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专题05 根据平行线的性质探求角的关系综合题
【例题讲解】
已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于
D．（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？
（2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是
否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？
【详解】（1）如图1，过C作CP∥EF．∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．∵EF∥MN，
∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．∵BD平分
∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，
∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．
∵CP∥MN，
∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－
60°=30°．∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°．
（2）∠GHB为定值50°．理由如下：∵∠CBN是△CBG的外角，
∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，
∴∠HGB ∠AGB，∠DBN ∠CBN．∵∠DBN是△HGB的外角，
∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB ∠CBN ∠AGB （∠CBN﹣∠AGB） ∠BCG （180°－
80°）=50°，故∠GHB是定值50°．【综合演练】
1．直线 与直线 、 分别相交于点 、 ， 与 互补
(1)如图 ，试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
(2)如图 ， 与 的平分线交于点 ， 的延长线与 交于点 ， 是 上一点，
且 ，求证：PF GH．
(3)如图 ，在（2）的条件下，连接 ， 是 上一点，使 ，作 平分 ，
求证： 的大小是定值．
【答案】(1)平行；理由见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行；
（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得
∠EPF=90°，进而证明PF GH；
（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．
（1）
解：结论：AB CD；理由如下：
∵∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF，
∴∠AEF与∠CFM互补，
∴AB CD．
（2）
∵EG平分∠BEF，
∴∠PEF= ∠BEF，又∵FP平分∠EFD，
∴∠EFP= ∠EFD，
由（1）知AB CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠PEF+∠EFP=90°，
∴∠EPF=90°，
又∵GH⊥EG，
∴∠HGP=90°，
∴∠EPF=∠HGP，
∴PF GH．
（3）
证明：∵ ，
∴ ，
∵∠PHK=∠HPK，
∴ ，
∴ ，
∵PQ平分∠EPK，
∴ ，
∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK
= ∠EPK- ∠FPK
= （∠EPK-∠FPK）
= ∠EPF
= ×90°
=45°
即∠HPQ的大小是定值．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．
2．解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若 ， ．过点P作 ，求
的度数；
(2)（问题迁移）如图2， ，点P在 的上方，点E，F分别在 ， 上，连接 ，
，过P点作 ，问 之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知 的平分线和 的平分
线交于点G，过点G作 ，用含有 的式子表示 的度数．
【答案】(1)90°
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出 ，根据两直线平分线同旁内角互补
得到 ，进而可求出 的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到 ，然后根据平行线的性质得到 ，
进而可得到 ；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到 ，然后根据角平分
线的概念得到 ，最后结合（2）的结论求解即
可．
【详解】（1）解： ，
．
，
，
．，
．
．
即 ．
（2）解： ．
理由： ，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解： ，
，
，
又 的平分线和 的平分线交于点G，
，
由（2）可知， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质
是解题的关键．
3．已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点， ， 与 的角
平分线交于点 ．(1)如图1，试说明 ；
(2)延长 交 于点 ，过点 作 交直线 于点 ．
①如图2，若 ，求 的度数；
②如图3，延长 交 于点 ，作 的角平分线 交 的延长线于点 ，请判断 与
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)① ；② ，理由见详解
【分析】（1） ，根据对顶角相等可知 ， 与 的
角平分线交于点 ，可得 ，由此即可求证；
（2）① ，可知 ，且 ，得 ，
有直角三角形即可求解；② 平分 ， ， ， ，则
， 平分 ， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①∵ ， 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴在 中， ， ，
∴ ；
② ．理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行线与三角形，角平分线的综合运用，掌握角平分线的性质，平行线的
性质，三角形内角、外角的关系是解题的关键．
4．如图1，已知 ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分
∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；
(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作
∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表
示）
【答案】(1)70°
(2)∠DEB+∠DFE＝90°
(3)∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°
【分析】（1）如图1中，延长DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解决问题；
（2）根据角平分线以及邻补角的定义得∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝ （∠ADC+∠ADQ）＝90°，根
据直角三角形的两锐角互余即可得出结论；
（3）分3种情形讨论即可解决问题．
（1）
解：如图1中，延长DE交MN于H．
∵∠ADQ＝100°，DE平分∠ADC，
∴∠PDH＝ ∠PDA＝ （180°﹣100°）＝40°，
∵ ，
∴∠EHB＝∠PDH＝40°，
∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，
∴∠EBH＝ ∠ABC＝ （180°﹣120°）＝30°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝70°.
（2）
解：如图，∵DE平分∠ADC，DF平分∠ADQ，
∴∠ADE＝ ∠ADC，∠ADF＝ ∠ADQ，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝ （∠ADC+∠ADQ）＝90°，
∴∠DEB+∠DFE＝90°.
