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特训 02 期中解答题压轴题
一、解答题
1．请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则 ＝______；当b＜0时，则 ＝______．
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 的值．
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 的值．
【答案】(1)1，-1
(2)-1
(3)3或﹣1或1或﹣3
【分析】（1）根据a，b的取值范围化简绝对值，再计算出结果即可；
（2）根据a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，进而代入原
式中可得结果；
（3）根据题意可分为四种情况分别为：①当a，b，c都是正数， ②当a，b，c有一个为正数，另两个为
负数时， ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，④当a，b，c三个数都为负数时，分别求出算式的
的结果．
（1）
解：当a＞0时，则 ，
当b＜0，则 ，
故答案为：1，﹣1；
（2）
解：已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中两正一负，∴ ；
（3）
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或
三个都为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则： ；
③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，
设a＞0，b＞0，c＜0，
则：
＝1+1﹣1
＝1；
④当a，b，c三个数都为负数时，
则：
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3；
综上所述： 的值为3或﹣1或1或﹣3．
【点睛】本题考查绝对值的化简，能够掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
2．观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【分析】利用所给的解答方式进行求解即可．
【解析】解：设 ①，
则 ②，
由② ①，得 ．
∴ ，
即原式 ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵
活运用．
3．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），
将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ．即 ．例如：当点P是线段 的中
点时，因为 ，所以 ．
（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
【答案】（1）① ；② ＜ ＜ ；（2） 或 ；（3）198．
【分析】（1）①先确定 的表示的数，然后根据题意求出 即可；②先确定 的表示的数根据题意求出
、 ，然后比较即可；
（2）先由 确定M所表示的数，然后根据题意求出 即可；
（3）根据题意可得PO＞PA且PO为PA的整数倍，然后分别求出所有P所表示的数，最后求和即可．
【解析】解：（1）①∵点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
∴ 表示的数是 ；
∴
故答案是 ；
②∵ 表示的数大约是
∴ ，
∴ ＜ ＜
故答案是 ＜ ＜ ；
（2）∵
∴M表示的数是 或-∴ 或 ；
（3）∵P表示有理数， ＜100且为整数
∴PO＞PA且PO为PA的整数倍
由题意可得，当P为OA中点时，则 =1，此时为最小正整数且P表示 ；
当 =2，即PO=2PA,此时P表示 或2；
当 =3，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
…
当 =99，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
=
=2+98×2
=198．
故答案是198．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的混合运算等知识点，理解题意、确定各点所表
示的数成为解答本题的关键．
4．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数m的个数 和S
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×55 2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为 ；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝ ．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；② ；③ ．
【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
（2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；
（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
②利用 的值减去 的值即可得；
③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得．
【解析】（1）根据规律得：当 时，和 ，
故答案为：42；
（2）由表可知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
归纳类推得： ，
故答案为： ；
（3）① ，
，
；
② ，，
，
，
，
；
③ ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
5．阅读解题： ， ， ，…
计算： 理解以
上方法的真正含义，计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）（2）根据例题中所给出的式子列式计算即可；
（3）先将分母变形，再根据例题中的规律列式计算即可．
【解析】解：（1）
=
== ；
（2）
=
=
= ；
（3）
=
=
=
=
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．
6．请观察下列算式，找出规律并填空．
， ， ， ．
则第10个算式是________，第 个算式是________．
根据以上规律解读以下两题：
（1）求 的值；
（2）若有理数 ， 满足 ，试求：
的值．【答案】 ， ；（1） ；（2）
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式即可；
（1）原式变形后，计算即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解析】解：第10个算式是 ，
第n个算式是 ；
（1）
=
=
= ；
（2）∵ ，
∴a-2=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∴
=
=
=
=
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 5 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）
③
÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 （-8） ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作
④
aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果： （-6） ＝____________；
④
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（- ）ⓝ＝____________（- ）ⓝ ＝____________（n≥2且n为正整数）
（3） [实践应用]
计算
①
② （其中n=2022）
【答案】（1） ；（2） ； ；（3） ① ；② ．
【分析】（1）直接根据除方的定义进行运算即可求解；
（2）根据除方的定义以及除法的运算法则进行推导即可将除方运算转化为乘方运算；
（3） ①根据（2）中的推导公式将除方运算转化为乘方运算，再根据有理数的运算法则进行运算；②根
据（2）中的推导公式将除方运算转化为乘方运算，再根据等式的性质进行求解．
【解析】解：（1）
（2）
（3）①
==
=
=
② （其中n=2022）
=
=
设
则
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了对除方定义的理解，以及有理数的运算，熟练掌握除方的定义以及学会除方运算
转化为乘方运算是解答此题的关键．
8．请观察下列算式，找出规律并解决问题
=1- ， = - ， = - ， = -
则第10个算式是 = ；
根据以上规律解答下题：
若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求： + + + …… + 的值.
