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猜想 03 旋转综合题（3 种常见题型专练）
题型一：线段问题 题型二：面积问题
题型三：角度问题
题型一：线段问题
1．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期末）在锐角 中， ， ， ，将
绕点 按逆时针方向旋转，得到 ．
(1)如图1，当点 在线段 的延长线上时， 的度数为________ ；
(2)如图2，连接 ， ．若 的面积为4，求 的面积；
(3)如图3，点 为线段 中点，点 是线段 上的动点，在 绕点 按逆时针方向旋转过程中，点
的对应点是 ，直接写出线段 长度的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为7；最小值为
【分析】（1）由旋转的性质可得： ， ，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；
（2）由旋转的性质可得： ，易证得 ，利用相似三角形的面积比等于相似比
的平方，即可求得 的面积；
（3）①当P在 上运动至 时， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 上时， 最
小，②当P在 上运动至点C， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 的延长线上时， 最
大，即可求得线段EP 长度的最大值与最小值．
1
【详解】（1）解：由旋转的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；（3）如图，过点B作 ，D为垂足，
∵ 为锐角三角形，
∴点D在线段 上，
在 中， ；
①当P在 上运动至 时， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 上时， 最小，最
小值为： ；
②当P在 上运动至点C， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 的延长线上时， 最大，
最大值为： ；
因此，线段EP 长度的最大值为7，最小值为： ．
1
【点睛】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应
用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
2．（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图①在正方形 中，连接 ，点E是边 上
的一点， 交 于点F，点P是 的中点，连接 ．(1)如图①，探究 与 有何关系，并说明理由；
(2)若将 绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接 ，取 的中点P，连接 ，请问在该条
件下，①中的结论是否成立，并说明理由；
(3)如果把 绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接 ，取 的中点P，连接 ，请你
直接写出 与 的关系．
【答案】(1) ，且 ；理由见详解
(2) ，且 ；理由见详解
(3) ，且 ；理由见详解
【分析】（1）过点 作 ，通过条件证明 ，就可以得出结论 ， ；
（2）作 于 ，根据平行线等分线段定理就可以得出 ，再根据中垂线的性质就可以得出
，
（3）延长 交 延长线于 ，连 ，最后通过证明三角形全等就可以得出结论 ．
【详解】（1） ，且 ．
证明：过 于点 ，延长 交 于点 ，作 于点 ．
则四边形 是正方形，四边形 是矩形，
， ，
，
，
， 是 的中点，
，
，
在 和 中，，
，
， ， ，
，
，
；
（2）成立．
证明：图2中，作 ，
则 ，
又 是 的中点，
，
则 是 的中垂线，
，
，
，
是 的中点， ，
则 ，
，
是等腰直角三角形，
，且 ；（3）图3中，延长 交 延长线于 ，连 ．
， ， ，
四边形 是矩形．
， ，
由图（2）可知，
平分 ， ，
，
又 ，
为等腰直角三角形
， ．
．
，
．
， ，
．
，
，
即 ，
又 ，
，
．
在 和 中，，
．
， ．
， ， ，
，
，
，
即 ，
．
【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难
度较大．
3．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将
绕点 逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 ， 分别交于点
， ．设等边 的面积为 ，通过证明可得 ，则
．
(1)【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 ， 分别交于点 ， ．若正方形 的面积为 ，
请用含 的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度， 的两边与正六边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积为
，请直接写出正六边形 的面积
(3)【猜想结论】如图4， 为正 边形 ……的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正 边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积
为 ，请用含 、 的式子表示正 边形 ……的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过证明可得 ，则
．
（2）通过证明可得 ，则 ．
（3）通过证明可得 ，则
【详解】（1）解：如图2，
∵ 为正方形 的中心角，
∴ ， ，∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别交于点
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图3，
∵ 为正六边形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正六边形的边 分别交于点
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正六边形 的面积为 ．
（3）如图4，∵ 为正多边形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正多边形的边 分别交于点
