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专题 07 图形的旋转与中心对称之七大题型
求绕某点旋转90°的点的坐标
例题：（2023上·云南玉溪·九年级统考期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，将 绕
坐标原点O旋转 到 ，则点 的坐标是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意作图，过点A作 轴于B，过点 作 轴于 ，根据旋转的性质可
得 ，利用同角的余角相等求出 ，然后利用“角角边”证明 和
全等，根据全等三角形对应边相等可得 ， ，然后写出点 的坐标，同
理求出逆时针旋转 时 的坐标，故可求解．
【详解】如图，过点A作 轴于B，过点 作 轴于 ，
∵ 绕坐标原点O顺时针旋转 至 ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ．
同理 绕坐标原点O逆时针旋转 至 ，
，
∴点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，
也是本题的难点．
【变式训练】
1．（2023上·河北唐山·九年级统考期末）已知点 ， 是坐标原点，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，点 旋转后的对应点为点 ，则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，如图，作AP⊥y轴于P，则
，把 绕原点按逆时针方向旋转 得到 ，根据旋转的性质得到
即可解答．
【详解】解：如图，作AP⊥y轴于P，则 ，
把 绕原点按逆时针方向旋转90°得到 ，则 ，
，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性
质来求出旋转后的点的坐标．熟悉旋转的三要素是解题关键.
2．（2022上·辽宁大连·九年级校考期末）如图，每个小正方形的边长均为1， 的三个顶点都
是网格线的交点，已知B点的坐标为 ，将 绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点
的坐标为 ．【答案】
【分析】画出 绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的 ，然后写出点 的坐标即可．
【详解】如图，A点坐标为 ，将 绕点C顺时针旋转90°，
则点A的对应点的 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求
出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
找旋转中心、旋转角、对应点
例题：（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若
是由 绕点 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 是由 绕点 按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是 的大小，
然后由图形即可求得答案．
【详解】解： 是由 绕点 按逆时针方向旋转而得，
，
旋转的角度是 的大小，
，
旋转的角度为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解 是由 绕点 按逆时针方向旋
转而得的含义，找到旋转角．
【变式训练】
1．（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图， 与 关于某点成中心对称，则其对称中
心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：∵ 与 关于某点成中心对称，∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点M是对称中心．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
2．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）如图， 中， ， ，
，将 绕点 逆时针旋转得到 ．在旋转过程中：
(1)旋转中心是什么， 为多少度？
(2)与线段 相等的线段是哪一条？
(3) 的面积是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转中心的定义、旋转的性质即可求得答案．
（2）根据旋转前后的图形全等，即可直接求得答案．
（3）根据旋转前后的图形全等，即可求得答案．
【详解】（1）观察图形可知，旋转中心为 ．
∵旋转前后的图形全等，即 ，
∴ ．故答案为： ， ；
（2）∵旋转前后的图形全等，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
（3）∵旋转前后的图形全等，即 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，即旋转前后的图形全等，牢记旋转的性质是解题的关键．
在平面直角坐标系画旋转图形
例题：（2023上·云南红河·九年级统考期末）如图，已知 的顶点分别为 、 、
．
(1)作出 关于 轴对称的图形 ，并写出点 的坐标；
(2)再以 为旋转中心，将 旋转 得 ；画出旋转后的图形；
(3)在 轴上找一点 ，使 的值最小，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析， 的坐标：(2)见解析
(3)见解析， 的坐标：
【分析】（1）分别找出 ， ， 关于 轴对称的点 ，再顺次连接点即可；
（2）利用“关于谁对称谁不变，不关谁对称谁全变”可求出 的对称点坐标；
（3）过 轴作点 的对称点为 ，连接 交于 轴的点即为点 ，使得 最小．
【详解】（1）解：如图， 即为所求； 的坐标： ；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：连接 ，交x轴于P点，P的坐标： .【点睛】本题考查作轴对称图形，找关于坐标轴对称的点的坐标，以及动点问题．关键是掌握画轴
对称图形的方法：先找对称点，再连线；熟记关于坐标轴对称的点的坐标变化特征；利用对称性解
决动点问题．
【变式训练】
1．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格
和 在平面直角坐标系中．
(1)将 向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到 ．请在网格中画出 ．
