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专题36 一次函数中的旋转
1．一次函数 的图象绕着原点逆时针旋转90°后，经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先将 绕原点顺时针旋转90°得到（－3,1），再将（－3,1）代入函数关系式求解即
可．
【详解】解：由题意可知：将 绕原点顺时针旋转90°得到对应点的坐标为（－3,1），
将（－3,1）代入 得： ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了将一个点绕原点旋转90°的特征及待定系数法的应用，理清题目意思，并
熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
2．若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点
A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣ x﹣1 B．y＝﹣ x+1 C．y＝ x+1 D．y＝ x﹣1
【答案】C
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ，得到直线解析式为y＝ x-2，将其向左平移2个单位，得到y＝ x-1，绕着原点旋转180°，得解．
【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝ x-2，
将其向左平移2个单位，得y＝ （x+2）-2，
即y＝ x-1，
∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0），
∵绕着原点旋转180°，
∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0），
∵设直线的解析式为y=mx+1，
∴-2m+1=0，
解得m= ，
∴y＝ x+1，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．
3．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B
（0,4），则直线l的表达式是（ ）
A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=-2x+2 D．y=-2x-2
【答案】B
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得
到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．
【详解】解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．
∵A（−2，0），B（0，4），∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝2x＋4．
将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋4，即y＝2x＋2，
再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，
所以直线l的表达式是y＝2x−2．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称
的规律是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，3），将OA顺时针旋转90°得到OB，则
直线AB的解析式为 _____．
【答案】y＝﹣ x+
【分析】先证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出点B的坐标，然后根据待定系数
法求出答案即可．
【详解】如图，过点A作AC⊥x轴，交于点C，过点B作BD⊥x轴，于点D．
∵点A（-2，3），
∴CO=2，AC=3．
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD．
∵∠ACO=∠BDO=90°，AO=BO，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=3，CO=BD=2，
∴点B（3，2）．设直线AB的关系式为y=kx+b，将点的坐标代入，得
解得 ，
∴直线AB的关系式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，
构造全等三角形是解题的关键．
5．如图，点A（﹣1，m）在直线y=2x+3上，连结OA，∠AOB=90°，点B在直线y=﹣x+b上，
OA=OB，则b=________．
【答案】2
【分析】先把点A坐标代入直线y=2x+3，得出m的值，然后得出点B的坐标，再代入直线y=-x+b
解答即可．
【详解】解：把A（-1，m）代入直线y=2x+3，可得：m=-2+3=1，
因为∠AOB=90°，OA=OB，
所以线段OA绕点O顺时针旋转90°，得线段OB，所以点B的坐标为（1，1），
把点B代入直线y=-x+b，可得：1=-1+b，∴b=2，
故答案为：2．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，旋转中的坐标变换.关键是根据题意，利用旋转
中的坐标变换规律求点的坐标．
6．直线 绕坐标原点逆时针旋转 后得到的直线解析式为____________________．
【答案】
【分析】根据题意，可求出直线 过点 ， ，再根据旋转的性质，可得到点
， 的对应点为 ， ，然后利用待定系数法，即可求解．
【详解】解：∵当 时， ，当 时， ，
∴直线 过点 ，
∴直线 绕坐标原点逆时针旋转 后，点 ， 的对应点为 ， ，
∴可设旋转后得到的直线的解析式为 ，
将 ， ，代入得：
，解得： ，
∴旋转后得到的直线的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，旋转的性质，根据旋转得到点
， 的对应点为 ， 是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中， ， ，线段 由线段 绕点A顺时针旋转 而得，
则 所在直线的解析式是______．【答案】 ##
【分析】过点C作 轴于点D，易知 ，从而求得点C坐标，待定系数
法即可求得直线 的解析式．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
