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专题 13 图形相似、相似三角形与位似作图及性质之十大题型
成比例线段
例题：（2023上·湖南永州·九年级校考期末）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cm B．4cm，5cm，6cm，10cm
C．1cm，2cm，5cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm
【变式训练】
1．（2023上·陕西咸阳·九年级统考期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ，
2．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中 ， ，
，则 （）
A． B． C． D．
比例的性质
例题：（2023上·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练】1．（2023上·河南漯河·九年级统考期末）苯 ，则 ．
2．（2023上·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知 ，则 ．
由平行判断成比例的线段
例题：（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图， ，根据“平行线分线段成比例定
理”，下列比例式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，平行四边形 中，连接 ，在 的延
长线上取一点 ，点 为 的中点，连接 ，交 、 分别为点 、点 ，则下列结论错
误的是（ ）．
A． B．C． D．
2．（2023上·河南周口·九年级统考期末）如图， ，则 的长为
．
由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在 中，D是 边上的中点，E在 上，
且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·九年级统考期末）如图，点D、E在 的边 上，且 ，
过点A作 ，分别交 的平分线于点F、G．若 平分线段 ，
则 ．
2．（2023下·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图， 是 的中线，点E在边 上， 交
于点F，若 ， ，则 的长度为 cm.黄金分割
例题：（2023上·广西梧州·九年级统考期末）线段 长为 ，点 为线段 的黄金分割点，且
，则 ．
【变式训练】
1．（2023上·山西忻州·九年级校考期末）在太原提起“赏红叶”，不少人会脱口而出崛山．崛山
自古桦柏成林，尤以秋日红叶最为著名，有“小香山”的美誉．小华通过计算知道红叶的叶脉也蕴
含着黄金分割．如图，B为 的黄金分割点（ ），若 的长度为 ，则 的长度
为 ．（结果保留根号）
2．（2022上·山西忻州·九年级校考期末）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径
和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是 的黄金分割点（
），若线段 的长为8cm，则 的长为 cm．（结果保留根号）选择或补充条件使两个三角形相似
例题：（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在 中，点D为 上一点，请添
加一个条件： ，使 ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，要使 ，还需要添加一个条件，你
添加的条件是 （只写一种情况即可）．
2．（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 为 中点，
点 在 上，当 为 时， 与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
证明两个三角形相似
例题：（2023上·福建泉州·九年级统考期末）如图， 、 相交于点 ，已知 ， ，
， ．求证： ．【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在 中， 为 边上一点，连接 为
上一点，连接 ，且 ．求证： ．
2．（2023上·广西贺州·九年级统考期末）如图，点 是矩形 中 边上一点， 沿
折叠为 ，点 落在 上．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的值．利用相似三角形的性质求解
例题：（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，点 在一条直线上， 与 相交于点
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（2023上·四川达州·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，点
为 边上一动点（不与点 、 重合），过点 作射线 交 于点 ，使 ．
(1)求证： ；
(2)当 为直角三角形时，求线段 长度．2．（2023下·山东东营·八年级统考期末）如图， 是 的高，点P，Q在 边上，点G在
边上，点F在 边上， ， ，四边形 是正方形．
(1) 和 相似吗？为什么？
(2)求 的值．
在坐标系中画位似图形
例题：（2023上·江西萍乡·九年级统考期末）如图，已知 ， ， ．
(1)求线段 的长；
(2)把 、 、 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到 ， ， 的坐标，画出 ，并求
的长；
(3) 与 是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
【变式训练】1．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为
、 ，
(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将 放大为原来的两倍，画出图形；
(2)A点的对应点 的坐标是 ；B点的对应点 的坐标是 ；
(3)在 上有一点 ，按（1）的方式得到的对应点 坐标是 ；
2．（2023上·四川巴中·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标为
．
(1)将 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的 ；
(2)以原点 为位似中心，在 轴的右侧画出 的一个位似 ，使它与 的位似比为
2：1，并分别写出 的对应的点 的坐标；在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
例题：（2023上·四川眉山·九年级统考期末）如图， 与 位似，点 为位似中心，已知
， 的面积为2，则 的面积为 ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，以点 为位似中心，将五边形 放大后得到
五边形 ，已知 ， ，五边形 的周长为 ，则五边形
的周长是 ．
2．（2023上·甘肃白银·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点坐标分
别是 ，已知矩形 与矩形 位似，位似中心是原点 ，且
知形 的面积等于矩形 面积的 ，则点 的对应点 的坐标是 ．一、单选题
1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C． ， ， ， D．1，3，4，7
2．（2023下·山东威海·八年级统考期末）若 ，则下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期末）如图， ，直线a，b相交于点 ，与这三条平
行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）
A． B．C． D．
4．（2022上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，小主持人舞台 长10米，主持人位置点C是靠
近点B的黄金分割点，则 的长约为（ ）
A．3.82米 B．5米 C．6.18米 D．7米
5．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图所示，直线 ，直线 和 被 ， ，
所截， ， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
二、填空题
6．（2023上·河北唐山·九年级统考期末）如图，在矩形 中，若 ， ，则
．
7．（2020上·湖南张家界·七年级统考期中）如图， ，请你补充一个条件： ，使
．8．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，有三个点 ， ，
．以点O为位似中心，在第三象限内作与 的位似图形 ，位似比为 ，则点C
的坐标为 ．
9．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）如图， 是 的中线，点E在 上， 交 于
点F．若 ，则 ．
10．（2023上·河南南阳·九年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，
点 、 分别在边 、 上，连接 ，沿 折叠该三角形，使点 的对应点 落在边 上，
若 是直角三角形，则 的长为 ．
三、解答题
11．（2023上·河北邢台·九年级统考期末）已知：如图，在 中， 为 边上一点，
．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 长．
12．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形 中， ，在 边上取中点
E，连接 ，过点E做 与 交于点G，与 的延长线交于点F．
(1)求证： ；
(2)求 的面积．
13．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）如图，在矩形 中，E为边 上一点，将点C沿
翻折恰好落到边 上的点F处．
(1)求证： ；(2)若 ， ，则 ______．
14．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的
网格中，给出了格点 及平面直角坐标系 ．
(1)将 绕 点逆时针旋转 得到 ，请作出 ，并直接写出点 的坐标；
(2)以点 为位似中心，位似比为 ，在第四象限将 放大为原来的2倍得到 ，请作
出 ．
(3)在（2）的条件下，若 上的点 位似的对应点为点 ，则点 的坐标为________．
15．（2023上·江苏无锡·九年级统考期末）如图， 中， ，动点
P从点A出发沿边 向点B以 的速度移动，同时点Q从点B出发，沿边BC向点C以
的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为 ．(1) ______ ； ______ （用含t的代数式表示）
(2) D是 的中点，连接 ，t为何值时，有最值？ 的面积最值为多少？
16．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）【初步感知】如图①， 和 都是等边三角形，
连结 ， ．易知： （不用证朋）；
【深入探究】如图②， 和 是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中
， ，连结 、 ．
(1)求 的值；
(2)延长 交 于点 ，交 于点 ，则 ______°；
(3)【拓展提升】如图③， 和 都是直角三角形， ，且
，连结 ， ．延长 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则
______．（用含 的式子表示）