(2)如果将 看成是由 经过一次平移得到的，请指出这一平移的方向和距离．
(3)将 绕着点 逆时针方向旋转 得到 ，画出 ，并直接写出点 、
、 的坐标．
【答案】(1)见解析(2)沿 方向平移 个单位
(3)图见解析， ， ，
【分析】（1）利用点平移的规律先写出 的坐标，再画三角形 ；
（2）利用图形可得由 沿CA方向平移 个单位可得到 ；
（3）利用旋转的定义画图，再写出点 的坐标．
【详解】（1）解： 、 、 ，如图；
（2）解： ，
由 沿 方向平移 个单位可得到 ；
（3）解：如图，
绕着点 逆时针方向旋转 得到 ，点 绕着点 逆时针方向旋转 得 ，
点 绕着点 逆时针方向旋转 得 ，
点 绕着点 逆时针方向旋转 得 ，
依次连接点 ，得 ，
故 ， ， ．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线
段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接
得出旋转后的图形，也考查了平移变换．
2．（2023下·辽宁阜新·八年级统考期末）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示．（每个
小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)将 沿 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 ；
(2)将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 ；
(3) 可看作由 绕 点旋转而成，在图中画出点 位置并直接写出点 坐标______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)【分析】（1）先找到A、B、C对应点 的位置，然后顺次连接 即可；
（2）先找到B、C对应点 的位置，然后顺次连接 即可；
（3）根据点P一定在 的垂直平分线上，也在 的垂直平分线上，可得到点P在直线
上，设出点P的坐标，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：由（1）（2）可知 ，
∵旋转中心一定在 的垂直平分线上，也在 的垂直平分线上，
∴点P即为 的线段垂直平分线和 的线段垂直平分线的交点，
∴点P在直线 上，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和旋转，画旋转图形和平移图形，找旋转中心，
勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
坐标与旋转规律问题
例题：（2023下·山东东营·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形
绕点 逆时针旋转45°后得到正方形 ，继续旋转至2023次得到正方形 ，
则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据图形可知，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运用，将正方形
绕点 逆时针依次旋转 ，可得点 的对应点坐标，根据图形及对应点的坐标发现是 次
一个循环，进而得出结论．
【详解】解：如图，∵四边形 是正方形，且 ，
∴ ，连接 ，由勾股定理可得 ，由旋转的性质得：
将正方形 绕点 逆时针依次旋转 ，得：
，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ，
，…，可发现 次一循环，
∵ ，
∴点 的坐标为 ,
故答案为 ．
【点睛】本题考查了几何图形的规律探究，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据计算得出
“ 次一个循环”是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东聊城·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点A顺时针
旋转到 的位置，点B、O分别落在点 处．点 在x轴上，再将 绕点 顺时
针旋转到 的位置，点 在x轴上，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点
在x轴上，依次进行下去……，若点 ，则点 的横坐标为 ．【答案】12140
【分析】然后通过旋转发现， 每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可
以求得 的横坐标，进而可得点 的坐标．
【详解】解：∵点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
观察图象可知，点 的纵坐标为4，
∵ ，
∴点 的横坐标为 ，
，
∴点 的横坐标为12140．
故答案为：12140．
【点睛】本题考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．
2．（2023上·湖北黄石·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是菱形，
，点 的坐标为 ，点 是边 的中点，现将菱形 绕点 逆时针旋转，每
秒旋转 ，则第2021秒时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．【答案】
【分析】根据旋转速度可知菱形 绕点 旋转6秒后与自身重合，进而可得第2021秒时，原
图顺时针旋转了 ，画出图形，根据菱形的性质、中点坐标公式即可求解．
【详解】解： 四边形 是菱形， ，
， ，
是等边三角形，
点 的坐标为 ，
．
菱形 绕点 逆时针旋转，每秒旋转 ，
（秒），
菱形 绕点 旋转6秒后与自身重合．
，
又 ，
第2021秒时，原图顺时针旋转了 ，作 轴于点H，如图所示：
．
，，
， ，
，
又 ，点 是边 的中点，
，即 ，
由图易知 是等边三角形， 轴，
点 与 关于y轴对称，
，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，中点坐标公式等，解题的关键是根据旋转规律得出第
2021秒时点A和点D的位置．
旋转综合题(几何变换)
例题：（2023下·四川成都·八年级统考期末）在等腰直角 中， ， ，将直
角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为 ，连接CP，PB．
(1)如图1，当 时，求BP的长；(2)如图2，若 ，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，当 时，求旋转角 的度数．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3) 或
