考向14三角函数的单调性和最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 14 三角函数的单调性和 最值 1.【2022年北京卷第5题】已知函数 ，则 （A） 在 上单调递减 （B） 在 上单调递增 （C） 在 上单调递减 （D） 在 上单调递增 【答案】C 【解析】因为 . 对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错； 对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错； 对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对； 对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错. 故选：C. 2.【2022年乙卷文科第11题】函数 在区间 的最小值、最大值分别为 A． B． C． D． 【答案】D【解析】 ，当 时， ；当 时， ；当 时， .所以， ; .又 ，所以 ; .故选 . 2π ( ,0) f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π) 3 3．【2022年新高考2卷第9题】函数 的图象以 中心对称，则 5π (0, ) y=f (x) 12 A． 在 单调递减； π 11π (− , ) y=f (x) 12 12 B． 在 有2个极值点； 7π x= 6 C．直线 是一条对称轴； √3 y= −x 2 D．直线 是一条切线． 【答案】AD 2π 4π 4π 4π f( )=sin( +ϕ)=0 +ϕ=kπ ϕ=− +kπ 【解析】由题意得： 3 3 所以 3 即： 3 ， k∈Z , 2π 2π ϕ= f(x)=sin(2x+ ) 又 0<ϕ<π ，所以 k=1 时， 3 故 3 ． , 5π 2π 2π 3π x∈(0, ) 2x+ ∈( , ) 12 3 3 2 y=sinu y=f (x) 选项A： 时 ，由 图象知 是单调递减的； π 11π 2π π 5π x∈(− , ) 2x+ ∈( , ) 12 12 3 2 2 y=sinu y=f (x) 选项 B： 时 ，由 图象知 只有 1 个极值点，由2π 3π 2x+ = 3 2 可解得极值点； 7π 2π 7π x= 2x+ =3π x= 6 3 y=f (x)=0 6 选项C： 时 ， ，直线 不是对称轴； 2π 2π 1 y' =2cos(2x+ )=0 cos(2x+ )=− 3 3 2 选项D：由 得： ， 2π 2π 2π 4π 2x+ = +2kπ 2x+ = +2kπ 解得 3 3 或 3 3 ， k∈Z π x= +kπ 从而得： x=kπ 或 3 ， k∈Z √3 2π (0, ) k=y' | =2cos =−1 y=f (x) 2 x=0 3 所以函数 在点 处的切线斜率为 ， √3 √3 y− =−(x−0) y= −x 2 2 切线方程为： 即 ． 1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数． 2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意 A和ω的符号，尽量化成 ω＞0的形式， 避免出现增减区间的混淆． 1．对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期， 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数． 2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意 A和ω的符号，尽量化成 ω＞0的形式， 避免出现增减区间的混淆． 1．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在及上是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在及上是增函数，在上是减函数 2．设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是( ) A．函数f(x)在上单调递减 B．函数f(x)在上单调递增 C．函数f(x)在上单调递减 D．函数f(x)在上单调递增 3．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是( ) A．[－，] B．[0，π] C．[π，] D．[，2π] 4．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2，则f(x)的最小值为( ) A. B. C. D. 5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是() A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 6．已知函数 在 处取到最大值，则 （ ） A．奇函数 B．偶函数 C．关于点 中心对称 D．关于 轴对称 7．已知函数 （ ， ）的最小正周期是 ，将 的图象向左平 移 个单位长度后所得的函数 图象过点 ，则关于函数 的说法不正确的是（ ） A． 是函数 一条对称轴 B． 是函数 一个对称中心 C． 在区间 上单调递增 D． 在区间 上单调递减 8.已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________． 9.若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为 . 10.函数y＝cos 2x＋2cos x的值域是_____.一、单选题 1．（2022·陕西·千阳县中学一模（理））函数 的图象为 ，如下结论中正确的是（ ） ①图象 关于直线 对称； ②图象 关于点 对称； ③函数 在区间 内是增函数； ④由 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 ． A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ，则下列结论错误的是（ ） A．函数 的最小正周期是 B．函数 在区间 上单调递减 C．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 D．函数 的图象关于 对称 3．（2022·上海松江·二模）设函数 图像的一条对称轴方程为 ，若 、 是 函数 的两个不同的零点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．4．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知函数 的部分图象如图所示， 则下列结论正确的是（ ） A． 的图象关于点 对称 B． 的图象向右平移 个单位后得到 的图象 C． 在区间 的最小值为 D． 为偶函数 5．（2022·上海静安·模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ） A． 为偶函数 B． 为非奇非偶函数 C． 在 上单调递减 D． 的图象关于直线 对称 6．