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专题 27.2 相似三角形
1.相似三角形的定义：
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
2.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定定理
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
4.相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形对应线段的比等于相似比；
（4）相似三角形周长的比等于相似比；
（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【例题1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则
BC等于（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【例题2】如图，l∥l∥l ，直线a、b与l 、l 、l 分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE
1 2 3 1 2 3
＝2，BC＝6，则EF＝ ．
【例题3】（2019•湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜
子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜
子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地
面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【例题4】已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要
求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、
B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．一、选择题
1.（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作
PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
B． C． D．
A.
2．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
3．如图，在△ABC中，点 D、E分别是 AB、AC的中点，若△ADE的面积为 4，则△ABC的面积为
（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
4.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点 G，则是相似三角形共有
（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对5.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，
AB＝6，AC＝4，则AE的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，
DE＝4，则BC等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7.（2019•广西贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD
＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
8.（2019▪黑龙江哈尔滨）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，
交AD于点N，则下列式子一定正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝9. （2019•江苏苏州）如图，在 中，点 为 边上的一点，且 ， ，过点 作
， 交 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A
E
B C
D
A． B． C． D．
10.（2019山东枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为
16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
二、填空题
11.（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC
相交于F，则S ：S 是 ．
△AEF △CBF
12.（2019•浙江宁波）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．
点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
13. 2019黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边
上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，
则CD的长为________．
14．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 ．
15.（2019江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3 ．点P是AD的中点，点E在BC上，CE
＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__________．
A P D
B E C
16.（2019•山东滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于
点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S ＝4S ；③AC：BD＝
△AOD △OCF
：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）
三、解答题
17.（2019•四川凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．
连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．18.（2019年广西梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长
线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．
（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC．
19.（2019年湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，
连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
20.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．