过点C作 轴于点D，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点A，点C坐标代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，故答案为： ．
【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形
求得C的坐标是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直
线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为_______．
【答案】 ##y=4+3x
【分析】先求出点A、B的坐标，过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足
为E，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F的坐标，再利用待定系
数法，即可求出答案．
【详解】解：∵一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B两点，
∴令 ，则 ；令 ，则 ，
∴点A为（2，0），点B为（0，4），
∴ ， ；
过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，如图，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AO=FE，BO=AE，
∴ ， ，
∴ ，
∴点F的坐标为（ ， ）；
设直线BC为 ，则
，解得： ，
∴直线BC的函数表达式为 ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以
及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交 轴于点A，B，将直线AB绕
点B按顺时针方向旋转 ，交 轴于点C，则直线BC的函数表达式为____________．
【答案】
【分析】根据已知条件得到 ， ， ，求得 ， ，过 作 交 于
，过 作 轴于 ，得到 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，
求得 ， ，设直线 的函数表达式为： ，解方程组即可得到结论．
【详解】解： 一次函数 的图象分别交 、 轴于点 、 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
， ， ，
， ，
过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
设直线 的函数表达式为： ，
，
，
直线 的函数表达式为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定
和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为______．
【答案】（0，-6）
【分析】由直线解析式求得OA=2，OB=4，利用勾股定理求得AB=2 ，作CD⊥AB于D，设
OC=m，由勾股定理得 ，从而得出 ，在Rt BDC中，利用勾股定
△
理求m=6，从而求得C的坐标．
【详解】解：一次函数y=2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．
令y=0，则2x+4=0，解得x=-2；
令x=0，则y=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB= ，
作CD⊥AB于D，
∵∠CAD=45°，
∴△CAD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，设
在Rt AOC中，
△
∴
在等腰直角三角形ADC中，
∴
在Rt△BDC中，
∴
解得，m=6或 （舍去）
经检验：m=6是方程的解，
∴点C的坐标为（0，-6）．
故答案为：（0，-6）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，求
得OC的长是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交x，y轴于点A，B，将直线
绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线 的函数表达式是_______．
【答案】
【分析】根据已知条件得到 ， ，求得 ， ，过A作 交 于F，过F作 轴于E，得到 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，
求得 ，设直线 的函数表达式为： ，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数 的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令 ，得 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
过A作 交 于F，过F作 轴于E，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为： ，
∴ ，∴ ，
∴直线 的函数表达式为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定
和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交 ， 轴于点 ， ，将直线
绕点 按顺时针方向旋转45°，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式是______．
【答案】y=3x-2
【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC
于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得
F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=AF，
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
在△ABO和△FAE中，