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正多边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握
旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
4．（2022上·山东济南·九年级校考阶段练习）在 中， ，点D，E分别是
的中点，点P是射线 上一点，连接 ，将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ，连接
．
(1)问题发现
如图（1），当点P与点D重合时，线段 与 的数量关系是 ， ．(2)探究证明
当点P在射线 上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出
证明．
(3)问题解决
若 ，连接 ，当 是等边三角形时，直接写出 的长度．
【答案】(1) ，45
(2)结论成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
（2）结论不变．连接 ．证明 ，推出 ， ，可得结
论．
（3）当点P在点E的上方时，过点P作 于Q．设 ，则 ， ，可得 ，从而得到 ，进而得到 ，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图（1）中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ，45．
（2）结论成立，证明如下：
如图（2）中，连接 ．
∵ ，∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）当点P在点E的上方时，如图（3）中，过点P作 于Q．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
5．（2023上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，已知 中， ， ，点D是
所在平面内一点，连接 ， ， ．
(1)如图1，点D在 上， ，且 ，求 的面积；
(2)如图2，点D为 内部一动点，将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点G是线
段 的中点，连接 ，猜想线段 ， 之间存在的位置关系和数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点C关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ，点D为 内部一动点，连接 ．
若 ，且 ，当线段 最短时，直接写出 的面积．
【答案】(1)6
(2) 且 ，见解析
(3)【分析】（1）过点D作DE⊥AC于点E，解 ，求出 ， ，从而求得 ，则
．然后由 求解即可；
（2）将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BH，连接FH，证明 ，得 ，
，再延长 至点K，使得 ； 交 于点P，连接 ， ，证明
，得 ， ．再证明 ，得
，继而证得 ，即可得出结论；
（3）由 ，所以A、C、B、D四点是在以 为直径的圆上，设此圆的圆心为O，所以
当 、D、O三点其线时， 最短，过点O作 于E，过点D作 于F，利用等腰直角
三角形的性质、勾股定理，垂直径定理，求得 ， ， ，再利用
对称的性质求得 ， ， ，则
，然后证明 ，得 ，从而求得 ，最后根据
求解即可．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥AC于点E，如图1，
在 中，∠AED 90°，
∵ ， ，
设 ，则 ，∴ ，
解得： ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
在等腰 中， ，
∴ ．
（2）解：猜想：
证明：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BH，连接FH，如图2，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
再延长 至点K，使得 ； 交 于点P，连接 ， ，
在 和 中，∴ ，
∴ ， ．
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
，
，
，
，
即 ．
在 和 中，
，
∴ ，
，
，
，
，
．
（3）解：∵ ，
∴A、C、B、D四点是在以 为直径的圆上，设此圆的圆心为O，
∴当 、D、O三点其线时， 最短，
过点O作 于E，过点D作 于F，如图3，在等腰 中， ， ， ，
由勾股定理，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点C与点 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，垂径定理，三角形的面积，最短距离问题，本题综合性质强，难度较大，熟练掌握相关性质和判定
是解题的关键．6．（2023上·福建厦门·九年级统考期末）在 中， ， ，将 绕
点A逆时针旋转，旋转角为 ，记点B，C的对应点分别为D，E．
(1)若 和线段 如图所示，请在图中作出 （要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)M是 的中点，N是点M旋转后的对应点，连接 ， ， ，则是否存在β与α的某种数量关系，
使得无论α取何值时，都有 ？若存在，请说明理由，并直接写出此时 与 的数量关系；若不
存在，也请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，理由见解析，
【分析】（1）根据全等三角形的判定和尺规作图的方法，根据题意画出图形即可；
（2）连接 ， ，根据三角形的外角定理可得 ，则 ，再通过证明四边形
是平行四边形，得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图 即为所求．
解法一（利用 作全等三角形）：
解法二（利用 作全等三角形或作点C旋转后的对应点E）：解法三（利用 作全等三角形）：
（2）解法一：
当 时，无论 取何值时，都有 ．
理由如下：
∵ ， ，
∴ 始终在 的外部．
连接 ， ，
∵在 中， ， 是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
又∵ ，即 ，∴ ．
∴ ．
∵ 由 绕点 逆时针旋转得到，且点 是点 旋转后的对应点，点 是点 旋转后的对应点，
∴ ， ， ．