（3）
解：分3种情形
如图，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．
∵PQ∥MN，
∴∠QDH＝∠DHA＝ ∠ADQ＝ n°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣ n°+30°＝210°﹣ n°，
∵∠ADQ＝n°，DG平分∠PDA，
∴∠ADG＝ ∠ADP，
∴∠GDH＝ ∠ADP+ ∠ADQ＝90°，
∴∠BED＝90°+∠DGE，
∴∠DGE＝210°﹣ n°﹣90°＝120°﹣ n°，
∴∠BED+∠DGE＝210°﹣ n°+120°﹣ n°＝330°﹣n°；
当点E在直线MN的下方时，如图，设DE交MN于H．∵∠HBE＝∠ABG＝30°，∠ADH＝∠CDH＝ n°，
又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，
∴∠BED＝ n°﹣30°，
∵∠GDH＝ ∠ADP+ ∠ADQ＝90°，
∴∠DGE＝90°﹣∠BED＝90°﹣（ n°﹣30°）＝120°﹣ n°，
∴∠BED+∠DGE＝ n°﹣30°+120°﹣ n°＝90°；
当点E在PQ上方时，
∵∠GDF＝ ∠ADP+ ∠ADQ＝90°，
∴∠DGE+∠BED＝90°，
综上所述，∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
5．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．(1)求证：AB CD；
(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则
∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左
侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N
之间的数量．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设 ， ， ， ，过 作 ，过 作 ，
推出 ，根据平行线的性质得到 ， ，得到 ，
于是得到结论；
（3）设 ， ， ， ，根据平行线的性质得到
，由三角形的外角的性质得到 ，根据平角的定义得到
，于是得到结论．
（1）
解： ， ， ，
，
；
（2）
解：设 ， ， ， ，
过 作 ，过 作 ，
， ， ，
，
， ，
， ，
，
，；
（3）
解： ， ，
设 ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，四边形的内角和，三角形的外角的性质，解题的关键
是正确的识别图形．
6．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG
＝ 度．
【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析
(2)∠MAB﹣∠D＝90°
(3)∠MAB＝∠EMD；45
【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；
（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；
（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．
（1）
解：如图①，过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
∴∠D＝∠NMD．
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠NMA＝180°．
∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB+∠DMN＝90°．
∴∠MAB+∠D＝90°；
（2）
解：如图②，过点M作MN∥AB，∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠AMN＝180°．
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD．
∴∠D＝∠NMD．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．
∴∠AMN＝90°﹣∠D．
∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．
∴∠MAB﹣∠D＝90°．
即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．
故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．
（3）
解：如图③，
∵ME⊥AB，
∴∠E＝90°．
∴∠MAE+∠AME＝90°
∵∠MAB+∠MAE＝180°，
∴∠MAB﹣∠AME＝90°．
即∠MAB＝90°+∠AME．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，
∴∠FME＝∠FMA＝ ∠EMA．
∵MG平分∠EMD，
∴∠EMG＝∠GMD＝ ∠EMD．
∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，
∴∠FMG＝ ∠EMD﹣ ∠EMA＝ （∠EMD﹣∠EMA）．
∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，
∴∠FMG＝45°．
故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．
7．已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MN PQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线
CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度
数．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
(3)∠CFB=130°
【分析】（1）过C作CE MN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（2）过B作BR AG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可
得到结论；（3）过E作ES MN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定
义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．
（1）
解：如图，过C作CE MN，
∴∠1=∠MAC，
∵∠2=∠ACB-∠1，
∴∠2=∠ACB-∠MAC，
∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，
∴∠2=∠CBP，
∴CE PQ，
∴MN PQ；
（2）
如图，过B作BR AG，
∵AG CH，
∴BR HF，
∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，
∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），
∴∠CFB-∠BEG=90°；
（3）
如图，过E作ES MN，
∵MN PQ，
∴ES PQ，
∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，
∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，
∴∠CAE=∠AES，
∵∠EBD=90°，
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，
∴∠QBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠BES，∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC= ，
∵∠ACB=80°，
∴∠AEB=140°，
∴∠BEG=40°，
∵∠CFB-∠BEG=90°，
∴∠CFB=130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是
解题的关键．
8．已知：如图，AB CD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．
(1)求证：∠BGF＝90°；
(2)点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，
写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ；
(3)在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)相等或互补；
(3)∠CNG=30°或70°．
【分析】（1）过点G作GP AB，根据平行线的性质，即可得出∠AEF+∠CFE=180°，
∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，再根据角平分线的定义，即可得到∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；（2）分两种情况进行讨论：当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得
∠MGE=∠NGF；当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；
（3）分两种情况进行讨论，根据角的和差关系以及两直线平行，内错角相等进行计算，即可得出
∠CNG的度数．
（1）
如图，过点G作GP AB，
∵AB CD，
∴GP CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，
∵EG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，
∴∠AEG= ∠AEF，∠CFG= ∠CFE，
∴∠AEG+∠CFG= ∠AEF+ ∠CFE= （∠AEF+∠CFE）= ×180°=90°，
∵∠EGF=∠EGP+∠FGP，
∴∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；
（2）
如图，当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE+∠NGF=180°；
当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；
故答案为：相等或互补；
（3）
当点M在射线EA上时，
∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，
∴∠EGN=∠MGN-∠MGE=90°-20°=70°，
∵AB GP，∠AEG=40°，
∴∠PGE=∠AEG=40°，
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=70°-40°=30°，
∵GP CD，
∴∠CNG=∠PGN=30°；
当点M在射线EB上时，
∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，
∴∠NGF=20°，
∴∠EGN=∠MGN+∠MGE=90°+20°=110°，
∵AB GP，∠AEG=40°，
∴∠PGE=∠AEG=40°，
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=110°-40°=70°，
∵GP CD，
∴∠CNG=∠PGN=70°，
综上所述：当∠MGE=20°，∠AEG=40°时，∠CNG=30°或70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平
行，内错角相等进行计算求解．解题时注意分类思想的运用．
9．如图1，已知直线 ，点 在直线 上，点 、 在直线 上，连接 、 ，
， ， 平分 ， 平分 ， 与 相交于 ．（1）求 的度数；
（2）若将图1中的线段 沿 向右平移到 如图2所示位置，此时 平分 ， 平
分 ， 与 相交于 ， ， ，求 的度数．
（3）若将图1中的线段 沿 向左平移到 如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此
时 的度数．
【答案】（1）∠AEC＝130°；（2）∠A EC＝130°；（3）∠A EC＝40°.