【答案】 ； ； .【分析】根据所给的算式，可找出规律： ；现根据所给的式子，利用两个非负数的和等
于，则每一个非负数等于0，可求出 、 ，再把 、 的值代入所求式子，利用公式
进行计算即可．
【解析】解： = ；
，
， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要是寻找规律，再根据有理数的混合运算计算，并利用了两个非负数的和等于0，则每一
个非负数等于0的知识．
9．信息1：点A、B在数轴上表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之
间的距离AB= ；
信息2：数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
结合上面的信息回答下列问题：
已知数轴上点A、B两点对应的有理数a，b，且a，b满足
(1)填空：a= ， b= ，A，B之间的距离为 ；(2)数轴上的动点C对应的有理数为c．
①式子 最小值是 ，此时c的取值范围是 ；
②当 时，则c= ；
③式子 有最小值为9，则有理数d= ；
④式子 的最小值为 ．
【答案】(1)3； ；7
(2)①7； ；② 或4；③-6或5；④2450
【分析】（1）根据绝对值的非负性，求出a、b的值，然后根据数轴上两点之间的距离公式，求出A，B
之间的距离即可；
（2）①根据动点C在A、B之间时 最小，即可确定c的取值范围；
②分两种情况：当 或 ，分别求出c的值即可；
③根据 时， 的最小值为7，得出 或 ，然后分两种情况求出d的值
即可；
④根据c取中间的数50时， 有最小值，求出最小值即可．
（1）
解： ，
， ，
， ，
．
故答案为：3； ；7．
（2）
解：①∵点C在A、B之间时 最小，即 最小，
∴ 时， 的值最小，
∵ ， ，∴
即 的最小值为7．
故答案为：7； ．
②∵当 时， ，
∴ 或 ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ；
故答案为： 或4．
③∵当 时， 的最小值为7，
∴ 或 ，
当 ， 时， 的值最小，
此时， ，
即 ，
解得： ；
当 ， 时， 的值最小，
此时， ，
即 ，
解得： ；故答案为：-6或5．
④∵c取中间的数50时， 有最小值，
∴ 的最小值为：
故答案为：2450．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意
义，是解题的关键．
10．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴 和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人
先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．
①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度．
前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）
第一局 第二局 第三局…
甲的手势 石头 剪刀 石头 …
乙的手势 石头 布 布 …
(1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置．
(2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？
(3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值．【答案】(1)甲在数轴上的位置为 ，乙在数轴上的位置为8
(2)从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0
(3)6或9
【分析】（1）根据第一局平局，根据规则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；得出
甲位置在-6+1=-5，乙位置在9-1=8；
（2）第一局平局，甲的位置在-6+1=-5；第二局甲胜，甲的位置在-5+5=0；第三局乙胜，甲的位置在0-
3=-3．从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0；
（3）第一局平局，甲乙相向而行，甲乙之间距离缩短1+1=2；第二局甲胜，甲乙同向东而行，甲乙之间距
离缩短5-3=2；第三局乙胜，甲乙同向西而行，甲乙之间距离缩短-3+5=2；无论谁胜或平局，两人之间是
距离总是缩短2．∵甲乙之间原来的距离为9+6=15，∴当甲乙之间的距离缩短到3时，
或 ．
（1）
解：∵第一局为平局，
∴甲向东移动1个单位长度，甲在数轴上的位置为 ，
同时乙向西移动1个单位长度，乙在数轴上的位置为8．
（2）
解：∵第二局甲赢，
∴甲向东移动5个单位长度，甲在数轴上的位置为0，
∵第三局乙赢，
∴甲向西移动3个单位长度，甲在数轴上的位置为 ，
∴从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0．
（3）
解：k的值为6或9．
由题意可得刚开始两人之间的距离为15个单位长度，
∵若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，
∴若平局，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．
∵若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度，
∴若甲赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．∵若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度，
∴若乙赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．