【分析】（1）点P落在 上，解等腰直角 ， ，所以
；
（2）解：如图，延长 到点F，使得 ，连接 ，可证 ，于是 ，
，结合三角形内和定理，可求证 ，于是 ，得 ，
所以 ；
（3）解：分两种情况：①当点P在 内部，如图 ，过点P作 ，交 于点G，过点
C作 ，垂足为E，求证 ，于是 ，所以 ，
中 ， ，于是 ；②当点P在 外部，如图，延长 ，交
于点I，过点A作 ,垂足为点H，求证 ，于是 ，进一步
证得 ， ，而 ，所以 ，即 ．
【详解】（1）解： 时，点P落在 上，
等腰直角 中， ，
∴
∴
（2）解：如图，延长 到点F，使得 ，连接
∵ ， ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴∵
∴
中， ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
而
∴
（3）解：分两种情况：①当点P在 内部
如图 ，过点P作 ，交 于点G，过点C作 ，垂足为E，
∵
∴ ，
中，∴
由（2）推证知
∴
又 ，
∴
∴
又
∴ 中 ，
∴
②当点P在 外部
如图，延长 ，交 于点I，过点A作 ,垂足为点H
∵
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴∴
即
综上， 或
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质， 特殊直角三角形，勾股
定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东泰安·八年级统考期末）知识探究：如图1，点E是正方形 对角线AC上任
意一点，以点E为直角顶点的直角 两边 ， 分别角与 ， 相交于M点，N点．当
时，请探究 与 的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当 绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究 与 的数量关
系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作 于点H，如图3，证明H是线段 的中点．
【答案】知识探究： ，理由见解析；拓展探究：EM=EN，理由见解析；迁移运用：见解
析
【分析】知识探究：根据正方形的性质可得 ， 平分 ，再根据垂直定义可得
，从而可得四边形 是矩形，然后利用矩形的性质可得 ，从而利用
角平分线的性质即可解答．
拓展探究：过点E作 ，垂足为P，过点E作 ，垂足为Q，根据垂直定义可得
，再根据正方形的性质可得 ， 平分 ，从而可得四边形
是矩形，进而可得 ，然后利用等式的性质可得 ，再利
用角平分线的性质可得 ，从而证明 ，最后利用全等三角形的性质即可
解答；
迁移运用：连接 ，根据正方形的性质可得 ， 平分 ，从而可得，然后证明 ，从而可得 ，进而可得 ，最后利用
等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【详解】解：知识探究： ，
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ；
拓展探究： ，
理由：过点E作 ，垂足为P，过点E作 ，垂足为Q，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
迁移运用：连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴H是线段 的中点．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图①在正方形 中，连接 ，点E是边
上的一点， 交 于点F，点P是 的中点，连接 ．
(1)如图①，探究 与 有何关系，并说明理由；
(2)若将 绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接 ，取 的中点P，连接 ，请问
在该条件下，①中的结论是否成立，并说明理由；(3)如果把 绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接 ，取 的中点P，连接
，请你直接写出 与 的关系．
【答案】(1) ，且 ；理由见详解
(2) ，且 ；理由见详解
(3) ，且 ；理由见详解
【分析】（1）过点 作 ，通过条件证明 ，就可以得出结论 ，
；
（2）作 于 ，根据平行线等分线段定理就可以得出 ，再根据中垂线的性质就
可以得出 ，
（3）延长 交 延长线于 ，连 ，最后通过证明三角形全等就可以得出结论 ．
【详解】（1） ，且 ．
证明：过 于点 ，延长 交 于点 ，作 于点 ．
则四边形 是正方形，四边形 是矩形，
， ，
，
，
， 是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，
， ， ，，
，
；
（2）成立．
证明：图2中，作 ，
则 ，
又 是 的中点，
，
则 是 的中垂线，
，
，
，
是 的中点， ，
则 ，
，
是等腰直角三角形，
，且 ；
（3）图3中，延长 交 延长线于 ，连 ．， ， ，
四边形 是矩形．
， ，
由图（2）可知，
平分 ， ，
，
又 ，
为等腰直角三角形
， ．
．
，
．
， ，
．
，
，
即 ，
又 ，
，
．
在 和 中，
，
．
， ．
， ， ，
，
，
，
即 ，．
【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，
因此难度较大．
判断是否中心对称图形
例题：（2023上·湖北武汉·九年级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．根据“把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，即可求解．
【详解】解： 、根据图形可知是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、根据图形可知是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；
、根据图形可知是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．（2023上·四川泸州·九年级校考期末）生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图
形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，同时又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 后两部分重合．