1 1
【分析】（1）利用平行线的性质求出∠PAD，然后根据角平分线的定义求出∠CAE，再根据平行线
的性质和角平分线的定义求出∠ECA，结合三角形内角和定理可求出结果；
（2）利用平行线的性质求出∠PA D ，然后根据角平分线的定义求出∠PA E，再根据平行线的性质
1 1 1
和角平分线的定义求出∠CAQ和∠ACE，结合四边形内角和定理可求出结果；
（3）过点E作EF∥PQ，直接利用平行线的性质结合角平分线的性质得出∠1和∠2的度数，进而得
出答案．
【详解】解：（1）如图1，
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°−25°−25°＝130°；
（2）如图2，
∵∠A D C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A D ，PQ∥MN，
1 1 1 1∴∠QA D ＝30°，
1 1
∴∠PA D ＝150°，
1 1
∵A E平分∠AA D ，
1 1 1
∴∠PA E＝∠EA D ＝75°，
1 1 1
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD ，
1
∴∠ACE＝25°，
∴∠A EC＝360°−25°−130°−75°＝130°；
1
（3）如图3：
过点E作EF∥PQ，
∵∠A D C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A D ，PQ∥MN，
1 1 1 1
∴∠QA D ＝30°，EF∥PQ∥MN，
1 1
∵A E平分∠AA D ，
1 1 1
∴∠QA E＝∠2＝15°，
1
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD ，
1
∴∠ACE＝∠ECN＝25°，
∵EF∥MN，
∴∠1=∠ECN＝25°，
∴∠A EC＝∠1＋∠2＝15°＋25°＝40°．
1
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和
定理等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．
10．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交
直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明
理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠HPQ的大小不会发生变化
【详解】试题分析：
（1）由题意可得∠1+∠2=180°，∠1+∠AEF=180°，从而可得∠2=∠AEF，由此可得AB∥CD；
（2）由本题的已知条件结合（1）中所得AB∥CD可证得PF⊥EG，结合GH⊥EG即可得到PF∥GH；
（3）设∠KPH=α，由PF∥GH可得∠FPH=∠PHK，结合∠PHK=∠HPK可得∠FPH=∠KPH=α，这样由PQ
平分∠EPK，即可得到∠KPQ= ，从而可得∠HPQ=45°+α﹣α=45°，由此说明∠HPQ
的大小不会发生变化．
试题解析：
（1）如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1+∠AEF=180°，
∴∠2=∠AEF，
∴AB∥CD；
（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）如图3，设∠KPH=α，
∵PF∥GH，
∴∠FPH=∠PHK，而∠PHK=∠HPK，
∴∠FPH=∠KPH=α，
∵PQ平分∠EPK，
∴∠KPQ= ，
∴∠HPQ=45°+α﹣α=45°，
即∠HPQ的大小不会发生变化．
点睛：解第3小题的要点是：设∠KPH=α，并由已知条件证得∠FPH=∠KPH=α，从而可得
∠EPK=∠EPF+∠FPK=90°+2α，再结合PQ平分∠EPK及∠HPQ=∠KPQ-∠KPH，即可得到结论了.
11．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求证：AB CD；
(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究
的值；画出图形，并说明理由．(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，
画出图形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋
∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）作EP AB，FQ AB，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分点H在点D的左边和
右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解．
（1）
证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，
又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，
∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，
∴AB CD；
（2）
作EP AB，FQ AB，如图，
又∵AB CD，
∴AB CD EP，AB CD FQ，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，
∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF
∴∠BFD＝ ∠ABE＋∠CDF＝30°＝ ∠BED，∴ ＝
（3）
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠EBD，
∵BI平分∠HBD，
∴∠HBD＝2∠IBD，
如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD−∠HBD，
∠EBI＝∠EBD−∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB CD，
∴∠BHD＝∠ABH，
∴∠BHD＝2∠EBI，
如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，
∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB CD，
∴∠BHD＝180°−∠ABH，
∴∠BHD＝180°−2∠EBI，
综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键，难点在于（3）分
情况讨论并理清图中各角度之间的关系．