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE=OB=2，EF=OA=1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2，
故答案为：y=3x-2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．如图，一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 、 ，把直线 绕点 顺时针
旋转30°交 轴于点 ，则线段 长为______．
【答案】
【分析】先求出点 的坐标，从而可得 ，过点 作 于点 ，
根据直角三角形的性质可得 ，设 ，则 ，
，再在 中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：对于一次函数 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
，
如图，过点 作 于点 ，
由旋转的性质得： ，
， ，
设 ，则 ，，
，
在 中， ，即 ，
解得 或 ，
当 时， ，舍去，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、含 角直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程
的应用等知识点，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键．
14．将直线 绕原点旋转 ，得直线
(1)画出直线 ；
(2)求 的解析式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，在 上取点 把 绕原点顺时针旋转 可得 则直线
即为直线 ；
（2）先确定直线 是正比例函数，把 代入直线 的解析式，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：如图，在 上取点 把 绕原点顺时针旋转 可得再作直线 ，则直线 为将直线 绕原点旋转 的直线 ．
（2）解：点 绕原点 顺时针旋转 得到的点是它的本身，
∴ 旋转后的直线 过原点，设 为
把 代入解析式：
∴
所以直线解析式是 ．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换的知识，难度适中，掌握“点 绕原点顺时针旋转
以后的点的坐标是 ”是解本题的关键．
15．（1）写出点 绕坐标原点逆时针旋转 后所得对应点坐标是 ；
（2）写出直线 绕坐标原点逆时针旋转 后所得直线解析式是 ；
（3）求直线 绕坐标原点逆时针旋转 后所得直线解析式．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质可直接得到旋转后的坐标；
（2）根据点 是直线 上的一点，求出点 旋转后的点坐标，再根据待定系数
法即可求得答案；
（3）根据 过两点 ， ，计算出点 ， 旋转后的点坐标，再根据
待定系数法求出函数的解析式．
【详解】解：（1）如图所示，根据旋转的性质可得 ， ， ，
∴点 绕坐标原点逆时针旋转 后所得对应点坐标是 ；
（2）∵点 是直线 上的一点，
绕坐标原点逆时针旋转 后所得对应点坐标是 ，
设直线 绕坐标原点逆时针旋转 后所得直线解析式为 ，
将点 代入，得 ，
得 ，
∴旋转后的直线解析式为： ；
（3）∵直线 上过两点 ， ，
将其绕坐标原点逆时针旋转 ，得到对应点的坐标为 ， ，
设过这两点的直线解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴旋转后的直线解析式为： ．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，解题的关键是根据题意得到直线上的点，再通过待定系数
法求出解析式．
16．规定：在平面直角坐标系内，某直线 绕原点 顺时针旋转 ，得到的直线 称为 的“旋
转垂线”．(1)求出直线 的“旋转垂线”的解析式；
(2)若直线 的“旋转垂线”为直线 ．求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）直线 经过点 和 ，这两点绕原点 顺时针旋转 ，得到的对应点
为 和 ，这两点在 的“旋转垂线”上，利用待定系数法求解析式即可；
（2）直线 经过点 ， 和 ，这两点绕原点 顺时针旋转 ，得到的对
应点为 和 ，这两点在 上，代入 求解即可．
【详解】（1）直线 经过点 和 ，
则这两点绕原点 顺时针旋转 ，得到的对应点为 和 ，
设直线 的“旋转垂线”的解析式为 ，
把 和 ，代入 ，可得：
，解得 ，
直线 的“旋转垂线”的解析式为 ；
（2）证明：直线 经过点 ， 和 ，则这两点绕原点 顺时针旋转 ，得到的对应点为 和 ，
把 和 ，代入 ，可得
，
，
．
【点睛】本题考查一次函数图象的旋转．理解题目中给出的定义，掌握直线上点的旋转点在旋转
垂线上是解题的关键．
17．（1）点 绕坐标原点逆时针旋转 得到的点的坐标是
（2）直线 绕坐标原点逆时针旋转 得到的直线解析式是
（3）求直线 关于原点对称的直线的解析式．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）过 作 轴，过 作 轴，由 可得， ，
，即可得到点 的坐标为 ；
（2）直线 与坐标轴交于 ， ，绕坐标原点逆时针旋转 后分别得到 ，
，利用待定系数法即可得到直线 解析式为 ；
（3）直线 与坐标轴交于 ， ，关于原点对称的点分别为 ， ，
利用待定系数法即可得到直线 解析式为 ．
【详解】解：（1）如图，由旋转可得， ， ，
过 作 轴，过 作 轴，由 可得， ， ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）如图，
当 时， ；
当 时，
∴直线 与坐标轴交于 ， ，
绕坐标原点逆时针旋转 后分别得到 ， ，
设 解析式为 ，则
，
解得 ，
直线 解析式为 ；
故答案为： ；
（3）如图，当 时， ；
当 时，
∴直线 与坐标轴交于 ， ，
关于原点对称的点分别为 ， ，
设 解析式为 ，则
，
解得 ，
直线 解析式为 ．
【点睛】本题考查了坐标系中点的旋转，直线的旋转问题，解题的关键是需要结合图形，根据点
的旋转规律找直线旋转的解析式．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B
（0，2）．
(1)求直线AB的表达式；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，线段AB上横坐标为