2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
在平面直角坐标系画中心对称图形
例题：（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）如图， 的三个顶点都在格点上，A ．
(1)画出 关于点O的中心对称图形 ，并写出点 的坐标．(2)画出将 绕点B顺时针旋转 后得到的 ．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
【分析】（1）先找到点A、B、C关于原点对称的点 ，再顺次连接即可得到 ，进
而可写出点 的坐标；
（2）先找到点A、C绕点B顺时针旋转 后得到的点 ，再顺次连接即可得到 ．
【详解】（1）如图， 为所求作； ；
（2）如图， 为所求．
【点睛】本题考查了中心对称图形的作图和旋转作图，熟练掌握中心对称的性质和旋转的性质是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的
坐标分别为 ．(1)平移 ，使得点A的对应点 的坐标为 ，画出平移后的 ．
(2)将 绕点O旋转 ，画出旋转后的 ．
(3)若 与 Δ关于点P成中心对称，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 即可；
（2）利用旋转性质作图即可；
（3）对应点连线的交点即为旋转中心P．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
∵平移后点A的对应点 的坐标为 ，
∴向右平移了4个单位长度，（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：如图，点P即为所求，
∴ ．
【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性
质，属于中考常考题型．
2．（2023下·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ，
， 均在正方形网格的格点上．
(1)把 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ；
(2)直接写出点 关于点 中心对称的点的坐标；
(3)在 轴上找一点 ，使得 最小，请在图中标出点 的位置，并直接写出这个最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)图见解析，最小值为
【分析】（1）利用点旋转的坐标变换规律得到 ， 的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数，即可求解；
（3）利用轴对称的性质，及两点间的距离最短即可求解．
【详解】（1）解：如图所示； 即为所求作的三角形（2）解：根据关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数，
即 ．
（3）解：如图，作点 关于 轴对称的点 ，连接 交 轴于点 ，
点P即为所求作的点，
最小值为 ．
【点睛】本题考查了作图 旋转变换，最短距离，轴对称，解题的关键是掌握根据旋转的性质可知，
对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的
线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
一、单选题
1．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）已知点 与点 关于原点对称，则 的值
为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数，据此可解．【详解】解：由题意得：
故
故选：A
【点睛】本题考查关于原点对称的两点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数
是解题的关键．
2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是
中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转 后与原来的图
形重合，所以它们不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕这一点旋转 后与原来的图形重合，所以它是中心
对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 后与原图
重合．
3．（2023下·湖南株洲·八年级校考期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
绕点A顺时针旋转 后得到 ，则点B的对应点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为 ，A点坐标为 ，则
，再根据旋转的性质得 ，
，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点 坐标．
【详解】解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ， ，
∴ 轴， 轴，
∴点 坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了也考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质：对应点到旋转中心的距
离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
4．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，将 绕点A逆时针方向旋转 ，得到
，若点 在线段 的延长线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质求出 和 的度数即可解决问题．
【详解】解：根据旋转的性质可知 ，且 ， ，
∵点 在线段 的延长线上，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）将两块全等的含 角的直角三角板按图1的方式放置，
已知 ，固定三角板 ，然后将三角板 绕点C顺时针方向旋转至图2
的位置， 与 分别交于点D、E， 与 交于点F．当 ，旋转角的度数是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得 ，根据直角三角形性质和对顶角相等得
，求出 即可．