∴甲、乙每移动一次，甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．
∵最终甲与乙的位置相距3个单位长度，
∴共需缩小12个单位长度或18个单位长度．
∵ ， ，
∴k的值为6或9．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上动
点表示的数等于原来表示的数加上或减去动点移动的距离，左移减，右移加，数轴上两点之间的距离一般
取两点表示的数的差，用较大的数减去较小的数．
11．我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数
轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x﹣x|表示在数轴上数x，x 对应点之间的距离；
1 2 1 2
即数轴上数x，x 对应两点之间的距离为|x﹣x|
1 2 1 2
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；
例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和一1，即该方程的x＝3或x
＝﹣1；
例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，
则|x﹣1|>2的解为x<﹣1或x>3；
例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5
的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应
点在I的右边，如图可以看出x=2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=﹣
3．
参考阅读材料，解答下列问题：(1)数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 ；
(2)方程|x﹣3|＝4的解为 ；|x+4|＝7的解为 ；
(3)不等式|x﹣3|＞4的解集为 ；
(4)方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 ；
(5)不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 ．
【答案】(1)7
(2)-1或7；3或-11
(3)x<﹣1或x>7
(4)x=4或x=﹣5
(5)x 4或x -5
> <
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）利用绝对值的几何意义，在数轴上找出与3距离为4的点对应的数即可；在数轴上找出与-4距离为7
的点对应的数即可
（3）在数轴上找出|x﹣3|＝4的解，即可得出不等式|x﹣3|＞4的解集；
（4）根据绝对值的意义，画出图形，来解答；
（5）根据绝对值的意义，画出图形，来解答；
（1）
数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为：｜5-（-2）｜=5+2=7
故答案为：7；
（2）
根据绝对值得意义，方程|x-3|=4表示求在数轴上与3的距离为4的点对应的x的值为-1或7．
故答案为：-1或7；
方程|x+4|＝|x-（-4）|＝7表示求在数轴上与-4的距离为7的点对应的x的值为-11或3．
故答案为：3或-11；
（3）
如图，在数轴上找出|x﹣3|＝4的解，即到3的距离为4的点对应的数为﹣1，7，则|x﹣3|>4的解为x<﹣1或
x>7；
故答案为：x<﹣1或x>7（4）
如图，
由绝对值的几何意义知，方程|x﹣3|+|x+4|＝9表示求在数轴上与3和﹣4的距离之和为9的点对应的x的值．
在数轴上3和﹣4的距离为7，满足方程的x对应点在3的右边或﹣4的左边．若x对应点在3的右边，如
图可以看出x=4：同理，若x对应点在﹣4的左边可得x=-5．
故原方程的解是x=4或x=﹣5．
故答案为：x=4或x=﹣5
（5）
如图，
∵3和-4的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．
当x在3的右边时，如图，
∴x 4；
当>x在-4的左边时，如图，
∴x -5．
∴原<不等式的解为x 4或x -5
故答案为：x 4或x>-5 <
【点睛】本题>考查了<绝对值，本题是一道材料分析题，通过阅读材料应当深刻理解绝对值得几何意义，结
合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．
12．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n ，点C在B的右侧， ．(1)如图1，若多项式 是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段 （E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与
A，B重合），点M是 的中点，N是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是否发生变化，请
判断并说明理由；
(3)若点D是 的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若 ，试求线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)不变化，理由见解析
(3)① ；②
【分析】（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；
（2）设点E表示的数为x，则 ， ， ， ，再由中点的定义，得
， ，由 ，得出MN的定值；
（3）①根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；
②由题意， ，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.