的点E在线段CD上对应点为点F，求点F的坐标．
【答案】(1)y＝﹣2x＋2(2)（﹣ ， ）
【分析】（1）把点A和点B点坐标代入y＝kx＋b得关于k、b的方程组，然后解方程组求出k和b
的值，从而得到直线AB的解析式；
（2）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出E点坐标，作EH⊥x轴于H，如图，然后旋转变换
求E点的对应点F的坐标．
【详解】（1）解：把点A（1，0）和点B（0，2）代入y＝kx＋b得 ，解得 ，
所以直线AB的解析式为y＝﹣2x＋2；
（2）解：当x＝ 时，y＝﹣2• ＋2＝ ，则E点坐标为（ ， ），
作EH⊥x轴于H，如图，
∵△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，
∴把△OEH绕点O逆时针旋转90°后得到△OFQ，
∴∠OHE＝∠OQF＝90°，∠QOH＝90°，OQ＝OH＝ ，FQ＝EH＝ ，
∴F点的坐标为（﹣ ， ）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解
析式时，先设y＝kx＋b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关
于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
也考查了旋转的性质．
19．在平面直角坐标系中，直线l： 分别交x轴、y轴于点A、B将△AOB绕点O顺时
针旋转 后得到 ．(1)求直线 的解析式；
(2)若直线 与直线l相交于点C，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线l的函数解析式求得A、B两点坐标，找出旋转后 、 两点坐标，计算直
线 的解析式；
（2）联立两直线的解析式，求出C点坐标，再计算出 的面积．
【详解】（1）由直线l： 分别交x轴，y轴于点A、B．可知：A（3，0），B（0，
4）．
∵△AOB绕点O顺时针旋转90°而得到 ，
∴ ，
故 （0，﹣3）， （4，0）．
设直线 的解析式为y=kx+b（k≠0，k，b为常数）
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）由题意得： ，解得： ，
∴C（ ，﹣ ），
又 =3+4=7，∴ ．
【点睛】此题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数解析式，直线的交点问题，解题的关键
是熟练掌握以上知识点．
20．（1）如图1，等腰直角三角形 的直角顶点在直线 上． 过点 作 交于点 ， 过
点 作 交于点 ， 求证： ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点A，B， 将直线
绕点 顺时针旋转 得到 ， 求 的函数表达式；
（3）如图3，在平面直角坐标系，点 ， 过点 作 交于点 ， 过点 作 交
于点 ， 为线段 上的一个动点，点 位于第一象限． 问点 能否构成以点
为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出 的值； 若不能， 请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）能，
【分析】
（1）先说明 ，然后再根据 即可证明结论；
（2）先由题意确定 、 点坐标，根据全等三角形的判定与性质确定点C的坐标，然后运用
根据待定系数法求得 的解析式；
（3）作线段 的中垂线记为 ，由等腰三角形的性质可知，若点 存在， 则一定在 上；
然后分点 在 的上方和下方两种情况，分别根据全等三角形的性质列出关于 的方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知 ，
为等腰直角三角形∴
，
在 中
．
（2）由题意意可知点 坐标为 ，点 坐标为
过点 作 交 于点 ， 过点C作 轴交 轴于点 ，
由（1）的证明可知
点 坐标为
设
过点
解得
．
（3）如图：作线段 的中垂线记为 ，由等腰三角形的性质可知，若点 存在， 则一定在 上．
①当点 在 下方时过点 作 轴交于点 ， 则 交于点 ，
由（2）的证明不难得出，
， 即
解得 ， 则点 与点 位于第一象限相矛盾，
故 舍去
②当点 在 上方时
过点 分别作 轴交于点 ， 则 的延长线交于点 ，
由（2）的证明不难得出，
， 即
解得 ， 则点 符合题意．
综上， ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求
函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于 的方程是解题关键．
21．在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交 、 轴于点A、B，将直线AB绕点B
顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．（1）求直线BC的函数表达式；
（2）若将直线AB绕点B逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC的函数表达式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据已知条件结合一次函数图像特征求得 、 ，然后添加辅助线“过点
作 交 于点 ，垂足为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ”，再利用全等三角
形的判定和性质求得 ，最后根据待定系数法即可求得答案；
（2）根据已知条件结合一次函数图像特征求得 、 ，然后添加辅助线“过点 作
交 于点 ，垂足为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ”，再利用全等三角形的
判定和性质求得 ，最后根据待定系数法即可求得答案．
【详解】解：（1）∵一次函数 的图像分别交 、 轴于点 、
∴点 ，点
∴ ，
将直线 绕点 按顺时针方向旋转 ，交 轴于点 ，过点 作 交 于点 ，垂足
为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ，如图，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵ ，∴
∴在 和 中
∴
∴ ，
∴点 坐标为
∵直线 过 ，
设直线 表达式为 ，代入得 ，
解得
∴直线 的解析式为： ．