又∵点 在 上，
∴ ．
∴ ，即点 在 上．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
此时， ．
解法二：
∵ ， ，
∴ 始终在 的外部．
连接 ， ，
∵在 中， ， 是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵ 由 绕点 逆时针旋转得到，且点 是点 旋转后的对应点，点 是点 旋转后的对应点，
∴ ， ， ．
又∵点 在 上，
∴ ．
∴ ．即点 在 上．
∴ ．
∴ ．
要使得无论 取何值时，都有 ，只要使四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴要使四边形 是平行四边形，只要使 ．即要使 ．
∵ ，
∴ ．
又∵ 是 的外角，
∴ ．
∴要使 ，
只要使 ，即 ．
∴当 时，无论 取何值时，都有 ．
此时， ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图，三角形的外角定理，平行四边形的判定和性质，
旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
题型二：面积问题
1．（2021下·辽宁丹东·八年级统考期末）如图在 中， ，点D，E分别在边
上， ，连接 ， ，点M，P，N分别为 的中点，连接 ， ．
(1)图1中，线段 与 的数量关系是___________；位置关系是____________．
(2)将 绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接 ，判断 的形状，并说明理由．
(3)将 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 面积的最大值．
【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利
用三角形的中位线得出PM CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出 ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出
△
PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时， PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=10，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点P，△N是BC，CD的中点，
∴PN BD，PN= BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM CE，PM= CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）解： PMN是等腰直角三角形．
证明：由旋△转性质可知∠BAD＝∠CAE
又∵AB＝AC，AD＝AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE
∵点P，M分别是DC，DE的中点
∴PM是 DCE的中位线
△
∴PM＝ CE且PM CE同理PN＝ BD且PN BD
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD
∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°
∴△PMN是等腰直角三角形．
（3）解：由（2）知， PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD，
△
∴PM最大时， PMN面积最大，
∴点D在BA的△延长线上，
∴BD=AB+AD=11，
∴PM=5，
∴S PMN = PM2= ×( )2= ．
最大
△
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM= CE，PN= BD，
解（2）的关键是判断出 ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时， PMN的面积最大．
2．（2023上·江西抚州·九△年级统考期末）综合与实践：图形的几何变换 △
复习课上，老师对一张平行四边形纸片 进行如下操作：
(1)如图1，折叠该纸片，使边 恰好落在边 上，边 恰好落在边 上，得到折痕 和 ，判断
四边形 的形状，并说明理由；
(2)老师沿折痕将 和 剪下，得到两个全等的等腰三角形，已知等腰三角形的腰长为5，底边长
为6，底角度数为a，通过不同的摆放方式，三个学习小组利用几何变换设置了几个问题，请一一解答．
①善思小组：将两个三角形摆放成如图2的位置，使边 与边 重合，然后固定 ，将 沿着
射线 的方向平移（如图3），当四边形 为矩形时，求平移的距离．②勤学小组：将两个三角形摆成如图4的位置，使 与 重合，取 的中点O，固定 ，
将 绕着点O按逆时针方向旋转（ 旋转角 ），如图5，在旋转过程中，四边形 的形
状是______．
③奋进小组：在②勤学小组的旋转过程中，利用图6进行探究，当 与 的重叠部分为等腰三角
形时，旋转角为______（用含 的代数式表示），此时重叠部分的面积为_____．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)① ；②矩形；③ 或 ；
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ， ，从而得出 ，即可得出
结论；
（2）①作 垂直 于点G，由三线合一性质可得 ，求出 的长度，最后根据
即可求解；②通过证明 ， ，即可得出结论；③分
两种情况进行讨论：当点C在 边上时，当点F在 边上时．
【详解】（1）解：四边形 为平行四边形．理由如下：
在平行四边形 中， ， ，
由折叠可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 ，得 ，
∴四边形 为平行四边形．
（2）①如图，作 垂直 于点G，∵ ，由三线合一性质可得 ，
∴ ，
当四边形 为矩形时， ，
则 ，
解得： ，
∴
即平移的距离为 ．
②∵ 与 重合，
∴
∵点O为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，∴四边形 为矩形．
故答案为：矩形．
③如图：连接 ，过点E作 于点M，
∵点O为 中点， ，
∴ ， ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