（1）
解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴ ，
故答案为： ，
（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ， ，
∵点M是 的中点，N是 的中点
∴ ，
即
（3）
解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧
∴AB=n-m
∵
∴AC= n-m+2
∵点D是 的中点
∴AD= AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴ ，
∴ ，
∵
即
当 时．
∵∴ 不符合题意，舍去
当 时．
综上所述，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，利用数形结合思想
表示出线段长是解决问题的关键.
13．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表
示为 ．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则 ．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离 ______，线
段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以
每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的
端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二
次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1) ；
(2)① ； ；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为 ；
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），即得：13−3（t−5）＝
−2＋2（t− ），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
（1）
∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为 ；
故答案为：15； ．
（2）
①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；
故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）
由已知得：P运动5秒到B，Q运动 秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t− ），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表
示的数．14．阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x，x，x，……，
1 2 3
xk，称为数列Ak：x，x，x，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x﹣x|+|x﹣x|+……+|xk
1 2 3 1 2 2 3
﹣xk|．例如数列A：1，2，3，4，5，则V（A）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
﹣1 5 5
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴
上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝
对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1
时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在
1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2
的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A：x，x，x，x，其中x，x，x，x 为4个整数，且x＝3，x＝5，V（A）＝4，请直接写
4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 4
出一种可能的数列A．
4
(2)已知数列A：3，a，3，a+1，若V（A）＝3，则a的值为 ．
4 4
(3)已知数列A：x，x，x，x，x，5个数均为非负整数，且x+x+x+x+x＝a（a≥1），求V（A）的最
5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5
小值．
【答案】(1) ， （答案不唯一）
(2)
(3)0
【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．
（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．
（3）因为x，x，x，x，x，5个数均为非负整数，所以 >| |， >| |， >| |， >|
1 2 3 4 5
|， >0，然后列出不等式可求解．
(1)
解：V（A）=| |+| |+| |=4，
4∴| |+| |+| |=4，
当 ， ，V（A）=| |+| |+| |=4
4
(2)
解：| |+| |+| |=3，
即| |+| |+| |=3
①2≤a<3时，| |+| |+| |=3，
所以 ，
解得以a=1，但不符合题意，舍去．
②a≤2时，| |+| |+| |=3
所以 ，
解得以 ，符合题意．
③a>3时，| |+| |+| |=3
所以， ，
解得以 ，符合题意．
综上所述， 或 ．
(3)
解：∵x，x，x，x，x，5个数均为非负整数
1 2 3 4 5
∴ >| |， >| |， >| |， >| |， >0，
∴0≤| |+| |+| |+| |≤
∴0≤V（A）≤a
5
∴V（A）的最小值为0．
5
【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．
15．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的
“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，
2 2
记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L(81)=4．
3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）
【答案】（1） ；（2）L（4）+L(16)=L(64)；（3） ；（4）
2 2 2
【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；
（2）由（1）的结论直接得出结果；
（3）根据定义归纳出一般性的结果；
（4）根据（3）的结论进行计算即可．
【解析】（1）
L（4）=2，L(16)=4，L(64)=6
2 2 2
故答案为：
（2）
L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
故答案为：L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
（3）设
则
即La(M)+La(N)= La(M N)
故答案为：
（4） La（3）=0.5
【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．16．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一
层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有
圆圈的个数为 ，如果图①-④中各有11层.
(1)图①中共有___________个圆圈：
(2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的
数是___________.
(3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数 求图④所有圆圈中各数的绝
对值之和.