【详解】解：由题意得到， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以 ，
即旋转角是 ．
故选：A
【点睛】此题考查了图形的旋转、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形
内角和定理、直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题
6．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）若点 与 关于原点中心对称，则
的值为 ．
【答案】1
【分析】根据点 与 关于原点中心对称可得 ，进而即可求解；
【详解】解：∵点 与 关于原点中心对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查坐标系中点的特点，有理数的乘方运算，掌握相关知识并正确计算是解题的
关键．
7．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图方格纸中 绕着点A逆时针旋转 度，再
向右平移 格可得到 ．
【答案】 90 6
【分析】观察图象可知，先把 绕着点A逆时针方向 旋转，然后再向右平移即可得到．
【详解】解：根据图象， 绕着点A逆时针方向 旋转与 形状相同，向右平移6格就
可以与 重合．
故答案为：90，
【点睛】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本
题用到了旋转变换与平移变换．8．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，那么将
点M绕原点O逆时针旋转 后与点N重合，那么点N的坐标是 ．
【答案】
【分析】分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，证明 ，得到
， ，从而可得点N的坐标．
【详解】解：如图，分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，
由旋转可知： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的旋转问题，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题关键在于能正确画出图形，构造全等三角形．
9．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点
的坐标为 ，将等边 绕着点 依次顺时针旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第
一次旋转后得到 ，第二次旋转后得到 ，…，按此作法进行下去，则点 的坐标为
．
【答案】
【详解】解：∵A点坐标为 ，
∴ ，
∴第一次旋转后，点 在第二象限， ；
第二次旋转后，点 在第一象限， ；
第三次旋转后，点 在x轴正半轴， ；
第四次旋转后，点 在第三象限， ；
第五次旋转后，点 在第四象限， ；
第六次旋转后，点 在x轴负半轴， ；
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上，
∵ ，
∴点 在第二象限，且 ，过点 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转变换，涉及等边三角形、 的直角三角形等知识，解题的关键是确定
所在的象限．
10．（2023下·江西九江·八年级统考期末）先将两个完全相同的三角尺 和 重合放置，然
后将三角尺 沿 方向平移，使点 在 中点处，如图1；在图1的基础上将三角尺 绕
点 在平面内旋转，如图2．若 ，当点 好落在
三角尺 边上时， 长为 ．【答案】 或 / 或
【分析】根据点 好落在三角尺 边上时，分类讨论：①如图所示，当点 落在 上时；②
如图所示，点 落在 上时，连接 ；根据 都是等腰直角三角形，勾股定理，平
行四边形的判定和性质，图形结合分析即可求解．
【详解】解：①如图所示，当点 落在 上时，
∵ ， ， ，
∴ 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵点点 落在 上， ， ，
∴ 是直角三角形，
∴在 中， ， ，
∴ ；
②如图所示，点 落在 上时，连接 ，由 都是等腰直角三角形， 可得， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
综上所述， 长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查几何图形的变换，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质
的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
三、解答题
11．（2023下·河南周口·七年级统考期末）如图，正方形 中，点 为 边上的一点，将
顺时针旋转后得到 ．
(1)指出旋转中心及旋转角的度数；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；(3)若正方形的面积为 的面积为 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)旋转中心是 ，旋转角是
(2)
(3)
【分析】（1）将 旋转后得到 ，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对
应点，即可确定；
（2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作
出判断；
（3）根据 得出 的面积，可得四边形 的面积就是正方形 的面积
与 的面积的差．
【详解】（1）解：旋转中心是 ，旋转角是 ；
（2）延长 交 于点 ．
由旋转可知： ，
， ．
又 ， ，
，
．
（3） ，
的面积是 ，
四边形 的面积是 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转
前后的两个图形一定全等．12．（2023下·重庆南岸·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系内， 三个顶点坐标
分别为 ， ， ．
(1)在图中，画出 向左平移8个单位得到的 ；
(2)在图中，画出以点O为对称中心，与 成中心对称图形的 ；
(3)直接写出点 ， ， 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ， ，
