文档内容
清单 07 相似（11 个考点梳理+题型解读+核心素养
提升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
知识点一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【例1】（2022·辽宁铁岭·九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个平行四边形知识点二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠
倒。
2）四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和
第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若 ，则 ；反之，也成立。 和比性质：若 ，则 ；
更比性质：若 ，则 ； 反比性质：若 ，则 ；
等比性质：若 ，则 。
5）拓展：比例式中， 或 中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， 、
叫后项，如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
【例2】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，AB∥CD∥EF，若 ，BD＝5，则DF＝
（ ）A．5 B．10 C．15 D．2.5
【变式】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图， 是 的中线，点 在 上，
，连接 并延长交 于点 ，则 ： 的值是（ ）
A． ： B． ： C． ： D． ：
知识点四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【例4】（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，四边形 四边形 ， ， ，
，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式】（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为
12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2
【变式2】（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很
多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形
ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．【变式3】（2022·江西吉安·九年级期末）如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，
反比例函数 的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形
CEAF为反比例函数 的“相伴矩形”．已知点C的坐标为 ，BE＝2．
(1)求点F的坐标；
(2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
知识点五、相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的
一种特例。
【例5】下列说法一定正确的是（ ）
（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
（B）对应角相等的两个三角形不一定相似
（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
知识点六、相似三角形的判定判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【例6】（2022·河南·测试·编辑教研五九年级期末）如图，若 ， ， 与 交于
点 ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式】如图，四边形 中， ， ，E为 的中点．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，连结DE交AC于点F，求 的值．
知识点七、相似三角形的性质1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【例7】（2022·广西百色·九年级期末）如下图所示，在 ABC中，点D在线段AC上，且
ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是( ) △
△
A． B．
C． D．
【变式1】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、
上， ∽ ， ， ， ，求 的长．
【变式2】如图，在 的方格纸中，每个小正方形边长都是 ， 是格点三角形（顶点在方格顶点
处）．(1)在图1中画格点 ，使 与 相似，相似比为 ．
(2)在图2中画格点 ，使 与 相似，面积比为 ．（注：图 、图 在答题纸上．）
知识点八、利用相似三角形测高
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必
须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
【例8】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条
直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．
知识点九、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位
似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
【例9】（2022·浙江·诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图， 与 位似，点O为位似中心．已
知 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小
于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延
长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
【例10】如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，将 放
大为原来的2倍得 .(1)在图中第一象限内画出符合要求的 （不要求写画法）
(2)计算 的面积．
【变式1】（2022·山西朔州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，则
位似中心是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（2022·山西晋中·九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，
在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△ABC ．
1 1 1(1)在图中标出△ABC与△ABC 的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标 ；
1 1 1
(2)若以点O为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△ABC 的位似图形△ABC ，且△ABC
1 1 1 2 2 2 1 1 1
与△ABC 的位似比为2：1（只画一种类型）．
2 2 2
知识点十一、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横
坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵
坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图
形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为
m,n km,kn km,kn
，则其位似图形对应点的坐标为 或 。
【例11】已知点 ， ，以原点O为位似中心，把线段 缩短为原来的 ，点D与点B对应．
则点D的坐标为（ ）A． B． C． 或 D． 或
【变式】已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）
（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△ABC ，点C 的坐标是 ；
1 1 1 1
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC ，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1；
2 2 2 2 2 2
(3)四边形AAC C的面积是 平方单位．
2 2
【核心素养提升】
1. 数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题
1．（2022·江西吉安·九年级期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，
它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的
长度为 _____．
2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理
2．（2022·福建三明·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
3.分类讨论思想
3．（2022·河南南阳·九年级期末）在 中， ，过点B作射线 ．
动点D从点A出发沿射线 方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线 方向以每秒2
个单位的速度运动．过点E作 交射线 于F，G是 中点，连接 ．设点D运动的时间为
t，当 与 相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．
4.方程的思想
4．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从
点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当
一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当
POQ与 AOB相似时t的值．
5．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一
动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
（2）联结CE、BE，如果S△ACE ＝12，求S△ABE 的值．
【中考热点聚焦】
热点1.相似三角形的性质
1．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
大为△AOB边长的2倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
1 1 1 1
大为△A OB 边长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则△A OB 的边长为
1 1 2 2 2023 2023 2023 2023
，点A 的坐标为 ．
2023
热点2.相似三角形的判定和性质的综合应用
3．（2023•雅安）如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于
点G，EF＝1，EC＝3，则▱GF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若
DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝
4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
6．（2023•东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分
∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足
为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3 ；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM ＝6 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
7．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，
，BF＝8，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2023•内江）如图，在△ABC 中，点 D、E 为边 AB 的三等分点，点 F、G 在边 BC 上，
AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）A．1 B． C．2 D．3
9．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝
6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．
10．（2023•云南）如图，BC是 O的直径，A是 O上异于B、C的点． O外的点E在射线CB上，直
线EA与CD垂直，垂足为D，⊙且DA•AC＝DC•A⊙B．设△ABE的面积为S⊙，△ACD的面积为S ．
1 2
（1）判断直线EA与 O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S
2
＝⊙mS
1
，求常数m的值．
11．（2023•苏州）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB是 O的直径，AC＝ ，BC＝2 ，点F在
⊙ ⊙
AB上，连接CF并延长，交 O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC⊙；
（2）若AF＝2，求ED的长．热点3.应用相似三角形知识解决实际问题
12．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然
后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的
眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗
杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
13．（2023•镇江）如图，用一个卡钳（AD＝BC， ＝ ＝ ）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD
长度为6cm，则AB等于 cm．
14．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的
高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点
A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶
B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．15．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都
是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入
的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形 ABCDE的
边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长；
（3）求 的值．
热点4.位似变换
16．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，
相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
17．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中
心作正方形PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方
1 2 3 4 5 6
形PA A A 的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A （﹣2，1），A （﹣1，0），A （﹣2，﹣1），则顶点
1 2 3 1 2 3
A 的坐标为（ ）
100
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
19．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，
0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形
OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 ．
20．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，
将△ABO缩小为原来的 ，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 ．