当点C在 边上时，
∵ ，
∴ 为等腰三角形，
此时旋转角为 ，
过点O作 与点G，∵ ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
∴ ，
∴重叠部分面积 ，
当点F在 边上时，
∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
此时旋转角为 ，
过点O作 于点H，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
∴ ，
∴重叠部分面积 ，综上：旋转角为 或 ；重叠部分面积为 ；
故答案为： 或 ， ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，
解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
3．（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图， 与 均为等腰直角三角形，
，F，G，H分别是 ， ， 的中点，连接 ， ， ．
(1)当E在 延长线上时，如图①， 的形状是_____；
(2)将 绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
(3)若 ， ， 绕点C逆时针旋转一周，直接写出 面积的最大值和最小值．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)成立，理由见解析
(3)最大值： ，最小值：
【分析】（1）根据F、G分别是 、 的中点和 、 是等腰直角三角形即可得出结论．
（2）分别取 和 的中点M、N，连接 、 、 、 ，根据中位线的性质可求得
，再结合 是等腰直角三角形，可证 ，从而得出结论．
（3） 绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在点C为圆心， 为半径的圆上移动，当点H运动到
N点时，有最小值，运动到M点时，有最大值．【详解】（1） 是等腰直角三角形，
解：∵F、G分别为 、 的中点，且 ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
同理可得 ，
∴ 是等腰直角三角形．
（2）
成立，理由如下，
解：取 的中点M， 的中点N，连接 、 、 、 ， 交 于点P，
∵F、G分别 、 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
又∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
（3）解：若 绕点C逆时针旋转一周，则相当于H在以C为圆心， 为半径的圆上移动，
∵ ，且 是等腰直角三角形，
∴ ，
由（2）知 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，l为H到 的距离，
∴当H在 与 交点N处时，有最小值，在交点M处时有最大值，
∵ 与 相交与点P，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 面积最大值为 ，最小值为 ．
【点睛】本题考查了三角形旋转的综合问题，涉及到了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定以及
垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键．
4．（2022上·吉林通化·九年级统考期末）如图， 中， ， ，点 、 在 边上，
，将 绕点 顺时针旋转 得 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，求证： ；
(3)若 ， ，则 ______，四边形 的面积＝______．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) ；
【分析】（1）由旋转的性质得 ，从而得到 ，即可证明结论；
（2）由旋转的性质得 ， ，则 ，再利用
即可证明；
（3）如图，过点 作 于 ，由（1）得， ，在 中，由勾股定理得
，则 ，再根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半求出 ，再利用 可得出答案．
【详解】（1）证明：∵将 绕点 顺时针旋转 得 ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵将 绕点 顺时针旋转 得 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ．
（3）解：如图，过点 作 于 ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得 ， ， ，
∴ ，
由（1）得， ，
在 中， ，
由（2）得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积：
．
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等
腰三角形三线合一的性质等知识．证明 是解题的关键．
5．（2023上·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图 1，在 中， ，， ，点 、 分别为边 、 的中点，连接 ，将 绕点 C 逆时针旋转 α
（ ）．
(1)如图1，当 时，易知 和 的位置关系为 ；线段 和 的数量关系为 ；
(2)将 绕点 C 逆时针旋转至图 2 所示位置时，（1）中 和 的关系是否仍然成立？若成立，
请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)当 绕点 C 逆时针旋转过程中．
① 面积的最大值为 ；
②当 三点共线时，线段 的长为 ．
【答案】(1)
(2)（1）中 和 的关系仍然成立，见详解．
(3)① ② ．
【分析】（1）先求出 ，再求出 ，进而求出 ，即可得出结论；
（2）通过证明 ，结论仍然成立．
（3）①过点C作 ，并延长 ，当 点转到 延长线上时， 的面积最大． ②当三点共线时，证明 ，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）∵ ，点 分别为边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴（1）中 和 的关系仍然成立．
（3）①过点C作 ，并延长 ，
当 点转到 延长线上时， 的面积最大，
，
，∴ ，
