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27.2.2相似三角形的性质教案
课题 27.2.2相似三角形的性质 单元 第 27 单 学科 数学 年级 九年级
元 （下）
1. 掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系。
学习 2. 理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质。
3. 能够运用相似三角形的性质解决相关问题。
目标
重点 1.相似三角形的性质。
2.运用相似三角形的性质解决相关问题。
难点 运用相似三角形的性质解决相关问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 思考
判定两三角形相似的方法 自议 教师出示问题
1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两
回答问题，回 师生一起回顾上
个三角形相似.
顾知识。 节课学习的关于
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边
(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角 图形的相似多边
形 相似 . 形相关知识。
3. 三边 对应成比例的两个三角形相似.
从 问 题 导 入 知
4. 两边 对应成比例且 夹角 相等的两个三角形
相似. 识，引起学生的
5. 两角 分别相等的两个三角形相似. 关注，提高学习
教师：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要
的热情。
素?（高线、中线、角平分线、周长、面积）
问：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有
什么关系呢？
【活动探究】如图，小方
格的边长都是1.
△ABC∽△A′B′C′，
相似比为 ，它们对应
高、对应中线、对应角
平分线的比各是多少？
AD、A′D′分别为BC和
B′C′上的高线
∴AD=2， A′D′=4，∴ = .AE、A′E′分别为BC和′B′C′上的中线
∴AE= ， A′E′=2 ，∴ = .
AF、A′F′分别为∠BAC和∠B′A′C′的平分线
∴AF= ， A′F′= ，∴ = .
探究结果：
①相似三角形的对应高线之比等于相似比；
②相似三角形的对应中线之比等于相似比；
②相似三角形的对应角平分线之比等于相似比。
思考：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能
加以验证吗？
1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k ，AO、DP为BC、
EF上的高．求证： k.
证明：∵△DEF∽△ABC，
∴∠E= ∠B．
又∵∠DPE =∠AOB =90°,
∴△DEP∽△ABO.
∴ = =k.
2.如图，△ABC ∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别
为BC、EF上的中线．求证： k.
证明：∵△A′B′C′∽△ABC，
∴∠B= ∠E， = =k
AM、DN为BC、EF上的中线
∴BC=2BM，EF=2EN
∴ =
△ABM∽△DEN.
∴ = =k
3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k ，AM、DN分别为
角平分线.求证：
证明：∵△ABC∽△DEF.
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
又∵AM、DN 分别是∠BAC 和
∠EDF的角平分线
∴∠BAM= BAC ，
∠EDN= EDF ，
∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE.∴ =k.
教师和学生公共总结归纳：
相似三角形的性质（1）
相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角
形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比
等于相似比.
【活动探究】1.相似三角形的周长比也等于相似比
吗？为什么？
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
=k，
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，CA=kC′A′
∴
2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系
呢？
由前面的结论，得
=k².
教师讲授内容：
相似三角形的性质（2）
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
讲授新课 二、提炼概念
师出示例 通过例题讲解的
题，学生先独 形式，对知识点
立思考，自己 进 一 步 进 行 讲
检测自己对知 解，让学生能够
识点的掌握程 更进一步的掌握
度。 和熟悉本节课的
重难点。
三、典例精讲
【例】如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE，AC
= 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为
6，面积为12 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面
积.解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
∴ ，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 .
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ，
面积为： ² .
课堂检测 四、巩固训练
1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下
列判断中，错误的是 ( )
A．对应边的比是1∶2
B．对应角的比是1∶2
C．对应中线的比是1∶2
D．对应角平分线的比是1∶2
答案：B
2.如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则
下列结论中正确的是 ( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案B
3.如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们
对应边的比为________，对应角平分线的比为
_______，周长之比为________.
【解析】 相似三角形对应边的比，对应角平分线的
比，对应周长的比都等于相似比；面积的比等于相
似比的平方．
1∶3，1∶3，1∶3
4. 如图所示，△ABC中，点D，E，F分别在边
AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB，＝，S ＝S，求
△ABC
S .
▱BFED
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.
由＝，得＝.
∵＝，∴＝.
∴＝()2＝，即S ＝S.＝()2＝，即S ＝S.
△ADE △CEF
∴S ＝S－S－S＝S.
▱BFED
5. 如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边
BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零
件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N
分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零
件的边长是多少？
解： 设正方形的边长为x mm，
∵PN∥BC.
∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.
∴＝，解得x＝48.
答：加工成的正方形零件的边长为48 mm.
课堂小结 本节课学习了什么内容呢？
（1）相似三角形对应 的比等于相似比.
（2）相似三角形对应周长的比等于相似比.
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