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数 ，若函 数f(x)在 上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A． B． C． D． 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数 ，直线 为 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A． B． 在区间 单调递减 C． 在区间 上的最大值为2 D． 为偶函数，则 8．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知函数 的部分图象如图所示，则 的单调递增区间为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 二、填空题9．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）函数 的最大值为 ______． 10．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数 ，若 ，且 在 上有最大值，没有最小值，则 的最大值为______． 11．（2022·上海金山·二模）已知向量 ，则函数 的单调递增区间为__________. 12．（2022·四川广安·模拟预测（理））已知函数 （ ）在区间 上单调递增， 且函数 在 上有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是_______. 1．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数 ( ＞0)，已知 在 有且仅有5 个零点，下述四个结论： ① 在 有且仅有3个极大值点② 在 有且仅有2个极小值点 ③ 在 单调递增④ 的取值范围是其中所有正确结论的编号是 ( ) A．①④B．②③ C．①②③ D．①③④ 2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是( ) A． B． C． D． 3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数 有下述四个结论：   ,   f(x) f(x)  2  ① 是偶函数② 在区间 单调递增 f(x) [,] f(x) ③ 在 有4个零点④ 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 ( ) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③   f xcos x    3 4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数 ，则下列结论错误的是( ) 8 f x y  f x x A． 的一个周期为 2 B． 的图像关于直线 3 对称    C． f x 的一个零点为 x 6 D． f x 在   2 ,   单调递减 5．(2015高考数学新课标1理科)函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间 为( ) A． B． C． D．6．(2012高考数学新课标理科)已知 ，函数 在 上单调递减。则 的取值 范围是( ) A． B． C． D． 3   f xsin2 x 3cosx x  0,  7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)函数 4 (  2 )的最大值是 ． f(x)  sin(x  2）-2sincos(x+) 8．(2014高考数学课标2理科)函数 的最大值为_________． x f(x)sinx2cosx cos 9．(2013 高考数学新课标 1 理科)设当 时，函数 取得最大值，则 =______． 1．【答案】B 【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B. 2．【答案】C 【解析】选C.由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增；由x∈得2x－∈，所以f(x)先增后减；由x∈得2x－∈，所以f(x)单调递减；由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增． 3．【答案】D 【解析】选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的 图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D. 4．【答案】A 【解析】选A.f(x)＝sin2x＋sin2＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋sin xcos x＝＋＋sin 2x＝1＋＝1＋sin≥1－＝，故选 A. 5．【答案】B 【解析】选B.因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋ (k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B. 6．【答案】B  x 【解析】因为 f(x)asinxbcosx在 4 处取到最大值， b  tan sin( )1 即 f(x) a2 b2 sin(x)，其中 a ，则 4 ，   2k f(x) a2 b2 sin(x ) 所以 4 ，kZ ，所以 4 ，   则 f(x ) a2 b2 sin(x ) a2 b2 cosx为偶函数． 4 2 故选：B． 7．【答案】D   2 gx2sin 2x 【解析】2， f x 向左平移 3 个单位长度后所得到的函数是   3  ， 其中图象过 ，所以 ，因为 ， ， 所以 ．因为 ，所以 是函数 一条对称轴，故A正确 因为 ，所以 是函数 一个对称中心，故B正确 当 时， ，所以 在区间 上单调递增，故C正确 当 时， ，所以 在区间 上不单调递减，故D错误 故选：D 8.【答案】和 【解析】由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 又因为x∈[－π，0]，所以f(x)的单调递增区间为和. 9.【答案】 【解析】易知当y＝sin (x＋φ)，y＝cos x同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x取得最大值2， 故sin (x＋φ)＝cos x，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为. 10.【答案】 【解析】B［y＝cos 2x＋2cos x＝2cos2x＋2cosx－1＝2－， 因为cos x∈［－1，1］，所以原式的值域为. 1．【答案】D 【解析】由于 时， ，故①结论正确； 由于 时， ，故②结论正确； 由 ，解得 ，令 得 ，故③结论正确； 由于 的图像向右平移 个单位长度得到 ，故④结论错误. 综上所述，正确结论为①②③.故选：D. 2．【答案】C 【解析】 ， 所以函数 的最小正周期是 ，A正确； 当 时， ，所以 单调递减，故B正确； 函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 ， 故C错误； 当 时， ，所以 ， 所以 的图象关于 中心对称，D正确. 