【答案】(1)66
(2)56
(3)1179
【分析】（1）计算第11层小圆圈的个数，就是计算1加到11的数的和；
（2）首先计算10层圆圈的个数，可得第11层第1个数；
（3）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可．
（1）
解：当小圆圈有11层时，共有：1+2+3+…+11= =66个圆圈；
故答案为：66；
（2）
当有10层时，共有：1+2+3+…+10= =55个圆圈
则第11层最左边圆图的数是56，
故答案为：56；（3）
当小圆圈有11层时，共有66个圆圈，故圆圈里的数为 ，其中23个负数，1个0，
42个正数，
∴图④所有圆圈中各数的绝对值之和：
=
=
=1179
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发
现的规律解决问题．
17．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发
现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
线段AB的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长
度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动
时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)填空：
①A、B两点间的距离AB＝_______，线段AB的中点C表示的数为_______；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______；
(2)求当t为何值时， ；
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，
请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【答案】(1)①10，3；② ， ；
(2)1或3；
(3)不变， ．
【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示
的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时
点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果；
（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数 ，点Q表示的数为 ，则 ，再由
，可得 ，由此求解即可；
（3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度．
（1）
解：① 由题意得： ，线段AB的中点C为 ，
故答案为：10，3；
②由题意得：t秒后，点P表示的数为： ，点Q表示的数为： ；
故答案为： ， ；
（2）
解： ∵t秒后，点P表示的数 ，点Q表示的数为 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时， ；
（3）
解：不发生变化 ，理由如下：
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的
中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式．
18．若一个四位数正整数 ，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“笃学数”，
记为 ，“笃学数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“图新数”，记为 ，
例如：3412的“笃学数”为 ，3412的“图新数” ，
(1)写 ______； ______；
(2)若一个千位为4，十位为6的四位数的“笃学数”与“图新数”之和能被33整除，求该四位数．
【答案】(1)264，74
(2)这个四位数为4467或4564或4661
【分析】（1）根据“笃学数”和“图新数”的概念求解即可；
（2）设这个四位数为4a6b( ，且a、b为整数 )．根据“笃学数”和“图新数”的概念可
求出 ，再根据“笃学数”与“图新数”之和能被33整除，分类讨论即
可．
(1)
，
．
故答案为：264，74；
(2)
设这个四位数为4a6b( ，且a、b为整数 )
则 ，．
∴ ．
∵ 能被33整除，且 ，a、b为整数．
∴①当 时，即 能被33整除，得 不符合题意；
②当 时，即 能被33整除，得 不符合题意；
③当 时，即 能被33整除，得 不符合题意；
④当 时，即 能被33整除，得 不符合题意；
⑤当 时，即 能被33整除，得 符合题意；
⑥当 时，即 能被33整除，得 符合题意；
⑦当 时，即 能被33整除，得 符合题意；
⑧当 时，即 能被33整除，得 不符合题意；
⑨当 时，即 能被33整除，得 不符合题意；
⑩当 时，即 能被33整除，得 不符合题意．
综上可知，这个四位数为4467或4564或4661．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加法，数位上数字的特征．根据题意掌握“笃学数”和“图新数”的
概念是解题关键．
19．有一个n位自然数 能被x 整除，依次轮换个位数字得到的新数 能被x+1整除，再
0 0
依次轮换个位数字得到的新数 能被x+2整除，按此规律轮换后， 能被x+3整除，…，
0 0
能被x+n﹣1整除，则称这个n位数 是x 的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06
0 0
能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4
整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．
(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
(2)若三位自然数 是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数 ．
【答案】(1)见解析；(2)这个三位自然数为201，207，255
【分析】（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出
c的可能值，最后用能被3整除即可．
(1)
设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x，
∴这个两位自然数是12x能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”．
(2)
∵三位自然数 是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，
而203，205，209不能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，253，255，257，259，
而251，253，257，259不能被3整除，
∴这个三位自然数为255，
即这个三位自然数为201，207，255
【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍
数求出b的值．
20．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被
3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，
4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3
整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
(1)2022属于_______类（A，B或C）；
(2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整
数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；
(3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最
后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．
①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④ 属于A类．
【答案】(1)C
(2)①A；②B
(3)②③
【分析】（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；
②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有
3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由 6065÷3=2021…2，即可求解；
（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知
m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于
C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．（1）解：∵2022÷3=674，∴2022属于C类，故答案为：C；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，∴
（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，故答案为：A；