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）结合图形即可得 ， ， 的坐标．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）如图所示， 即为所求；
（3）由图可知， ， ， ．
【点睛】题主要考查了平移变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
13．（2023下·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，
三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
(1)画图：将 绕原点逆时针旋转 ，得到 ；
(2)画图：平移 到 ，使点 的对应点 的坐标为 ，则 的坐标为______；
(3)在坐标系中找一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标为
______；在图中描出 点的位置．
【答案】(1)作图见详解
(2)(3) 或 或 ， 点的位置
【分析】（1）根据图形旋转的定义及作法即可求解；
（2）根据点 的平移确定平移的规律，由此即可求解；
（3）根据平行四边形的判定和性质，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解： 绕原点逆时针旋转 ，得到 ，如图所示，
∴ 即为所求图形．
（2）解：∵平移 到 ，使点 的对应点 的坐标为 ，
∴平移规律为：向左平移 个单位长度，向下平移 个单位长度，
∴点 的对应点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）解：以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
①如图所示，以 为对角线的平行四边形，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两
线交于点 ，∴四边形 是平行四边形，则 ；
②如图所示，以 为对角线的平行四边形，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两
线交于点 ，
∴四边形 是平行四边形，则 ；
③如图所示，以 为对角线的平行四边形，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两
线交于点 ，
∴四边形 是平行四边形，则 ；
综上所示，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标有 或 或 ，
故答案为： 或 或 ， 点的位置．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握旋转的定义及作图方法，根据点的平移
确定平移规律，平行四边形的性质及判定的方法，分类讨论思想等知识的综合是解题的关键．
14．（2023上·山东烟台·八年级统考期末）如图1，点E为正方形 内一点， ，将
绕点B按顺时针方向旋转 ，得到 （点A的对应点为点C），延长 交 于
点F，连接 ．(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)如图2，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
(3)如图1，若 的面积为72， ，请直接写出 的长．
【答案】(1)四边形 是正方形，理由见解析
(2) ，证明见解析
(3)3
【分析】（1）根据旋转性质得到 ， ，再由题意可得
，即可证明四边形 是正方形；
（2）过点 作 于点 ， 证明 ，则有 ，再根据正
方形的性质即可解决；
（3）作 于 ，证明 ，由 求得 ，在
中，由勾股定理求得 ，再根据 计算即可．
【详解】（1）解：四边形 是正方形．
理由：∵将 绕点 按顺时针方向旋转 ，
．
，
∴四边形 是矩形．
，
∴四边形 是正方形；
（2） ；
理由：如图②，过点 作 于点 ，
，
．∵四边形 是正方形，
．
．
．
，
．
．
由旋转得： ．
∵四边形 是正方形，
，
∴ ，
∴ ；
（3）解：作 于 ，如图 ．
由（2）可知， ，
由旋转可知， ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
，
在 中， ，，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三
角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练应用旋转的性质是关键．
15．（2023下·四川达州·八年级校考期末）探究：如图 和图 ，四边形 中，已知 ，
，点 、 分别在 、 上， ．
(1) 如图 ，若 、 都是直角，把 绕点 逆时针旋转 至 ，使 与
重合，直接写出线段 、 和 之间的数量关系______；
如图 ，若 、 都不是直角，但满足 ，线段 、 和 之间的结论是
否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(2)拓展：如图 ，在 中， ， 点 、 均在边 边上，且
，若 ，求 的长．
【答案】(1)① ；②成立，证明见解析
(2)
【分析】（1） 根据旋转的性质得出 ， ， ，求出
，证 ≌ ，根据全等三角形的性质得出 ，即可求出答案；
结合 中证明过程即可求解；
（2）作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出 ， ，根据
旋转的性质得出 ， ， ，求出 ，证≌ ，根据全等得出 ，设 ，则 ， ，根据勾股定
理得出方程，求出 即可．
【详解】（1）解： 如图 ，
把 绕点 逆时针旋转 至 ，使 与 重合，
， ， ， ，
，
、 、 共线，
， ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
故答案为： ；
成立，
理由：如图 ，把 绕 点旋转到 ，使 和 重合，
则 ， ， ，
，，
、 、 在一条直线上，
与 同理得， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
；
（2）解： 中， ， ，
，
由勾股定理得： ，
如图 ，把 绕 点旋转到 ，使 和 重合，连接 ．
则 ， ， ，
，
，
，
在 和 中 ，≌ ，
，
设 ，则 ，
，
，
， ，
，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
即 ．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．
运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解
决问题的能力要求比较高．