故选：C 3．【答案】B 【解析】由题知 ，则 ， 因为 ，所以 所以 易知 的最小值为 . 故选：B 4．【答案】D 【解析】因为 的图象过点 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，因为 的图象过点 ， 所以由五点作图法可知 ，得 ， 所以 ， 对于A，因为 ，所以 为 的图象的一条对称轴，所以A 错误， 对于B， 的图象向右平移 个单位后，得 ，所以B错误， 对于C，当 时， ，所以 ，所以 在区间 的最小 值为 ，所以C错误， 对于D， ，令 ， 因为 ，所以 为偶函数， 所以D正确， 故选：D 5．【答案】A 【解析】由题得函数的定义域为 ，关于原点对称. ,所以 为偶函数，所以选项A正确，选项B错误； 当 时， ，令 所以令 得 令 得 所以此时函数的单调递减区间为 ，所以选项C错误； ， ，即 的图象不关于直线 对称，所以选项D错误. 故选：A 6．【答案】B 【解析】函数 ， 由函数f(x)在 上单调递减，且 ， 得 ， ，解 ， . 又因为ω>0， ，所以k＝0， 所以实数ω的取值范围是 . 故选：B 7．【答案】D 【解析】因为函数 ，直线 为 图象的一条对称轴， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，故A不正确；所以 ，对于B，当 时， ，所以 在区间 单调递增，故B不正确； 对于C，当 时， ， 在区间 上的最大值为 ，故C不正确； 对于D，若 为偶函数，且 ， 所以 ，解得 ，故D正确， 故选：D. 8．【答案】D 【解析】由图象知， ，∴ ，∴ ， ，∴ 过点 ， ∴ ， ，且 ，∴ ，∴ . 令 ， ，即 ， ，∴ 的单调递增区间为 ， . 故选：D. 9．【答案】13 【解析】 ， 令 ， 所以可得 所以由正弦函数的性质可知 的最大值为 . 故答案为:10．【答案】17 【解析】由 ，且 在 上有最大值，没有最小值，可得 ， 所以 . 由 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，解得 ，又 ，当 时， ，则 的最大值为17，, 故答案为：17 11．【答案】 【解析】由题意， ，故 的单调递增区 间： ，即 ，故 在 的单调递增 区间为 故答案为： 12．【答案】 【解析】由题及 得 （ ）在 单调递增， 又函数 （ ）在区间 上单调递增， 所以， ，得 .在 上有且仅有一个零点，可得 ， 所以， ，所以， .故答案为： . 1．【答案】D 【解析】 在 有且仅有3个极大值点，分别对应 ，故①正确． 在 有2个或3个极小值点，分别对应 和 ， 故②不正确． 因为当 时， ，由 在 有且仅有 5 个零点．则 ，解得 ，故④正确． 由 ，得 ， ，所以 在 单调递增， 故③正确． 综上所述，本题选D． 2．【答案】A y sin|x| y cos x cosx 2 【解析】因为 图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为 ，周期为  排除 C，作出 y  cos2x 图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递增，A 正确；作出 2 y  sin2x 的图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递减，排除B，故选A. 2 【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象， y  f(x) y  f(x) 即可做出选择．利用二级结论：①函数 的周期是函数 周期的一半；② y sinx 不是周期函数；③函数 ，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角 函数的周期，例如， ，所以周期 . 3．【答案】C 解析：作出函数 的图象如图所示， 由图可知， 是偶函数，①正确， 在区间 单调递减，②错误， 在 有3个零点，③错误； 的最大值为2，④正确，故选C．ysinx O ysinx 3π 5π 2π 3π π π O π π 3π 2π 5π 3π 2 2 2 2 2 2 ysinxsinx O 4．【答案】 D  f x f x x k,kZ 【解析】函数 的周期为 2n ， nZ ，故A正确；又函数 的对称轴为 3 ，即  8   xk x f x0cos  x  0 3 ， kZ ， 当 k 3 时 ， 得 3 ， 故 B 正 确 ； 由  3      x  k f x x k,kZ x 3 2 ，所以函数 的零点为 6 ，当 k 0 时， 6 ，故C正确；由   2 2k x 2k 2k  x2k f x 3 ， 解 得 3 3 ， 所 以 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为   2     2 2k ,2k ,kZ ,  2k ,2k        3 3   2   3 3  ，而 ，故D错误． y  Asin(x) y  Acos(x) 【点评】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 或 的形式， 2π T   y  Asinx y  Acosxb 则最小正周期为 ；奇偶性的判断关键是解析式是否为 或 的形式． π （2）求 f x Asin(x)0 的对称轴，只需令 xkπ 2 kZ ，求 x ；求 f(x)xkπ(kZ) 的对称中心的横坐标，只需令 即可． 5．【答案】D 【解析】由五点作图知， ，解得 ， ，所以 ，令 ，解得 ＜ ＜ ， ，故单调减区间为（ ， ）， ，故选D． 6．【答案】A [ π 3π] 2kπ+ ,2kπ+ 2 2 【解析】解析：∵y=sinx在 上单调递减 π π 3π 2kπ+ ≤ωx+ ≤2kπ+ 2 4 2 ∴ 1 π 1 5π (2kπ+ )≤x≤ (2kπ+ ) ω 4 ω 4 ∴ 而函数 在 上单调递减 1 π 1 5π ⊆[ (2kπ+ ), (2kπ+ )] ω 4 ω 4 ∴ 1 π π { (2kπ+ )≤ ω 4 2 1 5π 1 5 (2kπ+ )≥π ω≥ +4k ω≤ +2k 即 ω 4 得 2 且 4 ，根据答案特征只能是k=0，ω∈ 7．【答案】1 【解析】解法一：换元法 3   f xsin2 x 3cosx x  0,  ∵ 4  2，sin2xcos2 x1 1 f xcos2 x 3cosx ∴ 41 设t cosx， t0,1 ，∴ f xt2  3t 4 3 t  0,1 f x 1 2 ，∴ max 函数对称轴为 【点评】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次 不等式统称“三个二次”，学科*网它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象 是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方 面分析。 8．【答案】1 【解析】 所以最大值为1 9．【答案】 【解析】∵ = = 令 = ， ，则 = = ， 当 = ， 即 = 时 ， 取 最 大 值 ， 此 时 = ，∴ = = = ．