②∵从A类数中任意取出2021个数，∴设这2021个数的和3a+2021，∵从B类数中任意取出2022个数，
∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），∴设这k个
数的和为3c，∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，∴6065÷3=2021…2，∴3（a+b+c）+6065被3除
余数为2，∴结果属于B类，故答案为：B；
（3）从A类数中任意取出m个数，设这m个数的和为3x+m，从B类数中任意取出n个数，设这n个数的
和为3y+2n，∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，∵最后的结果属于A类，∴m+2n被3除余数为1，∴m+2n属
于A类，故②正确；当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；当n属于A类，m属于B类；当n属于B
类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|
=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确；故②③正确，故选：②③．
【点睛】本题考查有理数的性质，理解题意，根据所给条件分类讨论是解题的关键．
21．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类
代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为
例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和 ，即 ；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和 ，即 ；
步骤3：计算 与 的和 ，即 ；
步骤4：取大于或等于 且为10的整数倍的最小数 ，即 ；
步骤5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753 ，则“步骤3”中的 的值为______，校验码 的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，你能用只含有 的代数式表示上
述步骤中的 吗？从而求出 的值吗？写出你的思考过程．（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出
结果．
【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【解析】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，
∴a=7+7+3=17，
b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．
故答案为：73，7；
（2）依题意有：
a=m+1+2=m+3，
b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，
d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，
∴3m的个位数字只能是9，
∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，
b=6+1+q=q+7，
c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校验码是8，
则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，
∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．
22．小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺
设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；
（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动
方案，如表：
已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？
【答案】（1）3；（2）木地板：75﹣7x，地砖：7x+53；（3）B种活动方案
【分析】（1）根据长方形的对边相等可得a+5=4+4，即可求出a的值；
（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长
方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；
（3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．
【解析】解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4，
得a＝3；
（2）铺设地面需要木地板：
4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，
铺设地面需要地砖：
16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；
（3）∵卧室2的面积为21平方米，∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，
∴3（17﹣5x）＝21，
∴x＝2，
∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，
铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67，
A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），
B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），
22335＞22165，
所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．
【点睛】本题考查了列代数式，长方形的面积，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面积，理解A，B
两种活动方案是解题的关键．
23．在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和
格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.
（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；
（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;
（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程）
【答案】（1）-b;(2) ：a=-2，b=2;(3)9.
【分析】（1）由每行、每列的3个代数式的和相等，列出关系式，即可确定a与b的关系；
（2）由第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值；
（3）根据“等和格"的定义列方程，然后整理代入，即可求出b的值.
【解析】解：（1）由题意得：-2a+a=3b+2a，即a=-b；故答案为-b；
（2）由题意得：
解得：
故答案为a=-2，b=2
（3）由题意得： ，即：
，可得：
;
故答案为9.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个
数（或代数式）的和都相等"列出等式.
24．数学中有很多可逆的推理，例如：
(1)若输入7时，输出 ___________.
(2)拓展：如果 ，那么利用可逆推理，已知 可求 的运算，记为 ，如 ，则
； ，则 .
①根据定义，填空： ___________； ___________.
②若有如下运算性质 ： ，根据运算性质填空，填空：若
，则 ___________； ___________.
③表中与数 对应的 有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正.1.5 3 5 6 8 9 12 27
【答案】(1)23
(2)①1，3，②0.6020，0.6990，③ 和 错误， ， ，理由
见解析
【分析】（1）把 代入 计算相应的 的值即可．
（2）①根据定义可得： ，即可求得结论；②根据运算性质： ，
进行计算；③通过 ， ，可以判断 （3）是否正确，同样依据 ，假设
（5）正确，可以求得 （2）的值，即可通过 （8）， 作出判断．
（1）
解：当 时， ，
故答案为：23．
（2）
解：①根据定义知： ，
，
．
故答案为：1，3．
②根据运算性质，得： （4） （2） （2） （2） ，
（5） （2） ．
故答案为：0.6020；0.6990．③若 （3） ，则 （9） （3） ，
（3） ，
从而表中有三个对应的 是错误的，与题设矛盾，
（3） ；
若 （5） ，则 （2） （5） ，
（8） （2） ，
（6） （3） （2） ，
表中也有三个对应的 是错误的，与题设矛盾，
（5） ，
表中只有 和 的对应值是错误的，应改正为：
（3） （2） ，
（6） （3） ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的运算，求代数式的值的应用，新定义运算等，解题的关键
是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．