②当 三点共线时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
设 ， ，
根据勾股定理得
， （舍去），
∴
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，
旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
题型三：角度问题
1．（2021上·广东广州·九年级广州市第二中学校考期中）如图，在 中， ， ，将绕点B按逆时针方向旋转 ，得到 ，连接 ， 交于点F．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件证出 ，即可得证．
（2）根据条件求出 的度数，然后根据四边形 内角和求出 的度数，最后
用 的度数即可．
【详解】（1）解：证明：∵ 绕点B按逆时针方向旋转 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
（2）解：由旋转可得： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是
解题关键．
2．（2022上·河北廊坊·九年级统考期末）如图， 中， ，D为 内一点，
连接 ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知 ， ，从而可求 ，进而可证
，即得出 ；
（2）设 相交于点F，则 ．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出 ，
从而可求出 ，进而可得 ．
【详解】（1）证明：由题意可知 ， ，
∴ ，即 ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，设 相交于点F，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．
解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋
转角．③旋转前、后的图形全等．
3．（2022上·河南商丘·九年级统考期末）（1）问题发现
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P， ， ， ，求 的度数．
针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将 绕点A逆时针旋转60°得到 ，连结
，得到等边三角形 ，在 中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路
提示，完成本题的解答；
（2）类比延伸
如图3，在正方形ABCD内部有一点P，若 ，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说
明理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到 为直角三角形，且 ，即可得到∠APB的度
数；
（2）把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到 ，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可
得 ，然后求出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出
再求出 ，然后利用勾股定理得出 等量代换得出 ．
【详解】解：（1）如图2，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到 ，连结 ，
则 为等边三角形．
∴
∴
∴ 为直角三角形．
∴∠APB的度数为90°+60°=150°．
故答案为：直角；150°；
（2）2PA2+PD2=PB2．理由如下：
如图3，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，
连结 ． 则
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵∠APD=135°，
∴ ，
∴ ，
在Rt 中，由勾股定理得，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转
角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆
定理的应用．
4．（2023上·山西运城·九年级校考期末）数学课上，有这样一道探究题．如图，已知 中， ， ， ，点 为平面内不与点 、 重
合的任意一点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得线段 ， 、 分别是 、 的中点，设直线
与直线 相交所成的较小角为 ，探究 的值和 的度数与 、 、 的关系，请你参与学习小组的
探究过程，并完成以下任务：
(1)填空：
【问题发现】
小明研究了 时，如图1，求出了 __________， __________；
小红研究了 时，如图2，求出了 __________， __________；
【类比探究】
他们又共同研究了 时，如图3，也求出了 ；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律： __________（用含 、 的式子表示）； __________（用含
的式子表示）．
(2)求出 时 的值和 的度数．
【答案】(1)2， ； ， ； ，
(2) ，【分析】（1）当 时， 和 都是等边三角形，可证 ，从而有
，即 ， ；
当 时， 和 都是等腰直角三角形，同理可证 ，即可解决，依此可得出规
律；
类比着 、 时即可得到结论；
（2）当 ，根据三角函数的定义以及相似三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】（1）如图，连接 、 ，延长 、 交于点 ，
当 时， 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：2， ；
当 时， 和 都是等腰直角三角形，∴ ， ， ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
由此，可归纳出 ， ，
故答案为： ， ．
（2）当 时，连接 、 ，延长 、 交于点 ，∵ ， 是 中点，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化
但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．