（2）∵一次函数 的图像分别交 、 轴于点 、
∴点 ，点
∴ ，
将直线 绕点 按逆时针方向旋转 ，交 轴于点 ，过点 作 交 于点 ，垂足
为点 ，过 点作 轴，垂足为点 ，如图，∵ ，
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵ ，
∴
∴在 和 中
∴
∴ ，
∴
∴点 坐标为
∵直线 过 ，
设直线 表达式为 ，代入得
解得
∴直线 的解析式为： ．当直线AB绕点B按逆时针方向旋转45°时，直线BC的解析式为：
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和
性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
22．如图，一次函数 的图像经过点 ，且与 轴， 轴分别交于 两点．
（1）填空： ；
（2）将该直线绕点 顺时针旋转 至直线 ，过点 作 交直线 于点 ，求点 的坐标
及直线 的函数表达式．
【答案】（1）1；（2） ，
【分析】（1）直接把点 代入，即可求出b的值；
（2）先求出直线AB的解析式，以及点A、B的坐标，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，由旋转的性
质，则AB=BC，然后证明△ABO≌△BCD，得到BD=AO，CD=BO，即可求出点C的坐标，然后求出直
线AC的解析式即可．
【详解】解：（1）根据题意，
∵一次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；
（2）由（1）可知，直线AB的解析式为： ，
令x=0，则y=1，
令y=0，则 ，
∴点A为（ ，0），点B为（0，1），∴OA= ，OB=1；
由旋转的性质，得 ，
∵
∴∠ABC=90°，
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，如图：
∵∠BDC=90°，
∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠BCD=∠ABD，
同理，∠CBD=∠BAO，
∵AB=BC，
∴△ABO≌△BCD，
∴BD=AO= ，CD=BO=1，
∴OD= ，
∴点C的坐标为（1， ）；
设直线l的表达式为 ，
∵直线经过点A、C，则
，解得： ，
∴直线l的表达式为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及余角的性质，
解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，构造全等三角形进行解题．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．
(1)点A坐标是（ ， ）、点B坐标是（ ， ）；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，
如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，0； 0，1
(2)
(3)符合要求点 N 的坐标是（2， 2）、（ 1，2）、（ 3，2 ）．
【分析】（1）由 ，分别令 ， ，即可求解；
（2）过A作 交BC于F，过F作 轴于E，得到 ，根据全等三角形的性质
得到 ， ，求得F点的坐标，设直线BC的函数表达式为 ，
利用待定系数法即可得到结论；
（3）分当BC是对角线时；当BC是边，四边形BMNC为菱形时；当BC是边，四边形BCMN为菱
形时三种情况，根据菱形的性质去分析求解即可求得答案．
（1）
解：∵一次函数 的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-1，令y=0，则 ，
∴ ， ．故答案为： ，0；0，-1；
（2）
解：过A作 交BC于F，过F作 轴于E．
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
设直线BC的函数表达式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC的函数表达式为： ；
（3）
解：存在．
如图，当BC是对角线时，四边形BMCN为菱形．∴ ， ．
∵直线BM为 ，
∴设直线CN的函数表达式为 ．
∵直线BC的函数表达式为： ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴直线CN的函数表达式为 ，
设 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点N的坐标为 ；
如图，当BC是边，四边形BMNC为菱形时．∴ ， ．
∵直线BM为 ，
∴设直线CN的函数表达式为 ．
∵直线BC的函数表达式为： 1，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴直线CN的函数表达式为 ，
设 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴点N的坐标为 ；
③如图，当BC是边，四边形BCMN为菱形时．
∴ ，
设 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 或0（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为 ．
∵ ， ，
∴点N的坐标为 ．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（2， 2）、（ 1，2）、（ 3，2 ）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，
菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应
用．
24．如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线 绕点B顺时针旋
转 交x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过
点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用
两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形
的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三
角形．
