
类型一、猪脚模型
例．问题情境：如图①，直线 ，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若 ， ，试猜想 ______°；
(2)探究：在图①中探究 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2) ；证明见详解
(3)
【详解】（1）解：如图过点 作 ，∵ ，
∴ ．
∴ ，
．
∵ ， ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴∠P=80°．
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
如图过点 作 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
．
∴
∵ ，
．
（3）如图分别过点 、点 作 、∵ ，
∴ ．
∴ ，
，
．
∴
∵ ，
，
，
∴
∴
故答案为： ．
【变式训练1】已知直线 ，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在
直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设
∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图 ，当点 在线段 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)① ；证明见详解；② ；证明见详解
【详解】（1）解：如图4所示：过点 作 ，
∵
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；（2）解：①如图5过点 作 ，
∵
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
②如图6过点 作 ，
∵
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
【变式训练2】阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1， ，直线 分别交 ， 于点 ， ． 的平分线与
的平分线交于点 ．(1)求证： ；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作 的平分线与 的平分线交于点 ，得到图2，则
的度数为 ．
②如图3， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．点 在直线 ， 之间，
且在直线 右侧， 的平分线与 的平分线交于点 ，则 与 满足
的数量关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②结论：
【详解】（1）证明：如图，过 作 ，
， ，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
在 中， ，
，
；
（2）解：①如图2中，由题意， ，
平分 ， 平分 ，
，，
故答案为： ；
②结论： ．
理由：如图3中，由题意， ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
故答案为： ．
【变式训练3】如图：
(1)如图1， ， ， ，直接写出 的度数．
(2)如图2， ，点 为直线 ， 间的一点， 平分 ， 平分 ，
写出 与 之间的关系并说明理由．
(3)如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点， 平分 ， 平分
，若 ， ，直接写出 的度数．
【答案】(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，见解析；
(3)∠BED的度数为130°．
【详解】（1）解：（1）如图，作EF∥AB，
，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）解：∠BED=2∠F，
理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度数为130°．
类型二、铅笔模型例．问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求
∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重
合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁
内角互补；（2） ，理由见解析；（3） 或
【详解】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，
所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：
过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，如图5所示：
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．
综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．
【变式训练1】已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则
∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC
的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写
出结论．
【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB，
∵AB∥GE，
∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．
∵AB∥GE，AB∥CD，
∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠C=150°，
∴∠CGE=30°．
∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如图，过点G作GF∥AB
∵AB∥GF，
∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，
∴GF∥CD．
∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角
相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【变式训练2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的
度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC
的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的
相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC
的度数为 °；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动
时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重
合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD
＝∠β﹣∠α，理由见解析
【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．类型三、锄头模型
P
3
A 1
B
2
C D
例．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的
大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不
变，30°
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝ ∠MEN＝ （∠BME＋∠END），∠ENP＝ ∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝ （∠BME＋∠END）﹣ ∠END＝ ∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝ ×60°＝30°．
【变式训练1】（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需
要说明理由．
【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；
（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析
【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．
（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠BPD，
∴∠D=∠B+∠BPD，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4），∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠D+∠BPD，
即∠BPD=∠B-∠D．
【变式训练2】已知 ，点 为平面内一点， 于 ．（1）如图1，点 在两条平行线外，则 与 之间的数量关系为______；
（2）点 在两条平行线之间，过点 作 于点 ．
①如图2，说明 成立的理由；
②如图3， 平分 交 于点 平分 交 于点 ．若
，求 的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；
（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥DM，
∴∠C=∠CBG，
∠ABD=∠C；
②如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
类型四、齿距模型
例．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．
【详解】解：作CG//AB，DH//EF，
∵AB//EF，
∴AB//CG//HD//EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
【变式训练1】如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度
数．【答案】(1) ；(2) ，理由见解析；(3)
【详解】（1）解：如图1，分别过点 ， 作 ， ，
，
， ，
又 ， ，
，
，
又 ，
，
， ，
；
故答案为： ；
（2）解：如图1，分别过点 ， 作 ， ，
，
， ，
又 ， ，
，
，
又 ，
，
， ，
， ；
（3）解：如图2，过点 作 ，由（2）知， ，
设 ，则 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
， ， ，
， ．【变式训练2】如图1，点 、 分别在直线 、 上， ， .
（1）求证： ；（提示：可延长 交 于点 进行证明）
（2）如图2， 平分 ， 平分 ，若 ，求 与
之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3， 平分 ，点 在射线 上， ，
若 ，直接写出 的度数．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3） 或 ．
【详解】解：（1）如图1，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长 交 于点 ，交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）当 在直线 下方时，如图，设射线 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
当 在直线 上方时，如图，同理可证得 ，
则有 ，
解得： ．综上，故答案为 或 ．
